Apostila de Função até Função do 1º grau (7 páginas, 34 questões)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 FUNÇÃO ATÉ FUNÇÃO DO 1º GRAU
 
1 . PRODUTO CARTESIANO 
 Dados dois conjuntos não vazios A e B, 
denomina-se produto cartesiano de A por B o con-
junto formado pelos pares ordenados nos quais o 
1º elemento pertence a A e o 2º elemento per-
tence a B. simbolicamente, 
 
 
A 

 B = {(x, y)/ x ∈ A e y ∈ B} 
 
 
Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. De-
termine A 

 B. 
Resolução: 
A 

 B = {(0, 2),(0, 4),(1, 2),(1, 4),(2, 2),(2, 4)}. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
1) Sejam A = {0, 1} e B = {1, 3, 5}. Determine 
o produto cartesiano: 
 
a) A B = b) B A = c) A2 = 
 
2 . RELAÇÃO 
É um subconjunto de um produto cartesia-
no, determinado por uma sentença matemática. 
 
Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 
4} e A B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), 
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), 
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. 
 
a) O conjunto R de A 

 B, tais que x = y: 
 
Resposta: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. 
 
b) O conjunto R de A 

 B, tais que x é o dobro 
de y: 
 
Resposta: R = {(2, 1), (4, 2)}. 
 
c) O conjunto R de A 

 B, tais que y é o dobro 
de x: 
 
Resposta: R = {(1, 2), (2, 4)}. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 6}. 
Determine: 
a) A B = 
 
b) a relação R tal que y = x. 
 
c) a relação R tal que x é o dobro de y. 
 
d) a relação R tal que y é o dobro de x. 
 
e) a relação R tal que x é a metade de y. 
 
f) a relação R tal que y = x + 1. 
 
3) No lançamento de dois dados, anotando todas 
as possibilidades de resultados possíveis em pares 
ordenados. Determine: 
a) a quantidade de pares ordenados possíveis; 
 
b) o conjunto dos pares ordenados cuja soma dos 
resultados seja igual a 7; 
 
c) o conjunto dos pares ordenados (x, y), tais que 
x = y; 
 
d) o conjunto dos pares ordenados (x, y), tais 
que y é a metade de x. 
2.1) Representação gráfica de relação 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a relação R tal que 
y = x + 1, seguem as representações gráficas: 
 
a) Por diagramas: 
 
R = {(0, 1),(1, 2),(2, 3),(3, 4)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = {0, 1, 2, 3} 
Im = {1, 2, 3, 4} 
CD = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
b) No plano cartesiano: 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
4) Sejam A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. De-
termine: 
a) a relação R tal que y = x - 1. 
 
b) represente a relação em diagramas. 
 
c) represente a relação no plano cartesiano. 
 
d) o domínio D. 
 
e) a imagem Im. 
 
f) o contradomínio CD. 
 
5) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
Determine: 
a) a relação R tal que y = 2x. 
 
b) represente a relação em diagramas. 
 
c) represente a relação no plano cartesiano. 
 
d) o domínio D. 
 
e) a imagem Im. 
 
f) o contradomínio CD. 
 
6) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
Determine: 
a) a relação R tal que y = 2x + 1. 
 
b) represente a relação em diagramas. 
 
c) represente a relação no plano cartesiano. 
 
d) o domínio D. 
 
 


1
1
0 2 3
3
2
4
5
x
y
 
2 
e) a imagem Im. 
 
f) o contradomínio CD. 
 
7) Localize no plano cartesiano os pontos: 
A(1, 2), B(1, -2), C(2, 3), D(-2, 2), E(3, -3), 
F(5, -1), G(0, 0), H(4, 3), I(1, 0) e J(0, 1). 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
8) Uma companhia telefônica tem um plano para 
seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser 
pago pelos seus clientes em função do tempo de 
ligação: 
 
 
 
Faça o que se pede: 
a) Represente a tabela em diagramas; 
b) Represente a tabela em plano cartesiano. 
 
3 . NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO 
 Observe a tabela abaixo que relaciona o 
número de litros de gasolina e o preço a pagar. 
 
