9. CDI II - Plano Tang Difererencias.pdf

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Universidade Nove de Julho – Uninove 
Curso: Engenharia – Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II – Profº Edson A. Cardoso 
Plano Tangente – Diferenciais 
 
Planos tangentes 
- Suponha que 
f
tenha derivadas parciais. Uma equação do plano tangente à superfície 
),( yxfz 
no ponto 
),,( 000 zyxP
é dada por: 
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 
 
 
Exemplo: 
- Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico 
222 yxz 
no ponto 
)3,1,1(P
. 
Seja 
222),( yxyxf 
. Então: 
xyxf x 4),( 
 
yyxf y 2),( 
 
4)1,1( xf
 
2)1,1( yf
 
 
Portanto, temos a equação do plano tangente em (1,1,3): 
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 
 
324)1(2)1(43  yxzyxz
 
 
Exercícios: Stewart - Calculo vol. 2 - Seção 14.4 - p. 855 
1-6 - Determinar uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado: 
1. 
yyxz 24 22 
 
)4,2,1(P
 R: 
yxz 28 
 
3. 
xyz 
 
)1,1,1(P
 R: 
02  zyx
 
4. 
xyz ln.
 
)0,4,1(P
 
5. 
)cos(. yxyz 
 
)2,2,2(P
 R: 
yz 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Diferenciais 
- Para uma função de uma única variável, 
)(xfy 
, definimos a diferencial 
dx
 como uma 
variável independente, ou seja, 
dx
 pode valer qualquer número real. A diferencial de 
x
é definida 
como: 
dxxfdx )('
 
Façamos 
xdx 
 e onde 
)()( xfxxfy 
 
Para uma função de duas variáveis, 
),( yxfz 
 definimos a diferenciais 
dx
 e 
dy
como variáveis 
independentes, ou seja, podem ter qualquer valor. Então, a diferencial 
dz
, também chamada 
diferencial total, é definida por: 
dy
y
z
dx
x
z
dyyxfdxyxfdz yx





 ),(),(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
a) Se 
22 3),( yxyxyxfz 
, determinar a diferencial 
dz
. 
dyyxdxyxdy
y
z
dx
x
z
dz )23()32( 






 
b) Se 
x
 varia de 2 a 2,05 e 
y
varia de 3 a 2,96, compare os valores de 
z
e 
dz
. 
Sendo 
)96,2;05,2(),( fyxf 
 e 
)3;2(),( 00 fyxf 
 
dyyxdxyxdy
y
z
dx
x
z
dyyxfdxyxfdz yx )23()32(),(),( 






 
 
 y secante 
 
 f (X+ Δx) 
 
 
 Δy 
 
 tangente 
 
 
 dy 
 f (X0) 
 
 
 
 X 
 
 X0 X 
 
 dx = Δx 
3 
 
Tomando-se 
2x
, 
3y 05,0 xdx
 e 
04,0 ydy
, obtemos: 
65,0)04,0)](3(2)2(3[05,0)]3(3)2(2[ dz
 
O incremento de 
z
é: 
),(),( 00 yxfyxfz 
 
6449,0]3)3)(2(32[])96,2()96,2)(05,2(3)05,2[()3,2()96,2;05,2( 2222  ffz
 
Observamos que 
zdz 
, mas 
dz
é mais fácil de calcular. 
 
Exemplo 2: 
- As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 75 cm, 60 cm e 40 cm, e cada 
medida foi feita com uma precisão de 0,2 cm. Use diferenciais para estimar o maior erro 
quando calcularmos o volume da caixa, usando estas medidas. 
 
O volume da caixa é dado por: 
zyxV ..
 e 
xydzxzdyyzdxdz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV 









 
Foi-nos dados que: 
2,0x
, 
2,0y
, 
2,0z
. Para determinar o maior erro no volume, 
usamos 
2,0dx
, 
2,0dy
e 
2,0dz
, em conjunto com x = 75, y = 60 e z = 40. 
1980)2,0).(60).(75()2,0).(40).(75(2,0).40).(60(  dVV
 
Como o volume total será de: 
3000.180)40.(60).(75( cmV 
o erro corresponde a 
aproximadamente 1,1% do volume total. 
 
Exercícios: Stewart - Calculo vol. 2 - Seção 14.4 - p. 856 
25-30. Determine diferencial da função: 
25) 
)ln(. 23 yxz 
 R: 
dy
y
x
dxyxdz 






3
22 2)ln(.3
 
26) 
yxyu .cos.
 
30)
xzeyxw ..
 
 
31. Se 
225 yxz 
 e (x,y) varia de (1,2) a (1,05;2,1), compare os valores de 
z
e 
dz
. 
 R: 
9,0,9225,0  dzz
 
 
32. Se 
eyxyxz 22 3
 e (x,y) varia de (3,-1) a (2,96;-0,95), compare os valores de 
z
e 
dz
. 
 
4 
 
33. O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, 
respectivamente, com um erro de medida de no máximo 0,1 cm. Utilize diferencias para 
estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo. R: 
24,5 cm
 
 
38. A pressão, o volume e a temperatura de um mol de gás ideal estão relacionados pela 
equação 
TPV 31,8
, onde P é medido em quilopascals, V em litros e T em kelvins. Utilize 
diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L 
para 12,3 L e a temperatura diminui de 310 K para 305 K. 
 
39. Se R é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo, com resistência 
R1, R2 , R3, então: 
321
1111
RRRR

. 
Se as resistências medes em ohms 
 251R
, 
 402R
 , 
 503R
, com margem de erro 
de 0,5 % em cada uma, estime o erro máximo no valor calculado de R. R: 
059,0
17
1
