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Álgebra Linear
Lista de Exercícios - Espaços Vetoriais
8 de abril de 2019
1. Determine se é ou não subespaço vetorial.
a) O conjunto das matrizes triangulares superiores,
subconjunto deMnxn.
b) O conjunto {(x, y) ∈ R2 | x+ 2y = 0} ⊂ R2.
c) O conjunto {(x, y) ∈ R2 | 4x− y = 5} ⊂ R2.
d) Plano em R3 passando pela origem.
e) Reta em R3 que não passa pela origem.
f) Parábola passando pela origem em R2.
g) Primeiro quadrante do R2.
2. Sejam S e W dois subespaços vetoriais do espaço veto-
rial V . Determine se é ou não subespaço vetorial.
a) A interseção S ∩W .
b) A união S ∪W .
c) S +W = {v ∈ V | v = s+ w, s ∈ S, w ∈W}.
3. Mostre que todo espaço gerado por vetores v1, . . . , vn ∈
V é um subespaço vetorial de V .
4. Determine se os conjuntos dados são LD ou LI.
a) {(1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)}
b) {(1,−3, 2), (2, 1,−3), (−3, 2, 1)}
c) {v1, v2, v3, v4} ⊂ R3
d) {v1, (0, 0, 0)} ⊂ R3
5. Mostre que o conjunto {v1, v2, v3} é linearmente inde-
pendente, para
v1 =
 10
0
 v2 =
 11
0
 v3 =
 11
1
 .
6. Qual o tamanho do maior conjunto LI possível de se
formar com os vetores
v1 =

1
−1
0
0
 v2 =

1
0
−1
0
 v3 =

1
0
0
−1

v4 =

0
1
−1
0
 v5 =

0
1
0
−1
 v6 =

0
0
1
−1
 .
7. Sejam v1, v2 e v3 vetores LI. Prove que o conjunto
{w1, w2, w3} é LI, com w1 = v2 + v3, w2 = v1 + v3
e w3 = v1 + v2.
8. Sejam v1, v2 e v3 vetores LI. Prove que o conjunto
{w1, w2, w3} é LD, com w1 = v2 − v3, w2 = v1 − v3
e w3 = v1 − v2.
9. Descreva subespaço do R3 gerado pelos vetores dados
(é uma reta, um plano?).
a) Os dois vetores (1,1,-1) e (-1,-1,1).
b) Os três vetores (0,1,1), (1,1,0) e (0,0,0).
c) As colunas de uma matriz 3x5 escalonada com 2
pivôs.
10. Sejam v1, v2, . . . , v6 vetores de R4. Escolha a resposta
correta em cada uma das frases:
a) Esses vetores (com certeza/ com certeza não/ talvez)
geram o R4.
b) Esses vetores (são/ não são/ podem ser ) linearmente
independentes.
c) Quaisquer quatro desses vetores (são/ não são/ tal-
vez sejam ) uma base do R4.
11. Encontre uma base para o plano x − 2y + 3z = 0 em
R3. Encontre uma base para a interseção desse plano
com o plano xy. Encontre uma base para o conjunto de
todos os vetores perpendiculares a esse plano.
1
12. Quais dos seguintes conjuntos são bases do R3?
a) {(1, 2, 0), (0, 1, 3)}
b) {(1, 2, 0), (0, 1, 3), (2, 0,−1), (1, 1, 1)}
c) {(1, 2, 2), (−1, 2, 1), (0, 8, 0)}
d) {(1, 2, 2), (−1, 2, 1), (0, 8, 6)}
13. Seja S um conjunto gerador do R7. Escolha a resposta
correta em cada uma das frases:
a) S possui (no máximo/ exatamente/ no mínimo) 7
vetores.
b) Retirando um vetor de S, obtemos um conjunto que
(com certeza é/ com certeza não é/ pode ser) gera-
dor.
c) Acrescentando um vetor a S, obtemos um conjunto
que (com certeza é/ com certeza não é/ pode ser)
gerador.
d) O vetor 0 (pertence/ não pertence/ pode pertencer)
a S.
14. Seja S um conjunto LI do R7. Escolha a resposta cor-
reta em cada uma das frases:
a) S possui (no máximo/ exatamente/ no mínimo) 7
vetores.
b) Retirando um vetor de S, obtemos um conjunto que
(com certeza é/ com certeza não é/ pode ser) LI.
c) Acrescentando um vetor a S, obtemos um conjunto
que (com certeza é/ com certeza não é/ pode ser)
LI.
d) O vetor 0 (pertence/ não pertence/ pode pertencer)
a S.
15. Seja S um subespaço de dimensão 2 do R3. Diga se é
verdadeiro ou falso:
a) Toda base de S pode ser extendida a uma base do
R3 adicionando um único vetor.
b) Toda base do R3 pode ser reduzida a uma base de
S removendo um único vetor.
16. Determine uma base e a dimensão do espaço-solução
dos seguintes sistemas lineares:
a)
{
x− y + z − w = 0
b)
 x− y + z − 2w = 02x+ y − z − w = 0
x+ 2y − 2z + w = 0
17. Determine, para cada subespaço gerado pelos vetores
dados, sua dimensão e uma base.
a) (0,-1,2,1), (1,2,1,0), (1,1,3,1), (3,5,5,1)
b) (1,0,1,-1), (2,3,3,0), (1,3,2,1), (0,3,1,2)
c) (1,2,0,1,2), (-1,0,1,2,1), (0,6,3,9,9)
18. Seja F o conjunto das funções f : R → R. O sub-
conjunto de F formado pelas funções constantes é um
subespaço vetorial de F?
19. Determine a dimensão do espaço gerado pelos vetores
cos2(x), sen2(x) e cos(2x), contidos no espaço vetorial
das funções reais.
20. Seja P4 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor
ou igual a 4. Sejam, ainda, V = {p ∈ P4 | p(1) = 0}
e W = {p ∈ P4 | p(−1) = 0}. Determine a dimensão
(tente determinar também uma base) de:
a) V
b) W
c) V ∩W
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