Nº de litros Preço (R$) 
1 2,10 
2 4,20 
3 6,30 
4 8,40 
5 10,50 
⋮ ⋮ 
x 2,10.x 
 
Observe: 
 As grandezas “Nº de litros” e “Preço” são 
variáveis; 
 Para cada quantidade em litros de gasolina co-
locada há um único preço; 
 O preço a ser pago depende do número de litros 
de gasolina a ser colocado, isto é, o preço está 
em função do número de litros colocados; 
 Para x litros de gasolina comprada, o preço a 
ser pago será 2,10 vezes x, isto é 
 
 
P = 2,10.x 
 
 
P – preço a ser pago é a variável dependente; 
x - número de litros de gasolina é a variável in-
dependente. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
9) Na tabela abaixo temos a quantidade de ovos 
(em dúzias) e o seu respectivo preço. 
 
Quantidade (em dúzia) Preço (em R$) 
1 1,20 
2 2,40 
3 3,60 
4 4,80 
⋮ ⋮ 
x 1,20.x 
 
Responda o que se pede: 
a) O preço a ser pago está em função da quanti-
dade de ovos comprados? 
 
b) O que depende do quê? 
 
c) Qual é a variável dependente? 
 
d) Qual é a variável independente? 
 
e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti-
dade de dúzias com o preço a pagar? 
 
f) Qual é o preço de 9 dúzias de ovos? 
 
10) Uma panificadora vende o pão francês de 50 
gramas, mais conhecido como “pão careca”, ao 
preço de R$ 0,25 cada. Para não ter que fazer 
conta a toda hora, os funcionários da panificadora 
montaram a seguinte tabela: 
 
Quantidade de pães Preço (R$) 
1 0,25 
2 0,50 
3 0,75 
4 1,00 
5 1,25 
6 1,50 
7 1,75 
8 2,00 
9 2,25 
10 2,50 
 
Responda o que se pede: 
a) O preço a ser pago está em função da quanti-
dade de pães comprados? 
 
b) O que depende do quê? 
 
c) Qual é a variável dependente? 
 
d) Qual é a variável independente? 
 
e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti-
dade de pães e o preço a pagar? 
 
f) Qual é preço de 6 pães? 
 
g) Qual é preço de 12 pães? 
 
h) Se tenho R$ 4,00. Qual é a quantidade de 
pães que dá para eu comprar? 
 
4 . DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
 
 
 
Dados os conjuntos A e B, não vazios, e 
uma relação R de A em B, quando para todo ele-
mento x ∈A, existe um único f(x) ∈ B, dizemos 
que R é uma função f de A em B. 
 
Notação: f: A 

 B. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
11) Quais das seguintes relações são funções? 
a) c) 
 
b) 
 
3 
 
 
 
12) Marque os diagramas representam função: 
 
(a)( ) 
 
(b)( ) (c)( ) 
 
 
(d)( ) (e)( ) (f)( ) 
 
(g)( ) (h)( ) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
13) Uma companhia telefônica tem um plano 
para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor 
a ser pago pelos seus clientes em função do tem-
po de ligação: 
 
 
 
Faça o que se pede: 
a) Represente a tabela em diagramas; 
b) Sendo o conjunto A, a variável “Tempo de liga-
ções”; e o conjunto B, a variável “Valor em reais”, 
a tabela representa uma função de A em B? 
 
14)(UEPA-2003) Dentre os romeiros, há aque-
les que acompanham o círio carregando miniatu-
ras de casa, barcos, parte do corpo humano em 
cera, velas, etc. Por considerarem atendidas por 
nossa senhora de Nazaré as suas súplicas. Estes 
objetos são tantos que existem carros especiais 
para recolhê-los. Considerando a existência de um 
conjunto A, formado pelos romeiros do círio, 
e um conjunto B formado pelos objetos ofer-
tados/recolhidos durante a procissão, é correto 
afirmar que: 
(a) Todos os elementos de A estão associados a 
elementos de B, o que caracteriza uma função de 
A em B. 
 
(b) Alguns elementos de A estão associados a 
elementos de B, que caracteriza uma relação de A 
em B. 
 
(c) Nenhum elemento de A está associado a ele-
mentos de B. 
 
(d) Existem elementos de B que não estão asso-
ciados a elementos de A. 
 
(e) Todas as alternativas acima estão corretas. 
 
