Controle 1 - Aula9

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AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 1 - 
Aula 9 Diagramas de Bode 
 
9.1 Introdução 
 
A função de transferência senoidal, uma função complexa da freqüência ω, é caracterizada pelo 
seu módulo e ângulo de fase, com a freqüência como parâmetro. Há três representações 
comumente utilizadas de funções de transferência senoidais: 
 
� Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos 
� Gráfico polar 
� Gráfico do módulo versus fase 
 
9.2 Diagramas de Bode 
 
Os diagramas de Bode consistem de dois gráficos: o gráfico do logaritmo do módulo da função 
de transferência senoidal e o gráfico do ângulo de fase, ambos construídos em função da 
freqüência em escala logarítmica. A representação logarítmica da freqüência é útil por mostrar 
tanto as características de baixa freqüência como as de alta freqüência. 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 2 - 
A representação padrão do módulo logarítmico de G(jω) é 20log|G(jω)|. A unidade usada nesta 
representação é o decibel (dB). A principal vantagem de usar um gráfico logarítmico é que a 
multiplicação dos módulos é convertida em uma adição. 
 
Os fatores básicos que mais freqüentemente ocorrem em uma função de transferência G(jω) 
são: 
 
a) Ganho K 
b) Fator integral 1 / jω 
c) Fator derivativo: jω 
d) Pólo real: 1 /(1 j )ωτ+ 
e) Zero real: (1 j )ωτ+ 
f) Pólos complexos: 
1
2
n n1 2 ( j / ) ( j / )ζ ω ω ω ω
−
 + +  
g) Zeros complexos: 2n n1 2 ( j / ) ( j / )ζ ω ω ω ω + +  
 
Em diagramas de Bode, as relações de freqüências são expressas em termos de oitavas ou 
décadas. Uma oitava corresponde a um intervalo de freqüência desde ω0 até 2ω0, onde ω0 é uma 
freqüência qualquer. Uma década corresponde a um intervalo de freqüência desde ω0 até 10ω0. 
A curva de módulo de –20logω é uma reta com inclinação de –20dB/década em um gráfico 
com ω em escala logarítmica. 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 3 - 
a) Ganho K 
 
Um número maior do que a unidade possui um valor positivo em decibéis, enquanto um 
número menor do que a unidade possui um valor positivo. A curva do módulo para um ganho 
constante K é uma reta horizontal. O efeito da variação do ganho K na função de transferência é 
deslocar para cima ou para baixo a curva do módulo da função de transferência. 
 
Módulo: 
dB
K 20 log K= 
Fase: �0=φ para 0K > 
 �180−=φ para 0K < 
 
b) Fator integral: 
ωj
1
 
 
O módulo logarítmico de 1/jω em dB é 
 
1
20 log 20 log
j
ω
ω
= − 
 
O ângulo de fase de 1/jω é constante e igual a –90o. 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 4 - 
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
-40
-20
0
20
40
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-91
-90.5
-90
-89.5
-89
 
 
rmpc
Cross-Out
rmpc
Typewritten Text
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 5 - 
c) Fator derivativo: ωj 
 
O módulo logarítmico de jω em dB é 
 
20 log j 20 logω ω= 
 
O ângulo de fase de jω é constante e igual a +90o. A curva de módulo de 20logω é uma reta 
com inclinação de +20dB/década em um gráfico com ω em escala logarítmica. 
 
As curvas dos módulos de 1/jω e jω tornam-se iguais a 0dB para ω = 1rad/s. 
Se a função de transferência contém o fator (1/jω)n ou (jω)n, o módulo resulta em retas com 
inclinações de–20n dB/década e +20n dB/década, respectivamente. O ângulo de fase de (1/jω)n 
é igual a –90
o
n, enquanto para (jω)n é igual a +90on. 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 6 - 
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
-40
-20
0
20
40
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
89
89.5
90
90.5
91
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 7 - 
d) Pólo real: 
1j
1
+ωτ
 
 
O módulo do fator de primeira ordem de 1/(jωτ+1) é 
 
2 2120 log 20 log 1 (dB)
j 1
ω τ
ωτ
= − +
+
 
 
Para baixas freqüências, quando 1 /ω τ� , o módulo em dB pode ser aproximado por 
 
2 220 log 1 20log 1=0 dBω τ− + ≅ − 
 
Para altas freqüências, tais como 1 /ω τ� , 
 
2 220 log 1 20log (dB)ω τ ωτ− + ≅ − 
 
Portanto, para 1 /ω τ� , a curva de módulo é uma reta com inclinação de –20dB/década (ou 
–6db/oitava). 
 
