20 MetNum EDO

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br 
Aula 22 
Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 07/2014 
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 3/58 
 
 
 Objetivo: Resolver Equações 
Diferenciais Ordinárias utilizando 
métodos numéricos 
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 4/58 
 Pêndulo Oscilante 
¨  O movimento de um pêndulo oscilante, sob certas hipóteses 
simplificadoras é descrito pela equação diferencial de 
segunda ordem: 
 
§  onde: 
§  L é o comprimento do pêndulo; 
§  g é a constante gravitacional 
§  (g ≈ 9,8 m/s2); 
§  θ é o ângulo que o pêndulo faz 
§  com a vertical. 
 
d 2θ
dt2 +
g
L senθ = 0
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Cálculo Numérico 5/58 
 Pêndulo Oscilante 
¨  O movimento de um pêndulo oscilante, sob certas hipóteses 
simplificadoras é descrito pela equação diferencial de 
segunda ordem: 
 Problema de Valor Inicial (PVI): 
d 2θ
dt2 +
g
L senθ = 0
θ t0( ) =θ0
θ ' t0( ) =θ0 '
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Cálculo Numérico 6/58 
Pêndulo Oscilante 
¨  Para valores pequenos de θ, a aproximação pode ser 
utilizada para simplificar o problema, para um problema 
linear, que pode ser resolvido analiticamente: 
¨  Com condições iniciais: 
d 2θ
dt2 +
g
Lθ = 0
θ t0( ) =θ0, θ ' t0( ) =θ '0
θ = senθ
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Cálculo Numérico 7/58 
Pêndulo Oscilante 
¨  Para valores maiores de θ, a solução se torna mais complexa 
e fogem do contexto de um curso básico de EDO. Neste 
caso, é aconselhável a aplicação de um método numérico. 
 
¨  O valor da função e suas 
derivadas são especificados no mesmo ponto; 
¨  O valor da função e suas 
derivadas são dados em pontos distintos. 
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Cálculo Numérico 8/58 
Métodos de Passo 
Simples 
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Cálculo Numérico 9/58 
¨  São resolvidas equações diferenciais ordinárias do tipo: 
¨  : 
 
onde: 
¨  yi+1 é o novo valor; φι é a inclinação; 
¨  yi é o antigo valor; h é o tamanho do passo. 
dy
dx = f x, y( )
yi+1 = yi +φih
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Cálculo Numérico 10/58 
¨  A estimativa da inclinação ϕ é usada para extrapolar de um 
valor antigo yi para um valor novo yi+1 em uma distância h. 
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Cálculo Numérico 11/58 
Método de Euler 
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Cálculo Numérico 12/58 
Método de Euler 
¨  A abordagem mais simples de estimativa da inclinação é 
usar a equação diferencial para obter uma estimativa na 
forma da primeira derivada em xi. 
φi = f xi, yi( )
yi+1 = yi +φih
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Cálculo Numérico 13/58 
Exemplo 1 
¨  Use o método de Euler para integrar numericamente a 
equação: 
 de x = 0 a x = 4 com um tamanho de passo de 0,5. 
 A condição inicial em x = 0 é y = 1. 
 Lembre-se de que a solução exata é dada por: 
dy
dx = −2x
3 +12x2 − 20x +8,5
y = −0,5x4 + 4x3 −10x2 +8,5x +1
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Cálculo Numérico 14/58 
Resultados do Exemplo 1 
Global = εt =
ytrue − yEuler
ytrue
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Cálculo Numérico 15/58 
¨  Comparação da solução verdadeira com a solução numérica 
usando o método de Euler para o exemplo. 
Observe 
Apesar dos cálculos 
capturarem a tendência 
geral dos dados, o erro 
é considerável. 
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Cálculo Numérico 16/58 
Erro para o Método de Euler 
 
¨  O erro pode ser reduzido diminuindo-se o tamanho do passo. 
 