5 . DOMÍNIO, IMAGEME CONTRADOMÍ-
NIO DE FUNÇÃO 
 
 O conjunto A cha-
ma-se Domínio da função 
(Df), o conjunto B contra-
domínio da função (CDf) e 
o elemento f(x) ∈ B chama-
se imagem de x pela fun-
ção. O conjunto imagem da 
função é Imf = {f(x) ∈ B/ x 
∈ A}. Os diagramas ao lado 
serão simbolizados, a partir 
de agora, simplesmente, 
assim f: A → B. 
 
Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6}, f: A → B, definida 
por f(x) = x + 1. 
 
Df = {0, 1, 2} 
 
Imf = {1, 2, 3} 
 
CDf = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
15) Dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7} e a relação R tal que y = 2x + 1: 
a) Construa a relação R em diagramas; 
 
b) Verifique se essa relação é uma função. Em 
caso afirmativo determine o Df, Imf e CDf. 
 
16) O diagrama de flechas re-
presenta uma função f de A em 
B. Determine: 
a) D(f) = 
 
b) CD(f) = 
 
c) lm(f) = 
 
d) f(3) = 
 
e) f(5) = 
 
f) x tal que f(x) = 4 
 
 
-10
01
12
2
A B
-1
0
1
1
2
A B
-1
0
1
1
2
A B
- 1 -1
00
1 1
2
2
-2
3
A
B
-10
0
1
1
2
2
A B
 -1 -1
0 0
1 1
2 2
A B
- 1 -1
0 0
1 1
2
A B
x f(x)
A
B
f
1
A
B
0
2
1
2
3
0
4
5
6
 
4 
6 . FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou 
função afim, a qualquer função f: ℝ → ℝ dada por 
uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são 
números reais fixos, com a ≠ 0; x e f(x) são va-
riáveis. O número a é chamado de coeficiente de 
x e o número b é chamado termo constante. 
 
Exemplos: 
a) f(x) = 5x – 3, no qual a = 5 e b = -3 
b) f(x) = -2x + 7, no qual a = -2 e b = 7 
c) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
6.1) O gráfico 
Exemplo: Construir o gráfico da função 
f(x) = 2x - 1. 
 
 
 x f(x) 
 1 1 
 2 3 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
17) Construa, no plano cartesiano, o gráfico das 
seguintes funções, definidas de ℝ em ℝ: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 e) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4 
 
18) Um corpo se movimenta em velocidade 
constante de acordo com a fórmula matemática 
s = 2t – 3, em que s indica a posição do corpo 
(em metros) no instante t (em segundos). Cons-
trua o gráfico de s em função de t. 
 
19) Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma 
desvalorização constante pelo seu uso, represen-
tada pela função P(t) = 50 – 5t, em que P é o 
preço da máquina (em reais) e t é o tempo de 
uso (em anos). Determine: 
a) o gráfico dessa função; 
b) o custo da máquina ao sair da fábrica; 
c) o custo da máquina após 5 anos de uso; 
d) o tempo para que a máquina se desvalorize 
totalmente. 
 
20) Um móvel em movimento retilíneo uniforme 
obedece à função s = 5t + 15, em que s é o es-
paço percorrido pelo móvel (em metros) e t é o 
tempo gasto em percorrê-lo (em segundos). De-
termine: 
a) a posição do móvel no instante t = 0 s; 
b) a posição do móvel no instante t = 5 s; 
c) construa o gráfico s(t) da função. 
 
6.2 Parte variável e parte fixa 
 A função do 1º grau f(x) = ax + b tem 
uma parte variável (ax) e uma parte fixa (b). 
 
f(x) = parte variável + parte fixa 
 
f(x) = ax + b 
 
Observação: 
Lucro = venda - custo 
 
Exemplo: Uma revendedora de cosméticos vende 
um perfume por R$ 100,00, que custou 70,00. 
Qual é o lucro da vendedora? 
 
Resolução: 
L = 100 – 70 
L = 30 
 
Resposta: O lucro da vendedora é de R$ 30,00. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
21) Na produção de peças, uma indústria tem 
um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variá-
vel de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o 
número de unidades produzidas: 
a) Escreva a lei da função que fornece o custo 
total de x peças; 
 
b) Calcule o preço de 100 peças. 
 
