Aula13

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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 13 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
LIMITE DE FUNÇÕES – CONTINUAÇÃO 
 
LIMITES NO INFINITO 
 Vai-se analisar o que acontece com a função f ( x ) = quando o valor da variável “x” “cresce” infinitamente em 
duas situações: para valores positivos e para valores negativos. Observe: 
 
x 1 2 3 4 5 6 ... 500 ... 1000 ... 
f ( x ) 0 ... ... ... 
 
 e 
 
x – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 ... – 500 ... – 1000 ... 
f ( x ) 2 ... ... ... 
 
 Graficamente, tem-se: 
 
 Pode-se dizer que a função dada tende para 1 quando x tende para o infinito. Portanto, é possível concluir que: 
 
 
 De maneira geral: 
 1) Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a , + ∞), tem-se: quando o número L satisfaz a 
seguinte condição: para qualquer ε > 0, existe A > 0 tal que < ε sempre que x > A. 
 2) Seja f definida no intervalo ( – ∞ , b), tem-se: , se L satisfizer a seguinte condição: para qualquer ε > 0, 
existe B < 0 tal que sempre que x < B. 
 
 Observação: 
 
 As propriedades definidas anteriormente permanecem inalteradas quando faz-se x tender a + ∞ ou – ∞. 
 
TEOREMA1 
 Se n é um número inteiro positivo, então e . 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES. 
 
 1ª Propriedade – Qualquer que seja o expoente inteiro positivo n, tem-se que: 
 a) 
x→ + ∞
lim x
n = + ∞ e . 
 b) e . 
 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
1 A demonstração deste teorema consta da página 105 do livro de FLEMMING, D. M; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006. 
1− 1
x
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
499
500
999
1000
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
501
500
1001
1000
x→ ± ∞
lim 1−
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
x→ + ∞
lim f x( ) = L
 f x( ) −L < ε
x→ − ∞
lim f x( ) = L
 f x( ) −L < ε
x→ + ∞
lim
1
xn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 0
x→ − ∞
lim
1
xn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 0
x→ + ∞
lim
1
xn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 0
x→ − ∞
lim x
n =
+ ∞, se n é par
− ∞, se n é ímpar
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ x→ − ∞
lim
1
xn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 0
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Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 2ª Propriedade – Para a função polinomial P ( x ) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an, a0 ≠ 0, tem-se: 
 e , 
 
ou seja, basta calcular o limite do termo de mais alto grau. 
 
Exemplos 
 1) Calcular o limite 
x→+ ∞
lim 2x
3 − 3x2 + 7x −10( ) . 
 Utilizando a 2ª propriedade: ⇒ 
 
⇒ 
 . 
 2) Calcular o limite . 
 Pela 2ª propriedade, vem: 
 
 ⇒ ⇒ . 
 3) Calcular o limite . 
 
 ⇒ ⇒ 
 
⇒ 
 
 
⇒ . 
 4) Calcular o limite . 
 
 ⇒ ⇒ . 
 5) Calcular o limite .
 
 
 ⇒ ⇒ 
 
⇒ 
 ⇒ . 
 6) Calcular o limite 
x→ ∞
lim
25x - 2
16x − 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
 x→ ∞
lim
25x - 2
16x − 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ ∞
lim
25x
16x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
x→ ∞
lim
25x - 2
16x − 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ ∞
lim
25
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
⇒ 
x→ ∞
lim
25x - 2
16x − 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 25
16
.
 
 7) Calcular o limite 
x→ − ∞
lim
x2 − 3x +1
x3 − x2 + x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
 
x→ − ∞
lim
x2 − 3x +1
x3 − x2 + x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ − ∞
lim
x2
x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
x→ − ∞
lim
x2 − 3x +1
x3 − x2 + x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ − ∞
lim
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
x→ − ∞
lim
x2 − 3x +1
x3 − x2 + x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 0 . 
 8) Calcular o limite 
x→ ∞
lim
1− 2x2
3 − 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
 