 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 8 - 
O ângulo de fase do fator 1/(jωτ+1) é 
 
1tgφ ωτ−= − 
 
Na freqüência zero, o ângulo de fase é 0
o
. No infinito, o ângulo de fase torna-se –90
o
. 
 
A representação logarítmica da curva de resposta em freqüência do fator 1/(jωτ+1) pode ser 
aproximada por duas assíntotas, uma reta de 0dB para a faixa 0 < ω < 1/τ e outra reta com 
inclinação de –20dB/década para a faixa 1/τ < ω < ∞. 
 
A freqüência na qual as duas assíntotas se interceptam é denominada freqüência de corte. Para 
o fator 1/(jωτ+1) a freqüência de corte é ω = 1/τ. Nesta freqüência o ângulo de fase é –45o e o 
módulo é aproximadamente –3dB. 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 9 - 
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-45
0
 
 / τ / τ / τ / τ / τ 
 Resposta assintótica 
 Resposta exata 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 10 - 
e) Zero real: 1j +ωτ 
 
O módulo do fator de primeira ordem de (jωτ+1) é 
2 2
20 log j 1 20 log 1 (dB)ωτ ω τ+ = + 
 
Para baixas freqüências, quando 1 /ω τ� , o módulo em dB pode ser aproximado por 
2 220 log 1 20log1=0 dBω τ+ ≅ 
 
Para altas freqüências, tais como 1 /ω τ� , 
2 220 log 1 20log (dB)ω τ ωτ+ ≅ 
 
Portanto, para 1 /ω τ� , a curva de módulo é uma reta com inclinação de +20dB/década. 
 
O ângulo de fase do fator (jωτ+1) é 
1tgφ ωτ−= 
 
Na freqüência zero, o ângulo de fase é 0
o
. No infinito, o ângulo de fase torna-se +90
o
. 
Como se pode observar, para fatores recíprocos como os fatores de primeira ordem, as curvas 
de módulo e fase são semelhantes, bastando apenas trocar de sinal. 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 11 - 
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
0
10
20
30
40
50
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
45
90
 
 
 / τ / τ / τ / τ / τ 
 Resposta assintótica 
 Resposta exata 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 12 - 
f) Pólos complexos: 
2
n n
1
[1 2 ( j / ) ( j / ) ]ζ ω ω ω ω+ +
 
 
O módulo do fator de segunda ordem é dado 
 
1
2 2 2
2
2
n n n n
20 log 1 2 j j 20 log 1 2
ω ω ω ω
ζ ζ
ω ω ω ω
−
        
 + + = − − +       
         
 
 
Para baixas freqüências, quando nω ω� , o módulo resulta em 
 
20log1=0 dB− 
 
A assíntota de baixa freqüência é, portanto, uma reta horizontal em 0dB. 
 
Para altas freqüências, tais que nω ω� o módulo torna-se 
 
2
2
n n
20 log 40log (dB)
ω ω
ω ω
− = − 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 13 - 
A equação para assíntota de alta freqüência é uma reta com inclinação de –40dB/década. As 
assíntotas de baixa e alta freqüência se interceptam em nω ω= . Estas assíntotas são 
independentes do valor de ζ. 
O ângulo de fase do fator quadrático 2 1n n[1 2 ( j / ) ( j / ) ]ζ ω ω ω ω
−+ + é 
 
1 n
2
2
n
2
tg
1
ω
ζ
ω
φ
ω
ω
−
 
 
 = −
 
− 
 
 
 
Na freqüência zero, o ângulo de fase é 0
o
. Em nω ω= , o ângulo de fase é –90
o
. No infinito, o 
ângulo de fase torna-se –180
o
. 
O módulo de uma função de transferência de segunda ordem G(jω) 
 
2
n n
1
G( j )
[1 2 ( j / ) ( j / ) ]
ω
ζ ω ω ω ω
=
+ +
 
é dada por 
2 2
2
2
n n
1
G( j )
1 2
ω
ω ω
ζ
ω ω
=
   
− +   
   
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 14 - 
 
Se |G(jω)| possui um valor de pico em alguma freqüência, esta freqüência é denominada 
freqüência de ressonância. Há um valor de pico de |G(jω)| quando 
 
2 2
2
2
n n
g( ) 1 2
ω ω
ω ζ
ω ω
   
= − +   
  
 
 