22) Um comerciante comprou uma caixa de um 
determinado produto, teve um custo fixo com 
transporte de R$ 230,00. Venderá cada unidade 
por R$ 5,00, o lucro final será dado em função 
das x unidades vendidas. Responda: 
a) Qual é a lei dessa função f? 
 
b) Se o comerciante vender 1 unidade desse 
produto terá lucro ou prejuízo? 
 
c) Se o comerciante vender 10 unidades desse 
produto terá lucro ou prejuízo? 
 
d) Se o comerciante vender 40 unidades desse 
produto terá lucro ou prejuízo? 
 
e) Se o comerciante vender 50 unidades desse 
produto terá lucro ou prejuízo? 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
23)(Unicamp-SP, modificada) O preço a ser 
pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela 
fixa, denominada bandeirada, e uma parcela 
que depende da distância percorrida. Se a 
bandeirada custa R$ 3,50 e cada quilômetro ro-
dado custa R$ 1,20. 
a) Escreva a lei da função que fornece o preço a 
ser pago pela corrida em função da distância x 
percorrida; 
b) o preço de uma corrida de 10 km; 
c) a distância percorrida por um passageiro que 
pagou R$ 21,50 pela corrida. 
 
24)(UEPA-2002) Um pequeno comerciante in-
vestiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do 
seu time favorito, para venda em um estádio de 
x
y
1
1
3
2
 
5 
x
y
-1
2
-4
1
futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de 
R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na 
venda de x bandeiras é dado por: 
 
(a) L(x) = 300 - 8x (d) L(x) = 8x 
 (b) L(x) = 8x + 300 (e) L(x) = - 8x - 300 
 (c) L(x) = 8x - 300 
 
6.3) Crescimento e decrescimento 
Consideremos a função f(x) = 3x - 1, 
x aumenta 
 
x -1 0 1 2 3 4 5 
f(x) -4 -1 2 5 8 11 14 
f(x) aumenta 
 
quando aumentamos o valor de x, os correspon-
dentes valores de f(x) também aumentam. Di-
zemos que a função f(x) = 3x - 1 é crescente. 
Observamos o seu gráfico: 
 
 
 
Agora, consideremos f(x) = -3x - 1, 
x aumenta 
 
x -2 -1 0 1 2 3 4 
f(x) 5 2 -1 -4 -7 -10 -13 
f(x) diminui 
 
quando aumentamos o valor de x, os correspon-
dentes valores de f(x) diminuem. Dizemos que a 
função f(x) = -3x - 1 é decrescente. Observamos 
o seu gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra Geral: A função do 1º grau f(x) = ax + b 
é crescente quando a > 0 e decrescente quando 
a < 0. O a é também chamado de coeficiente 
angular e o b de coeficiente linear. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
25) Construa o gráfico de cada uma das seguin-
tes funções e diga se é função é crescente, de-
crescente ou constante: 
 
a) f(x) = 2x c) f(x) = x e) f(x) = -2 
 
b) f(x) = -3x d) f(x) = 5 
 
26) 
 
 
 
a) De que trata o gráfico? Identifique as variáveis 
envolvidas. 
b) Qual o período em que a taxa de fecundidade 
se manteve praticamente constante? 
c) A partir de que data a função é decrescente? 
d) Entre que período a taxa de fecundidade redu-
ziu em 50%? 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
27)(Enem-2017) Os congestionamentos de 
trânsito constituem um problema que aflige, to-
dos os dias, milhares de motoristas brasileiros. O 
gráfico ilustra a situação, representando, ao longo 
de um intervalo definido de tempo, a variação da 
velocidade de um veículo durante um congestio-
namento. 
 
 
 
Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao 
longo do intervalo total analisado? 
 
(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) 0 
 
28)(Enem-2016) Um reservatório com água por 
uma torneira e um ralo faz a drenagem da água 
desse reservatório. Os gráficos representam as 
vazões Q, em litros por minuto, do volume de 
água que entra no reservatório pela torneira e do 
volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, 
em minutos. 
 
 
 
Em qual intervalo de tempo, em minuto,o reser-
vatório tem vazão constante de enchimento? 
 
(a) De 0 a 10. (c) De 5 a 15. (e) De 0 a 25. 
 
