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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS A HORA´RIO: 14:55 a`s 16:35 - 09/09/2004 1a. Avaliac¸a˜o 1. Um lago com 460 km3 de volume, recebe a´gua numa taxa de 310 km3/ano com uma concentrac¸a˜o de 1 kg de poluente industrial por km3. A a´gua, bem misturada, escoa do lago com a mesma taxa de entrada. No instante inicial, o lago tem uma concentrac¸a˜o de poluentes 5 vezes do que a concentrac¸a˜o encontrada na a´gua que entra nele. (a) Deˆ a equac¸a˜o da quantidade de poluente no lago em func¸a˜o do tempo. (b) Quanto tempo levara´ para que a concentrac¸a˜o de poluente caia para a metade da concentrac¸a˜o inicial? (c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da quantidade de poluente em func¸a˜o do tempo. Link para a soluc¸a˜o. 2. Considere o seguinte problema: dy dt = f(y) = y(y2 + 3y + 2), y(0) = y0. (1) (a) Esboce o gra´fico de f(y) em func¸a˜o de y, determine os pontos de equil´ıbrio e classifique cada um deles como assintoticamente esta´vel ou insta´vel. Justifique. (b) Esboce algumas soluc¸o˜es para diferentes valores de y0. Link para a soluc¸a˜o. 3. (a) Encontrar a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dy dx = 2x− 2y 2x− y y(1) = 2 + √ 3 (b) Determinar o intervalo de validade da soluc¸a˜o. Link para a soluc¸a˜o. 1 Soluc¸a˜o 1. (a) O problema pode ser modelado pelo seguinte problema de valor inicial dQ dt = 310 · 1− 310 Q 460 . Q(0) = 5 · 460 = 2300 dQ dt + 31 46 Q = 310 Multiplicando-se a equac¸a˜o pelo fator integrante µ(t) = e � 31 46 dt = e 31t 46 obtemos d dt ( e 31t 46 Q ) = 310e 31t 46 . Integrando-se obtemos e 31t 46 Q(t) = 460 e 31t 46 + C ⇒ Q(t) = 460 + Ce− 31t46 . Substituindo t = 0 e Q = 2300: C = 1840. Substituindo o valor de C: Q(t) = 460 + 1840e− 31t 46 . (b) 5 2 = c(t) = Q(t) V = 1 + 4e− 31t 46 ⇒ e− 31t46 = 5 2 − 1 4 = 3 8 31t 46 = ln ( 8 3 ) ⇒ t = 46 31 ln ( 8 3 ) (c) −2 0 2 4 6 8 10 0 500 1000 1500 2000 t Q Link para a pro´xima questa˜o. 2 2. (a) −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 −6 −4 −2 0 2 4 6 y y’=f(y) Os pontos de equil´ıbrio sa˜o as ra´ızes de f(y) = y(y2 +3y+2), ou seja, y1 = −2, y2 = −1 e y3 = 0. i. y1 = −2 e´ ponto de equil´ıbrio insta´vel pois para valores de y pro´ximos de y1 = −2 temos • y′ = f(y) < 0, para y < y1 = −2 • y′ = f(y) > 0, para y > y1 = −2. O que implica que se y0 = y(0) e´ pro´ximo de y1 = −2 a soluc¸a˜o correspon- dente y(t) esta´ se afastando de y1 = −2, quando t cresce. ii. y2 = −1 e´ ponto de equil´ıbrio esta´vel pois para valores de y pro´ximos de y2 = −1 temos • y′ = f(y) > 0, para y < y2 = −1 • y′ = f(y) < 0, para y > y2 = −1. O que implica que se y0 = y(0) e´ pro´ximo de y2 = −1 a soluc¸a˜o correspon- dente y(t) esta´ se aproximando de y2 = −1, quando t cresce. iii. y3 = 0 e´ ponto de equil´ıbrio insta´vel pois para valores de y pro´ximos de y3 = 0 temos • y′ = f(y) < 0, para y < y3 = 0 • y′ = f(y) > 0, para y > y3 = 0. O que implica que se y(0) e´ pro´ximo de y3 = 0 a soluc¸a˜o correspondente y(t) esta´ se afastando de y3 = 0, quando t cresce. 3 (b) −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 t y Link para a pro´xima questa˜o. 4 3. (a) 2x− 2y + (y − 2x)dy dx = 0 M = 2x− 2y, N = y − 2x ∂M ∂y = −2, ∂N ∂x = −2 ∂M ∂y = ∂N ∂x ⇒ A equac¸a˜o e´ exata! ψ(x, y) = ∫ Mdx = x2 − 2xy + h(y) N = y − 2x = ∂ψ ∂y = −2x+ h′(y) h′(y) = y ⇒ h(y) = 1 2 y2 + C1 A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´ dada implicitamente por x2 − 2xy + 1 2 y2 = C Substituindo-se x = 1 e y = 2 + √ 3 na soluc¸a˜o acima 1− 2(2 + √ 3) + 1 2 (2 + √ 3)2 = 1 2 = C. Logo a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´ dada implicitamente por x2 − 2xy + 1 2 y2 = 1 2 (b) dx dy = 0 ⇔ y − 2x = 0 ⇔ y = 2x Substituindo-se na soluc¸a˜o x2 − 4x2 + 2x2 = 1 2 ⇔ −x2 = 1 2 Logo na˜o existem pontos onde a tangente e´ vertical e assim a soluc¸a˜o e´ va´lida para todo x ∈ R. 5
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