Curvas e Funções Vetoriais em R2 e R3

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4. Curvas e funções vectoriais
4.1 Esboce as seguintes curvas em R2:
(a) x = 4t − 1, y = t + 2.
(b) x = 2t + 1, y = t2.
(c) x = sen θ, y = cos θ − 3.
4.2 Esboce, em R3, a curva paramétrica definida pela função vectorial ~σ indicando o sentido
de t crescente, sendo:
(a) ~σ(t) = (3t − 4)~i + (6t + 2)~j, t ∈ R;
(b) ~σ(t) = 9 cos(t)~i + 4 sen(t)~j + ~k, t ∈ [0, 2π].
4.3 Esboce a curva da intersecção das superf́ıcies y = x e x + y + z = 1 e obtenha uma
representação paramétrica da curva.
4.4 (a) Esboce as seguintes curvas em R3:
i. x = 2 sen t, y = 4 cos t, z = 1, 0 ≤ t ≤ 2π
ii. x = −t, y = 2t, z = 1/t, 1 ≤ t ≤ 3
iii. (t,−t, t2), 0 ≤ t ≤ 2
iv. x = cos t, y = sen t, z = t/2π, −2π ≤ t ≤ 2π
(b) Para cada curva da aĺınea a) calcule os vectores velocidade e aceleração para todo o
t.
4.5 Calcule os vectores velocidade e aceleração para todo o t e a equação da recta tangente no
valor de t especificado:
(a) (sen(3t), cos(3t), 2t3/2); t = 1
(b) (t sen t, t cos t,
√
3t); t = 0
(c) (2 cos t, 3 sen t, t); t = π
(d) (t2 − 1, cos t2, t4); t = √π
4.6 Escreva uma representação paramétrica das curvas:
(a) 16x2 + 9y2 = 1 em R2.
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(b) y = 3x − 2 em R2.
(c) y = cos(2x) em R2.
(d) x = y3 = z2 + 1 em R3.
4.7 Determine um equação da recta tangente às curvas abaixo indicadas e no ponto referido
(a) x = 1/t, y =
√
t + 1, t0 = 2 (em R
2).
(b) x = θ − sen θ, y = 1 − cos θ, θ0 = π/4 (em R2).
(c) x = t2 − 1,y = cos (t2), z = t4, t0 =
√
π (em R3).
4.8 Obtenha uma equação vectorial da recta tangente ao gráfico de ~σ(t) no ponto P0 = (4, 1, 0)
da curva definida pela função vectorial ~σ(t) = t2~i − 1
t + 1
~j + (4 − t2)~k.
4.9 (a) Identifique o domı́nio da função vectorial ~σ(t) =
1
t
~i +
1√
t − 1
~j +
1
t − 2
~k.
(b) Calcule ~σ′(t) e ~σ′′(t).
4.10 Considere a curva paramétrica C definida pela função vectorial ~σ(t) = cos(t)~i+sen(t)~j+t~k.,
com t ∈ [0, 2π].
(a) Determine ~σ′(t).
(b) Calcule lim
t→0
~σ(t) × ~σ′(t).
4.11 Sejam ~σ1(t) = e
t~i + (sen t)~j + t3~k e ~σ2(t) = e
−t~i + (cos t)~j − 2t3~k. Calcule as seguintes
derivadas:
(a)
d
dt
[~σ1(t).~σ2(t)]
(b)
d
dt
{~σ1(t).[2~σ2(t) + ~σ1(t)]}
(c)
d
dt
[~σ1(t
2)]
4.12 Mostre que, num máximo ou mı́nimo local de ||~σ(t)||, ~σ′(t) é perpendicular a ~σ(t).
4.13 Calcule o vector velocidade e o vector aceleração das curvas ~σ1(t) = e
t~i + sen t~j + cos t~k,
~σ2(t) =
t2
1 + t2
~i + t~j + ~k e ~σ1(t) × ~σ2(t).
4.14 Suponhamos que uma part́ıcula segue um caminho, C, descrito por (et, e−t, cos t) até ao
instante t = 0, a partir do qual segue pelo caminho descrito pela recta tangente a C nesse
instante. Onde se encontra a part́ıcula em t = 2?
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4.15 Seja C a curva com equações paramétricas x =
t
2
, y = cos
(√
2 t
)
e z = sen
(√
2 t
)
, t ∈
[0, 2π]. Suponha que a curva C corresponde à trajectória de uma part́ıcula P .
(a) Determine o vector tangente unitário em cada ponto da curva C.
(b) Determine o vector normal unitário em cada ponto da curva C.
(c) Calcule o comprimento da curva C.
(d) Determine a função comprimento de arco da curva C.
(e) Determine uma parametrização da curva C segundo o comprimento de arco.
(f) Determine a curvatura de C.
(g) Determine as posições inicial e final da part́ıcula P .
(h) Determine a distância percorrida pela part́ıcula P para t =
π
2
.
(i) Em que ponto se encontra a part́ıcula P após ter percorrido uma distância de
π
2
√
2
.
4.16 Seja C a curva definida pela função vectorial ~σ(t) = sen(et)~i+cos(et)~j+
√
3et~k, t ∈ [0, log 4].
Suponha que a curva C corresponde à trajectória de uma part́ıcula P .
(a) Determine a função comprimento de arco da curva C.
(b) Calcule o comprimento da curva C.
(c) Determine uma parametrização da curva C segundo o comprimento de arco.
(d) Determine o vector tangente unitário em cada ponto da curva C.
(e) Determine a curvatura de C.
(f) Determine o vector normal unitário em cada ponto da curva C.
(g) Determine as posições inicial e final da part́ıcula P .
(h) Determine a distância percorrida pela part́ıcula P para t = log 2.
(i) Em que ponto se encontra a part́ıcula P após ter percorrido uma distância de 2
(π
4
+ 1
)
.
4.17 Suponha que uma part́ıcula P se move no espaço e no instante t tem aceleração ~a(t) =
~i + 2~j + 4t~k.
(a) Determine os vectores velocidade ~v(t) e posição ~σ(t) da part́ıcula sabendo que ~v(0) =
~j − 2~k e ~σ(0) =~i −~j − ~k.
(b) Determine o vector tangente unitário para cada instante t.
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(c) Escreva uma equação da recta tangente à trajectória da part́ıcula no instante t = 2.
(d) Determine a curvatura da trajectória definida pela part́ıcula P .
4.18 Suponha que uma part́ıcula P se move no espaço e que no instante inicial t = 0 se encontra
na origem de um referencial xyz com velocidade ~v0 = ~i + 2~j − ~k e aceleração dada pela
função vectorial ~a(t) = 2t2~i +~j + cos(2t)~k.
(a) Determine os vectores velocidade ~v(t) e posição ~σ(t) da part́ıcula.
(b) Calcule a velocidade escalar no instante t = 1.
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