(b) De 5 a 10. (d) De 15 a 25. 
x
y
1
2
5
2
 
6 
29)(Enem-2012) O dono de uma farmácia 
resolveu colocar à vista do público o gráfico 
mostrado a seguir, que apresenta a evolução do 
total de vendas (em Reais) de certo medicamento 
ao longo do ano de 2011. 
 
De acordo com o gráfico, os meses em que 
ocorreram, respectivamente, a maior e a menor 
venda absolutas em 2011 foram 
 
(a) março e abril (d) junho e setembro 
 
(b) março e agosto (e) junho e agosto 
 
(c) agosto e setembro 
 
30)(Enem-MEC) Um estudo sobre o problema 
do desemprego na Grande São Paulo, no período 
1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apre-
sentou o seguinte gráfico sobre taxa de desem-
prego. 
 
 
 
 
 
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no 
período considerado, 
(a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. 
 
(b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a 
menor do período. 
 
(c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi 
decrescente. 
 
(d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego 
esteve entre 8% e 16%. 
 
(e) a taxa de desemprego foi crescente no perío-
do compreendido entre 1988 e 1991. 
 
31)(Enem-MEC) Para convencer a população 
local da ineficiência da Companhia Telefônica Vila-
tel na expansão da oferta de linhas, um político 
publicou no jornal local o gráfico I, representado 
a seguir. A Companhia Vilatel respondeu publi-
cando dias depois o gráfico II, através do qual 
pretende justificar um grande aumento na oferta 
de linhas. O fato é que, no período considerado, 
foram instaladas, efetivamente, 2OO novas linhas 
telefônicas. Analisando os gráficos, pode-se con-
cluir que: 
 
 
 
 
(a) o gráfico II representa um crescimento real 
maior do que o do gráfico I. 
 
(b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sen-
do o II Incorreto. 
 
(c) o gráfico II apresenta o crescimento real, 
sendo o I incorreto. 
 
(d) a aparente diferença de crescimento nos dois 
gráficos decorre da escolha das diferentes esca-
las. 
 
(e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam 
escalas diferentes. 
 
32)(UEPA-2010) O gráfico abaixo representa o 
número de notificações relacionadas a fraudes, 
invasões e tentativas de invasão sofridas por 
usuários de computador. 
 
 
Analisando o gráfico, observa-se que: 
(a) as notificações foram decrescentes entre 
2006 e 2008. 
 
(b) em 2006 aconteceu o maior número de 
notificações. 
 
(c) a razão de notificações entre 2004 e 2005 é 
37863/34000. 
 
(d) em 2008 houve o maior número de 
notificações. 
 
(e) em 2006 as notificações duplicaram em 
relação às notificações de 2005. 
 
 
7 
33)(UEPA-2009) O gráfico abaixo mostra a va-
riação do consumo de gasolina em função da ci-
lindrada do motor. 
 
Fonte: Veja, 20/08/08 
 
Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que: 
(a) é gráfico de uma função linear crescente. 
 
(b) é gráfico de uma função linear decrescente. 
 
(c) quanto maior a cilindrada maior o consumo de 
gasolina. 
 
(d) é gráfico de uma função quadrática com con-
cavidade voltada para cima. 
 
(e) quanto maior a cilindrada menor o consumo 
de gasolina. 
 
34)(UFPA–2007) Em um jornal de circulação 
nacional foi publicada uma pesquisa, realizada no 
Brasil, com os percentuais, em função do ano, de 
famílias compostas por pai, mãe e filhos, chama-
das famílias nucleares, e de famílias resultantes 
de processos de separação ou divórcio, chamadas 
novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo 
representam, a partir de 1987, a variação percen-
tual desses dois tipos de família, com suas res-
pectivas projeções para anos futuros, 
 
 
 
é correto afirmar: 
(a) No ano 2030, o número de novas famílias 
será igual ao de famílias nucleares. 
 
(b) No ano 2030, o número de novas famílias 
será menor do que o de famílias nucleares. 
 
(c) No ano 2030, o número de novas famílias 
será maior do que o de famílias nucleares. 
 
(d) No ano 2015, o número de novas famílias 
será igual ao de famílias nucleares. 
 
(e) No ano 2012, o número de famílias nucleares 
será menor do que a de novas famílias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Você constrói a sua vitória.” 
“A perseverança alimenta a esperança.” 
 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
 
Atualizada em 13/02/2018 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. 
São Paulo: Ática, 2000, v.1.