 
 
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Cálculo Numérico 17/58 
Exercício 1 
¨  Repita os cálculos do Exemplo 1, mas use um tamanho de 
passo de 0,25. 
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Cálculo Numérico 18/58 
Método de Heun 
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Cálculo Numérico 19/58 
Método de Heun 
¨  Neste método, determinamos para o 
intervalo, uma no ponto inicial e outra no ponto final. 
¨  A inclinação utilizada será a média das duas inclinações. 
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Cálculo Numérico 20/58 
Método de Heun 
¨  Preditor 
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Cálculo Numérico 21/58 
Método de Heun 
¨  A será: 
que é uma previsão intermediária. 
 
¨  Esta equação será usada para estimar a 
do intervalo: 
yi+1k( ) = yi + f xi, yi( )h
y 'i+1k( ) = f xi+1, yi+1k( )( )
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Cálculo Numérico 22/58 
Método de Heun 
¨  Corretor 
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Cálculo Numérico 23/58 
Método de Heun 
¨  Combinando as duas inclinações, temos uma 
no intervalo: 
¨  E assim, teremos: 
y ' = y 'i + y 'i+1
k( )
2 =
f xi, yi( )+ f xi+1, yi+1k( )( )
2
y k+1( )i+1 = yi + y 'h
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Cálculo Numérico 24/58 
Etapas do Método de Heun 
¨  Inclinação no início do intervalo: 
¨  Equação preditora: 
¨  Inclinação na extremidade final: 
¨  Inclinação média: 
¨  Equação corretora: 
yi ' = f xi, yi( )
yi+1k( ) = yi + y 'i h
y ' i+1k( )= f xi+1, yi+1k( )( )
y ' = yi
' + yi+1' k( )
2
yi+1k+1( ) = yi + y 'h
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Cálculo Numérico 25/58 
Método de Heun 
¨  Por ser um método iterativo, temos que estabelecer um 
: 
 
εt =
yi+1k+1( ) − yi+1k( )
yi+1k+1( )
⋅100%
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Cálculo Numérico 26/58 
Exemplo 3 
¨  Use o método de Heun para integrar y’ = 4e0,8x – 0,5y de 
x = 0 a x = 4 com tamanho de passo 1. 
¨  A condição inicial em x = 0 é y = 2. 
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Cálculo Numérico 27/58 
Resultados Exemplo 3 
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Cálculo Numérico 28/58 
¨  Comparação da solução verdadeira com soluções numéricas 
usando os métodos de Euler e de Heun para a integração de: 
y’ = -2x3 + 12x2 - 20x + 8,5. 
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Cálculo Numérico 29/58 
Método do Ponto 
Médio 
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Cálculo Numérico 30/58 
Método do Ponto Médio 
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Cálculo Numérico 31/58 
Método do Ponto Médio 
xi+1/2 
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Cálculo Numérico 32/58 
Etapas do Método do Ponto Médio 
¨  y no ponto médio do intervalo: 
¨  Inclinação no ponto médio: 
¨  Cálculo de yi+1: 
yi+1 2 = yi + f xi, yi( )
h
2
y 'i+1 2 = f xi+1 2, yi+1 2( )
yi+1 = yi + f xi+1 2, yi+1 2( )h
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Cálculo Numérico 33/58 
Métodos de 
Runge-Kutta 
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Cálculo Numérico 34/58 
Métodos de Runge-Kutta 
¨  A forma geral dos métodos de Runge-Kutta é: 
¨  Em que é chamada , que 
representa a inclinação em um intervalo. 
¨  De forma geral, φ será: 
 
yi+1 = yi +φ xi, yi,h( )h
φ = a1k1 + a2k2 +!+ ankn
φ xi, yi,h( )
1( )
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Cálculo Numérico 35/58 
Métodos de Runge-Kutta 
 
 
Em que os a’s são constantes e os k’s são: 
 
 
 
 
 
 
 
com p’s e q’s constantes. 
 