é um mínimo. O valor mínimo de g(ω) ocorre em 
 
2
r n
1
1 2 , 0
2
ω ω ζ ζ= − < ≤ 
 
Para 0,707ζ > , não há pico de ressonância. O módulo do pico de ressonância Mr é dado por 
 
r rmáx 2
1 1
M G( j ) G( j ) , 0
22 1
ω ω ζ
ζ ζ
= = = < ≤
−
 
 
No caso de um sistema de segunda ordem deve-se considerar o ganho da função de 
transferência no cálculo do módulo do pico de ressonância. 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 15 - 
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
-60
-40
-20
0
20
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
 
 
 ωn ωn ωn ωn ωn 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 16 - 
Exemplo: Traçar os diagramas de Bode de módulo e fase de 
3
2 2
100s( s 10 )
G( s )
( s 10 )
+
=
+
 
 
Primeiramente deve-se reescrever a função de transferência com os termos independentes de s 
iguais a 1: 
2 3
3
2
2
3
3
2
s
10 s 10 1
10
G( s )
s
10 1
10
s
10 s 1
10
G( s )
s
1
10
 
× × × + 
 =
 
× + 
 
 
+ 
 =
 
+ 
 
 
 
Explicitando os fatores da função de transferência: 
 
3
2 3
1 s
G( s ) 10 s 1
10s
1
10
 
= × × × + 
  
+ 
 
 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 17 - 
Módulo de s: 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
80 
 
 
60 
 
 
 
40 
 
 
 
20 
 
 
0 
 
 
 
-20 
 
 
 
-40 
 
 
 
-60 
 
 
 
-80 
+20dB/déc 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 18 - 
Módulo de 1/(s/10+1)
2
: 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
80 
 
 
60 
 
 
 
40 
 
 
 
20 
 
 
0 
 
 
 
-20 
 
 
 
-40 
 
 
 
-60 
 
 
 
-80 
−−−−40dB/déc 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 19 - 
Módulo de (s/10
3
+1): 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
80 
 
 
60 
 
 
 
40 
 
 
 
20 
 
 
0 
 
 
 
-20 
 
 
 
-40 
 
 
 
-60 
 
 
 
-80 
+20dB/déc 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 20 - 
Módulo de s + 1/(s/10+1)
2
 + (s/10
3
+1): 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
80 
 
 
60 
 
 
 
40 
 
 
 
20 
 
 
0 
 
 
 
-20 
 
 
 
-40 
 
 
 
-60 
 
 
 
-80 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 21 - 
Adicionando o fator constante (ganho): 20log(10
3
) 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
80 
 
 
60 
 
 
 
40 
 
 
 
20 
 
 
0 
 
 
 
-20 
 
 
 
-40 
 
 
 
-60 
 
 
 
-80 
Diagrama de 
Módulo de G(s) 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 22 - 
Fase de s: 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
135
o
 
 
 
90
o
 
 
 
 
45
o
 
 
 
 
0
o
 
 
 
-45
o
 
 
 
 
-90
o
 
 
 
 
-135
o
 
 
 
 
-180
o
 
 
 
 
-225
o
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 23 - 
Fase de 1/(s/10+1)
2
: 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
135
o
 
 
 
90
o
 
 
 
 
45
o
 
 
 
 
0
o
 
 
 
-45
o
 
 
 
 
-90
o
 
 
 
 
-135
o
 
 
 
 
-180
o
 
 
 
 
-225
o
 
−−−−90°°°°/déc 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 24 - 
Fase de (s/10
3
+1): 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
135
o
 
 
 
90
o
 
 
 
 
45
o
 
 
 
 
0
o
 
 
 
-45
o
 
 
 
 
-90
o
 
 
 
 
-135
o
 
 
 
 
-180
o
 
 
 
 
-225
o
 
+45°°°°/déc 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 25 - 
Fase de s + 1/(s/10+1)
2
 + (s/10
3
+1): 
 
 0,1 1 10 10
2
 10
3
 10
4
 ω (rad/s) 
135
o
 
 
 
90
o
 
 
 
 
45
o
 
 
 
 
0
o
 
 
 
-45
o
 
 
 
 
-90
o
 
 
 
 
-135
o
 
 
 
 
-180
o
 
 
 
 
-225
o
 
Diagrama de 
Fase de G(s) 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 26 - 
 
Leitura: 
 
� OGATA (4
a
 ed.) – cap. 8, p.405-415 
� NISE – cap. 10, p.423-439. 
 
Problemas resolvidos: 
 
� OGATA (4
a
 ed.) – A.8.1. 
� NISE – exemplos: 10.2, 10.3. 
exercícios de avaliação: 10.1, 10.2. 
 
