AV2 Equações diferenciais Uninassau

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Equações Diferencias 
 
 
Questão 1 | Código 192084 
 
Analise a figura a seguir: 
 
Figuras geométricas podem ser geradas a partir do modelamento baseado em equações 
matemáticas. Na figura apresentada, é possível observar um vaso de manjerico. Tal 
sólido limita o volume da forma, V= (x2 + y2 0, y>0), calcule a área da região D, sendo a curva C 
correspondente à fronteira da região D. Considerando esses dados, pode-se 
afirmar que a área da região D corresponde a: 
 
Resposta: 14/3 
 
1º passo: calcular as derivadas da função f1 e f2: Df2/dx = x // df1/dy = −y. 2º 
passo: parametrizar a curva em relação ao ângulo t: x= r cos(t) y= r sen(t). 
3º passo: definir os limites de integração: 1 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ t ≤ π/2. 
4º passo: calcular a integral correspondente: Integral de r.cos(t) + r.sen(t) dt.dr = 
14/3. 
 
Questão 3 | Código 192090 
 
 A série de Taylor corresponde à representação de funções como séries de 
potências. Uma das aplicações em tal conversão é a resolução de equações 
diferenciais por meio de série de potencias. 
 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de 
potências, dada a função f(x) = sen x, pode-se afirmar que a série de Taylor 
correspondente a: 
 
Resposta: ∑ (−1)n x2n+1 / (2n+1)! 
 
1º passo: considerar os termos da função sen(x) aplicando as derivadas: f(x) = 
sen(x), f’(x) = cos(x), f”(x) = −sen(x), f’’’(x) = −cos(x). 
2º passo: desenvolver a série considerando a=π/2: x − x3/3! + x5/5! + x7/7! 3º 
passo: verificar o padrão e correlacionar com uma série de potência: Série = x − 
x3/3! + x5/5! + x7/7! … = ∑ (−1)n x2n+1 / (2n+1)! 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Questão 4 | Código 192212 
 
Dadas as equações dependentes linearmente no intervalo [0, ∞], determine qual 
função mantém a dependência do conjunto de funções a seguir: 
 
f1(x) = (x)1/2 + 5 
f2(x) = -1.[(x)1/2 + 5x]. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre dependência 
linear, é correto afirmar que: 
 
Resposta: a função que mantém a série dependente é 5 [x -1] 
 
1º passo: considerar as equações: f1(x) = (x)1/2 + 5 e f2(x) = -1.[(x)1/2 + 5x]. 
2º passo: verificar a relação entre as funções: f2(x) = f1(x) + fn(x). 
3º passo: verificar a função fn: Fn = 5.[x -1]. 
4º passo: Reescrever a soma de funções: f1(x) - f2(x) + fn = 0. 
5º passo: determinar a dependência: São linearmente dependentes. 
 
Questão 5 | Código 192126 
 
 “Viscosidade é a propriedade física que caracteriza a resistência de um fluido ao 
escoamento. Em outras palavras, é a propriedade associada à resistência que 
um fluido oferece à deformação por cisalhamento, tipo de tensão gerado por 
forças aplicadas em sentidos opostos, porém, em direções semelhantes no 
material analisado. “ 
Fonte: PROLAB. O que é viscosidade de um fluido? Disponível em: 
https://www.prolab.com.br/blog/curiosidades/o-que-e-viscosidade-de-um-
fluido/. Acesso em: 08/08/2019. 
 
Considere a seguinte situação problema: 
 
Um corpo de m está caindo em um fluido em que a resistência em kgf seja 
proporcional ao quadrado da velocidade em m/s. Se a velocidade máxima limite 
é 50m/s, considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre 
equações variáveis separáveis, calcule a velocidade após 2s, com o corpo 
partindo do repouso: 
Dica: m.dv/dt = mg – Kv² 
 
Avalie as afirmativas abaixo e assinale a correta: 
 
Resposta: Velocidade após 2s = 21,4 m/s 
 
1º passo: considerar a relação de forças existentes: m.dv/dt = mg – Kv² 
2º passo: considerar a definição da constante K: K = 2mk² 
3º passo: separar as variáveis: Dv / (k²v² – 5) = -2dt 
4º passo: integrar os dois lados da equação e considerar o valor inicial: 
Integrando, quando t=0, v=0, logo c=-1 
5º passo: considerar a constante c na definição da velocidade quando t=2: 
Logo, quando t=2s, (v-50)/(v+50) = -e elevado a -4/5 = 21,4 m/s 
 
 
Questão 6 | Código 192094 
 
Quando se trata de intervalo de convergência, o teste da razão é o teorema mais 
indicado para sua especificação. No entanto, o teste da razão não pode 
determinar a convergência nas extremidades do intervalo de convergência. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de 
potências, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s): 
 
I. ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos 
extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge 
absolutamente no outro extremo. 
 
II. ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de 
convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é 
condicional. 
 
III. ( ) O conjunto de valores de x para os quais a série de potências é convergente 
é chamado de intervalo de potências da série. 
 
IV. ( ) Uma série de potências define uma função que tem como domínio o 
intervalo de convergência. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta 
 
Resposta: V, V, F, V. 
 
 
A afirmativa I é verdadeira, pois apesar do teste da razão não garantir a 
convergência nos extremos do intervalo de convergência, quando um extremo 
converge, significa que |x−a| está incluso no intervalo de convergência. A 
afirmativa II é verdadeira, pois há nesse caso uma condição impedindo a 
convergência, como uma descontinuidade no domínio da função, por exemplo. A 
afirmativa III é falsa, pois o intervalo compreendido entre o centro da série e o raio 
de convergência é denominado intervalo de convergência, não intervalo de 
potências. A afirmativa IV é verdadeira, pois dentro do intervalo de convergência a 
série converge para um número real. 
 
Questão 7 | Código 192093 
O desenvolvimento de funções em séries de potências tem diversas aplicações, tal 
como a resolução de equações diferenciais. Pode-se também aplicar tal recurso para 
realizar aproximações de funções com a utilização de séries de Taylor e Maclaurin. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, 
dada a expansão da função f(x) = (1+x)−1/2 em uma série de Taylor, pode-se afirmar que 
o 4º termo da série, em torno de a = 0, corresponde a: 
Resposta: 15x3 / 48 
1º passo: expandir a função segundo uma série de Taylor: ∑ an(x−a)n. 2º passo: calcular 
o 4º termo em função da série: Considerando an = f(n). (a) / n! 3º passo: encontrar o 
valor do 4º termo: 15/8 (x−0) 3 / 3! = 15x3 / 48. 
 
Questão 8 | Código 193055 
Em matemática, particularmente na área de análise funcional e processamento do sinal, 
convolução é um operador linear que, a partir de duas funções dadas, resulta numa 
terceira que mede a soma do produto dessas funções ao longo da região subentendida 
pela superposição delas em função do deslocamento existente entre elas. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre convolução, dada a 
equação1 / (s-1)(s+4), sua transformada inversa corresponde a: 
Resposta: L^-1 = 1/5.e^t – 1/5.e^-4t. 
 
Questão 9 | Código 192109 
Dentre as principais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, encontramos 
as equações diferenciais homogêneas, o termo homogênea procede do fato que um dos 
lados da equação diferencial é, nesse caso, uma função homogênea de grau qualquer. 
Por definição, uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se 
que: f(tx,ty) = tk.f(x,y). Para tais equações, uma substituição de variável conveniente 
permite reescrever a equação diferencial como sendo uma equação de variáveis 
separáveis. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações 
homogêneas, dada a equação abaixo, determine se a mesma é homogênea e caso seja, 
determine o grau da equação. 
 
f(x, y) = x3 + y3 + 1 
 
Assinale a alternativa correta: 
Resposta: A equação não é homogênea. 
 
 
Questão 10 | Código 192092 
O raio de convergência indica o raio em torno do centro da série no qual a série converge 
para algum valor. Valores superiores ao raio indicam que a série diverge, ou seja, existe 
um número R tal que a série converge se |x−a| R. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, 
dada a série ∑(x−2)n / n, pode-se afirmar que o raio de convergência é igual a: 
Resposta: R = 1. 
1º passo: aplicar o teste da razão: Cn = 1/n. 
2º passo: aplicar o conceito de limite: Lim n –> ∞ de |1/ (1+1/n)| = 1 = L. 
3º passo: verificar o raio de convergência: Como R = 1/L, temos que R = 1.