 
 
 
 
 
φ = a1k1 + a2k2 +!+ ankn
k1 = f xi, yi( )
k2 = f xi + p1h, yi + q11k1h( )
k3 = f xi + p2h, yi + q21k1h+ q22k2h( )
kn = f xi + pn−1h, yi + qn−1,1k1h+ qn−1,2k2h+!+ qn−1,n−1kn−1h( )
!
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Cálculo Numérico 36/58 
Métodos de Runge-Kutta 
¨  O que diferencia cada método de Runge-Kutta é 
da função incremento. 
¨  Escolhido o valor de n, iguala-se a equação (1) a termos da 
expansão em Série de Taylor e acham-se os a’s, p’s e q’s. 
¨  O método de Runge-Kutta de (n = 1) é o 
. 
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Cálculo Numérico 37/58 
Métodos de R-K de Segunda Ordem 
¨  O método de Runge-Kutta de (n = 2) será: 
 onde: 
yi+1 = yi + a1k1 + a2k2( )h
k1 = f xi, yi( )
k2 = f xi + p1h, yi + q11k1h( )
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Cálculo Numérico 38/58 
Métodos de R-K de Segunda Ordem 
¨  Para determinar as constantes a1, a2, p1 e q11 temos que 
igualar: 
¨  À Série de Taylor de segundo grau para yi+1 em termos de yi 
e f (xi , yi): 
yi+1 = yi + f xi, yi( )h+
f ' xi, yi( )
2! h
2
yi+1 = yi + a1k1 + a2k2( )h
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Cálculo Numérico 39/58 
Métodos de R-K de Segunda Ordem 
¨  Comparando a forma geral do método de Runge-Kutta de 
segunda ordem com uma expansão em série de Taylor, 
vemos que: 
a1 + a2 =1
a2p1 = 12
a2q11 = 12
3 equações 
4 incógnitas 
Solução 
NÃO é única 
Existe uma família 
de Métodos de 
Runge Kutta de 
segunda ordem 
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Cálculo Numérico 40/58 
Métodos de R-K de Segunda Ordem 
¨  Comparando a forma geral do método de Runge-Kutta de 
segunda ordem com uma expansão em série de Taylor, 
vemos que: 
a1 + a2 =1
a2p1 = 12
a2q11 = 12
3 equações 
4 incógnitas 
Variação de a2 
a1 =1− a2
p1 = q11 = 12a2
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Cálculo Numérico 41/58 
¨  Método de Heun com um único corretor (a2 = ½); que é o 
método de Heun sem iterações. 
¨  em que: 
Métodos de R-K de Segunda Ordem 
yi+1 = yi +
1
2 k1 +
1
2 k2
!
"
#
$
%
&h
k1 = f xi, yi( )
k2 = f xi + h, yi + k1h( )
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Cálculo Numérico 42/58 
¨  Método do Ponto Médio (a2 = 1). 
 
¨  em que: 
Métodos de R-K de Segunda Ordem 
yi+1 = yi + k2h
k1 = f xi, yi( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++= hkyhxfk ii 12 2
1,
2
1
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Cálculo Numérico 43/58 
¨  Método de Ralston (a2 = 2/3). 
¤  Este valor de a2 fornece um limitante mínimo para o erro de 
truncamento. 
¨  em que: 
Métodos de R-K de Segunda Ordem 
yi+1 = yi +
1
3 k1 +
2
3 k2
!
"
#
$
%
&h
k1 = f xi, yi( )
k2 = f xi +
3
4 h, yi +
3
4 k1h
!
"
#
$
%
&
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Cálculo Numérico 44/58 
Exemplo 4 
¨  Use o método do ponto médio e o método de Ralston para 
integrar numericamente a equação: 
 