x→ ∞
lim
1− 2x2
3 − 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ ∞
lim
−2x2
−4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
x→ ∞
lim
1− 2x2
3 − 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ ∞
lim
x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
x→ ∞
lim
1− 2x2
3 − 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ∞
2
 ⇒ 
x→ ∞
lim
1− 2x2
3 − 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ∞ . 
x→ + ∞
lim P x( ) =
x→ + ∞
lim a0x
n
x→ − ∞
lim P x( ) =
x→ − ∞
lim a0x
n
x→ +∞
lim 2x
3 − 3x2 +7x −10( ) =
x→ +∞
lim 2x
3( )
x→ +∞
lim 2x
3 − 3x2 + 7x −10( ) = 2 . + ∞( )3
x→ +∞
lim 2x
3 − 3x2 + 7x −10( ) = + ∞
x→ − ∞
lim 1− 2x + x
2 − x3( )
x→ − ∞
lim 1− 2x + x
2 − x3( ) =
x→ − ∞
lim −x
3( )
x→ − ∞
lim 1− 2x + x
2 − x3( ) = − − ∞( )3
x→ − ∞
lim 1− 2x + x
2 − x3( ) = + ∞
x→ +∞
lim
1
2x2 − 5x +2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ +∞
lim
1
2x2 − 5x +2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= x→ +∞
lim 1
x→ +∞
lim 2x
2 − 5x +2( ) x→ +∞lim
1
2x2 − 5x +2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
x→ +∞
lim 2x
2( ) x→ +∞lim
1
2x2 − 5x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
2 + ∞( )2
x→ +∞
lim
1
2x2 − 5x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
+ ∞ x→ +∞
lim
1
2x2 − 5x +2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 0
x→ +∞
lim
2x +1
x − 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ +∞
lim
2x +1
x − 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ +∞
lim
2x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ +∞
lim
2x +1
x − 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ +∞
lim 2
x→ +∞
lim
2x +1
x − 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 2
x→ − ∞
lim
2x4 + x2 + 4
− x2 − 2x + 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ − ∞
lim
2x4 + x2 + 4
− x2 − 2x + 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ − ∞
lim
2x4
− x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ − ∞
lim
2x4 + x2 + 4
− x2 − 2x + 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ − ∞
lim − 2x
2( )
x→ − ∞
lim
2x4 + x2 + 4
− x2 − 2x + 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − 2 − ∞( )2
x→ − ∞
lim
2x4 + x2 + 4
− x2 − 2x + 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − 2 + ∞( )
x→ − ∞
lim
2x4 + x2 + 4
− x2 − 2x + 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − ∞
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 9) Calcular o limite 
x→ − ∞
lim
1
4x x − 3( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
 
 
x→ − ∞
lim
1
4x x − 3( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
x→ − ∞
lim
1
4x x2 − 6x + 9( )
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
 ⇒ 
x→ − ∞
lim
1
4x x − 3( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
x→ − ∞
lim
1
4x3 − 24x2 + 36x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
 
x→ − ∞
lim
1
4x x − 3( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
x→ − ∞
lim
1
4x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
x→ − ∞
lim
1
4x x − 3( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= 1
4 − ∞( )3
⇒ 
x→ − ∞
lim
1
4x x − 3( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= 0 . 
 
LIMITES INFINITOS 
 
 Para entender os limites infinitos vai-se examinar a situação dada abaixo. 
 Observe o comportamento da função , x ≠ 0, quando x tende a zero, por valores se aproximando deste 
valor pela esquerda e pela direita, ou seja, quais os limites laterais dessa função. 
 
x 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 
 2 10 100 1000 10000 
 e 
 
 
x – 0,5 – 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 
 2 10 100 1000 10000 
 
 Pode-se, então, representar graficamente esta situação. Observe: 
 
 
 Pelo gráfico, percebe-se que quanto mais próximo de zero é o valor da variável x, maior é o valor de f ( x ). 
 Assim, pode-se dizer que os limites laterais da função tendem ao infinito e pode-se escrever: 
 e . 
 
 Diz-se, então, que f ( x ) cresce ilimitadamente para cima quando x tende a zero, ou que o limite de f ( x ) quando x 
tende a zero é + ∞, ou seja: 
 
 Então, é possível afirmar que: 
 Seja f ( x ) uma função definida em um intervalo aberto contendo , exceto em x = . Dizemos que: 
, 
se, para qualquer A > 0, existe um δ > 0 tal que f ( x ) > A, sempre que 0 < < δ. 
 De maneirasemelhante, se a função a ser analisada fosse a função , tem-se os limites laterais: 
f x( ) = $ 1
x
$
f x( ) = $ 1
x
$
f x( ) = $ 1
x
$
f x( ) = $ 1
x
$
x→ 0 −
lim &
1
x
& = +&∞
x→ 0 +
lim &
1
x
& = +&∞
x→ 0
lim &
1
x
& = +&∞
a a
x→ a
lim f&(&x&) = +&∞
 x − a 
f x( ) = − $ 1
x
$
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x 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 
 – 2 – 10 – 100 – 1000 – 10000 
e 
x – 0,5 – 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 
 – 2 – 10 – 100 – 1000 – 10000 
 
 Esta situação representada graficamente fica: 
 
 Semelhantemente ao raciocínio feito anteriormente, pode-se dizer que os limites laterais da função 
tendem ao infinito negativo e pode-se escrever: 
 e . 
 
 Diz-se, então, que f ( x ) cresce ilimitadamente para baixo quando x tende a zero, ou que o limite de f ( x ) quando x 
tende a zero é – ∞, ou seja: 
 
 Ou, seja f ( x ) definida em um intervalo aberto contendo , exceto em x = . Diz-se que: 
, 
se para qualquer B < 0, existe um δ > 0, tal que f ( x ) < B, sempre que 0 < < δ. 
 