Problemas propostos: 
 
� OGATA (4
a
 ed.) – B.8.5. 
� NISE (cap. 10) – 4, 7. 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 27 - 
Problemas complementares: 
 
1) Desenhar as assíntotas do diagrama de Bode para a função de transferência seguinte. Quais 
são as freqüências de quebra? 
 
)1ss)(2s(s
)5,0s(10
)s(G
22 +++
+
= 
 
2) Para a função de transferência: 
 
)1ss)(1s(
s
)s(G
2 +++
= 
 
Calcular: 
a) A resposta em freqüência para uma entrada senoidal de amplitude 5 e freqüência de 
10 rad/s; 
b) A saída em regime estacionário para uma entrada sen(2t + π/2); 
c) O valor da freqüência para que a saída tenha amplitude máxima; 
d) As freqüências de quebra. 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 28 - 
3) Considere o diagrama de Bode da Figura 9.1 para um dado sistema com função de 
transferência F(s). 
a) Obter a saída em regime estacionário quando o sistema é excitado pela entrada 
)3/t1000cos(5)t(x π−= ; 
b) Identifique F(s); 
c) Trace no mesmo gráfico o diagrama de Bode (magnitude e fase) de 
14
1 )s101).(s(F)s(F
−−+= . 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 29 - 
Frequency (rad/sec)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
);
 M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0
 
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
20
40
60
80
 
 
Figura 9.1 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 30 - 
4) Determine as funções de transferência dos sistemas da Figura 9.2 a partir dos diagramas de 
módulo. Obs.: os sistemas são de fase mínima. 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.2 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 31 - 
5) Considere o sistema da Figura 9.3 com função de transferência Y(s)/U(s): 
 
 
Figura 9.3 
 
a) Determine as expressões de módulo e fase; 
b) Dê os valores do módulo e da fase do sistema nas freqüências de (i) 0 rad/s, (ii) 2 rad/s e 
(iii) ∞ rad/s; 
c) Determinar a resposta em regime permanente quando o sistema é submetido à entrada 
).70t2sen(2)t(u °+= 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 32 - 
6) Considere a função de transferência abaixo: 
 
)10s)(2s(s
100
)s(G
++
= 
 
a) Qual a freqüência ω para que o módulo de )j(G ω seja 0 dB? 
b) A partir de qual freqüência a assíntota do diagrama de Bode tem inclinação de -
60dB/déc.? 
c) Para 1)j(G =ω , qual o valor da fase de )j(G ω e da freqüência correspondente? 
d) Para °=∠ 180)j(G ω qual o valor do modulo de )j(G ω ? Qual o valor da freqüência ω 
quando isso acontece ? 
 
7) Considere a função de transferência de 2
a
 ordem: 
 
 
Figura 9.4 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 33 - 
a) Qual a freqüência de ressonância do sistema? 
b) Qual o valor do pico de ressonância em dB e em valor absoluto? 
c) Para qual valor da freqüência do seno de entrada o ângulo de defasagem é 145º? 
 
8) Seja o sistema de controle da Figura 9.5: 
 
 
Figura 9.5 
 
Com Kp = 1, determine o valor de Ki, tal que, a saída paraperturbação seja reduzida de 20dB, 
se possível. 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 34 - 
9) Considere o seguinte traçado assintótico de módulo (Figura 9.6): 
 
 
Figura 9.6 
a) Relacione ω1 e ω2. 
b) Qual o valor do ganho na freqüência 2ω2? 
c) Quantos pólos e zeros possui o sistema. 
d) Faça o esboço do diagrama de fase. 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 35 - 
10) Seja o diagrama de módulo da Figura 9.7. Determinar a expressão analítica da função de 
transferência. 
 
 
Figura 9.7 
 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 36 - 
11) Na Figura 9.8 estão representados os diagramas de Bode de módulo e fase de um sistema de 
segunda ordem. Determine ζ, o coeficiente de amortecimento, e ωn, a freqüência natural não-
amortecida. 
 
 
 
Figura 9.8 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 37 - 
12) Considere um sistema cuja função de transferência G(s) tem a representação de Bode de 
módulo (real e assintótico) indicado na Figura 9.9. Determine G(s). 
 
 
 
Figura 9.9 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 38 - 
13) Considere um sistema cuja função de transferência G(s) com K > 0 e o correspondente 
diagrama de fase representado na Figura 9.10. Determine G(s). 
 
 
Figura 9.10 
 
AULA 09 – DIAGRAMAS DE BODE 
- 39 - 
14) Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência 
de malha aberta é 
)5,0(
)(
2 ++
=
sss
K
sG 
 
Determine o valor do ganho K de forma que o módulo do pico de ressonância na resposta em 
freqüência seja 2 dB.