 f (x,y) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5 
 
de x = 0 a x = 4 usando um tamanho de passo de 0,5. 
A condição inicial em x = 0 é y = 1. 
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 45/58 
Exemplo 4 
¨  Comparação da solução verdadeira com soluções numéricas 
usando três métodos de RK de 2a ordem e o método de Euler. 
y ' = −2x3 +12x2 − 20x +8,5
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Cálculo Numérico 46/58 
Métodos de R-K de Quarta Ordem 
¨  São os métodos de Runge-Kutta . 
¨  Assim como os de segunda e terceira ordem, existe um 
número de versões. 
¨  O método de RK de é parecido com 
a abordagem de Heun, no fato que são desenvolvidas 
para se chegar a uma 
inclinação média melhorada no intervalo. 
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 47/58 
Métodos de R-K de Quarta Ordem 
¨  Inclinações Estimadas: 
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 48/58 
Método de R-K de 4a Ordem Clássico 
em que: 
yi+1 = yi +
h
6 k1 + 2k2 + 2k3 + k4( )
k1 = f xi, yi( ) k2 = f xi + 12 h, yi +
1
2 k1h
!
"
#
$
%
&
k3 = f xi +
1
2 h, yi +
1
2 k2h
!
"
#
$
%
& k4 = f xi + h, yi + k3h( )
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Cálculo Numérico 49/58 
¨  Use o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico para 
integrar: 
 
 
 
 
de x = 0 a 0,5, utilizando um tamanho de passo h = 0,5 e uma 
condição inicial de y = 2 em x = 0. 
Exemplo 6 
y ' x, y( ) = 4e0,8x − 0,5y
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Cálculo Numérico 50/58 
Exercício 2 
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Cálculo Numérico 51/58 
Sistemas de 
Equações 
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 52/58 
Sistemas de Equações 
¨  É muito comum termos que resolver problemas envolvendo 
um sistema de equações diferenciais ordinárias ao invés de 
uma única equação. 
¨  Para resolvê-los, qualquer um dos métodos apresentados 
aqui pode ser aplicado. 
¨  Em cada caso, o procedimento para resolver o sistema de 
EDOs envolve simplesmente a aplicação da técnica de passo 
único em todas as equações para cada passo, antes de 
prosseguir para o próximo passo. 
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Cálculo Numérico 53/58 
Exemplo 1 
¨  Resolva o seguinte conjunto de equações diferenciais usando 
o método de Euler, supondo que, em x = 0, y1 = 4 e y2 = 6. 
Integre até x = 2 com um tamanho de passo de 0,5. 
 e 
dy1
dx = −0,5y1
dy2
dx = 4− 0,3y2 − 0,1y1
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 54/58 
Método de Euler 
¨  A abordagem mais simples de estimativa da inclinação é 
usar a equação diferencial para obter uma estimativa na 
forma da primeira derivada em xi. 
φ = f xi, yi( )
yi+1 = yi +φh
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 55/58 
Exemplo 1 
¨  Resultados para todos os passos, até x = 2,0. 
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 56/58 
Sistemas de Equações 
¨  É preciso tomar cuidado na determinação das inclinações, 
quando aplicar os métodos de RK de ordem superior, ou 
seja, primeiro desenvolvemos inclinações para todas as 
variáveis no valor inicial. Essas inclinações (um conjunto de 
ki’ s) são, então, usadas para fazer previsões da variável 
independente no ponto médio do intervalo. 
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 57/58 
Exemplo 2 
¨  Resolva o sistema de equações do exemplo anterior usando o 
método de R-K de quarta ordem, supondo que, em x = 0, y1 
= 4 e y2 = 6. Integre até x = 2 com um tamanho de passo de 
0,5. 
 e 
dy1
dx = −0,5y1
dy2
dx = 4− 0,3y2 − 0,1y1
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 58/58 
Método de R-K de 4a Ordem Clássico 
em que: 
yi+1 = yi +
h
6 k1 + 2k2 + 2k3 + k4( )
k1 = f xi, yi( ) k2 = f xi + 12 h, yi +
1
2 k1h
!
"
#
$
%
&
k3 = f xi +
1
2 h, yi +
1
2 k2h
!
"
#
$
%
& k4 = f xi + h, yi + k3h( )
Aula 6 – Resolução de EDOs 
Cálculo Numérico 59/58 
Exemplo 2 
¨  Resultado para todos os passos, até x = 2,0.