 Observe, agora, a situação exposta abaixo. 
 Analisar os limites laterais da função , com x ≠ 0, quando x tende a zero. 
 Quando a variável x tende a zero pela direita, o valor do limite da função tende a um número cada vez maior, ou seja, 
o limite lateral à direita da função tende a + ∞. 
 Quando a variável x tende a zero pela esquerda, o valor do limite da função tende a um número cada vez menor, ou 
seja, o limite lateral à esquerda da função tende a – ∞. 
 A representação gráfica, portanto, é: 
 
 Conclui-se, então, que: 
f x( ) = − $ 1
x
$
f x( ) = − $ 1
x
$
f x( ) = − $ 1
x
$
x→ 0 −
lim − &
1
x
&
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − &∞
x→ 0 +
lim − &
1
x
&
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − &∞
x→ 0
lim − &
1
x
&
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − &∞
a a
x→ a
lim f&(&x&) = − &∞
 x − a 
f x( ) = 1
x
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 e . 
 Logo, não existe o limite da função quando ela tende a zero. 
 
 Portanto, diz-se que não existe, nem finito nem infinito. 
TEOREMA2 
 Se “n” é um número inteiro positivo qualquer, então: 
 a) , e; 
 b) 
 
PROPRIEDADES 
 As propriedades enunciadas a seguir, ajudam sobremaneira a resolver muitos limites. 
 1ª Propriedade: 
 
 Se e, quando x → , f ( x ) tem valores positivos para x ≠ , então, 
 
 2ª Propriedade: 
 Se e, quando x → , f ( x ) tem valores negativos para x ≠ , então, . 
 
INDETERMINAÇÕES 
 
 Indeterminações ou expressões indeterminadas são as expressões dadas por: ; ; ∞ – ∞ ; 0 . ∞ ; 00 ; ∞0 e 1∞. 
Exemplos 
 1) Determinar o limite da função f ( x ) = , quando x tender a 0. 
 Solução: 
 
 ⇒ 
 
⇒ 
 2) Determinar . 
 Calculando-se o limite diretamente, obtém-se: 
 
 ⇒ , que é uma indeterminação. 
 Então, deve-se calcular os limites laterais para ver se são ou não iguais. Para tanto, usa-se o teorema enunciado 
anteriormente. 
 
 e . Como os limites laterais são iguais, conclui-se que . 
 3) Calcular . 
 Ao se calcular diretamente o valor do limite, tem-se: 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
2 A demonstração deste teorema consta da página 111 do livro de FLEMMING, D. M; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006. 
x→ 0 −
lim
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − (∞
x→ 0 +
lim
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +)∞
x→ 0
lim
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ 0 +
lim
1
xn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + ∞
x→ 0 −
lim
1
xn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+)∞,)se)n)é)par
− )∞,)se)n)é)ímpar
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
x→ a
lim f x( ) = 0 a a
x→ a
lim
1
f'('x')
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +'∞
x→ a
lim f x( ) = 0 a a
x→ a
lim
1
f'('x')
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − '∞
0
0
∞
∞
x2 + x + 1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ 0
lim x
2 + x + 1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ 0
lim x
2 +
x→ 0
lim x +
x→ 0
lim
1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ 0
lim x
2 + x + 1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 02 + 0 +∞
x→ 0
lim x
2 + x + 1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + ∞
x→ 0
lim
1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ 0
lim
1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
02 x→ 0
lim
1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
0
x→ 0 −
lim
1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + ∞
x→ 0 +
lim
1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + ∞
x→ 0
lim
1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + ∞
x→ 1
lim
1
− x −1( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
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 ⇒ ⇒ que é uma indeterminação. 
 Assim, deve-se calcular os limites laterais para verificar se são ou não iguais. 
 Para valores que se aproximam de 1 pela esquerda, temos – (x – 1)2 < 0, e os resultados são números negativos e 
cada vez “maiores”, ou seja: 
 
. 
 Para valores que se aproximam de 1 pela direita, temos – (x – 1)2 < 0, e os resultados são números negativos e cada 
vez “maiores”, ou seja: 
 
. 
 Como os limites laterais são iguais, conclui-se que . 
 4) Calcular . 
 Ao tentar calcular o limite, obtém-se: 
 
 ⇒ 
 
⇒ , que é uma indeterminação. 
 Assim, como os exemplos anteriores, deve-se calcular os limites laterais. 
 Para valores que se aproximam de pela esquerda, temos 2x – 1 < 0, e os resultados são números negativos e 
cada vez “maiores”, ou seja: . 
 Para valores que se aproximam de 1 pela direita, temos 2x – 1 < 0, e os resultados são números positivos e cada vez 
“maiores”, ou seja, . 
 Como os limites laterais são diferentes, concluímos que o 
x→ 1
2
lim
1
2x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 não existe. 
EXERCÍCIOS 
 
Determine os valores dos limites no infinito dados abaixo: 
 
1. 
x→ ∞
lim 2x
4( ) . 2. 
x→ − ∞
lim 5x
2( ) . 3. 
x→ + ∞
lim
1
2x4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 4. 
x→ − ∞
lim
1
5x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 5. 
x→ − ∞
lim 4x
3( ) . 6. 
x→ − ∞
lim
1
4x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 7. 
x→ + ∞
lim − 10x
2( ) . 
8. 
x→ − ∞
lim
1
− 10x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 9. 
x→ + ∞
lim
1
2x2 − 5x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 10. 
x→ − ∞
lim
x2 − 3x +1
3x3 +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 11. 
x→ + ∞
lim 2x
2 − 3x +1( ) . 12. 
x→ + ∞
lim 1+ x − x
2 − x3( ) . 
13. 
x→ + ∞
lim
1
x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 14. 
x→ + ∞
lim
2x3
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 15. 
x→ + ∞
lim
2x
x2 +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 16. 
x→ + ∞
lim
1+ x2
1− 2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 17. 
x→ + ∞
lim
x + 2
x + 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 18. 
x→ + ∞
lim
4x +1
− x + 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
19. 
x→ + ∞
lim
2x + 3
6x + 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 20. 
x→ + ∞
lim
10x2 +1
2x2 + x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 21. 
x→ − 3
lim
x2 + 2x − 3
5 − 3x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 22. 
x→ − ∞
lim
− x2 +8
4x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 23. 
x → − ∞
lim
1+ x + x2
1+ x2 + x4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
24. 
x→ − ∞
lim 2
x . 25. 
x→ + ∞
lim
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 26. 
x→ + ∞
lim 10
− x . 27. 
x→ + ∞
lim
2x
3x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 28. 
x→ + ∞
lim x . 29. 
x→ + ∞
lim log$x . 
 
Determine os valores dos limites infinitos dados abaixo: 
 
x→ 1
lim1
− x −1( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= x→ 1
lim1
x→ 1
lim − x −1( )2⎛⎝ ⎞⎠ x→ 1
lim
1
− x −1( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= 1
− 1−1( )2 x→ 1lim
1
− x −1( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= 1
0
x→ 1 −
lim
1
− x −1( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= − ∞
x→ 1 +
lim
1
− x −1( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= − ∞
x→ 1
lim
1
− x −1( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= − ∞
x→ 1
2
lim
1
2x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ 1
2
lim
1
2x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
2 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−1 x→ 1
2
lim
1
2x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
1−1
x→ 1
2
lim
1
2x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
0
1
2
x→ 1
2
 −
lim
1
2x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − ∞
x→ 1
2
 +
lim
1
2x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + ∞
Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 13 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
30. 
x → 2
lim
1
x2 − 4x + 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 31. 
x → 0
lim
1
x4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 32. 
x → 0
lim
1
x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 33. 
x → 2
lim
1
x − 2( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
. 34. 
x → 3
lim
1
x − 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 35. 
x → 2
lim
1
2 − x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
36. 
x → 1
lim
1
x2 − 2x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 37. 
x → 0
lim
 − 1
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 38. 
x → 1
lim
3
x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 39. 
x → 2
lim
− 2
x − 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 40. 
x → 1
lim
10
x −1( ) x − 2( )
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . 41.
x → 2
lim
10
x2 − 3x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
42. 
x → 2
lim
− 2
x2 − 2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 43. 
x → 0
lim
5
x3 − x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 44. 
x → 2
lim
x + 2
x − 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 45. 
x → 1
2
lim
1+ 2x
1− 2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 46. 
x → 0
lim log x . 47. 
x → 0
lim log 
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 
RESPOSTAS 
1) + ∞ 2) + ∞ 3) 0 4) 0 5) – ∞ 6) 0 7) – ∞ 8) 0 9) 0 10) 0 11) + ∞ 12) – ∞ 13) 0 14) + ∞ 15) 0 16) – ∞ 17) 1 18) – 4 
19) 1
3
 20) 5 21) 0 22) − 1
4
 23) 0 24) 0 25) 0 26) 0 27) 0 28) + ∞ 29) + ∞ 30) + ∞ 31) + ∞ 32) – ∞ 33) + ∞ 34) Não 
existe (limites laterais diferentes) 35) Não existe (limites laterais diferentes) 36) + ∞ 37) – ∞ 38) Não existe (limites laterais 
diferentes) 39) – ∞ 40) – ∞ 41) + ∞ 42) – ∞ 43) – ∞ 44) + ∞ 45) – ∞ 46) – ∞ 47) + ∞