4-Zeros de funcoes-1

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO 
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br 
Aula 4 
Zeros reais de funções – Parte 1 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 3/60 
Objetivo 
¨  Determinar valores aproximados para as soluções (raízes) de 
equações da forma: 
sendo f uma função real dada. 
( ) 0=xf
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 4/60 
APLICAÇÃO 1 
¨  Você está projetando um tanque esférico para armazenar a 
água para uma pequena vila em uma região em 
desenvolvimento. O volume de líquido que ele armazena 
pode ser calculado por: 
onde: V é o volume [m3], 
 h é a profundidade da água no tanque [m], 
 R é o raio do tanque. 
3
32 hRhV −=π
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 5/60 
APLICAÇÃO 1 
Se R = 3 m, até que 
profundidade o 
tanque deve estar 
cheio para que ele 
armazene 30 m3 de 
água? 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 6/60 
APLICAÇÃO 1 
¨  A equação a ser resolvida será: 
Onde V = 30m3. 
 
Como determinar h ? 
( ) 0
3
32 =−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−= VhRhhf ππ
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 7/60 
APLICAÇÃO 2 
¨  O montante acumulado de um investimento baseado em 
depósitos regulares periódicos pode ser determinado a 
partir da seguinte equação: 
 
onde: A é o montante da conta; P é o valor regularmente 
depositado e i é a taxa de juros por período para os n 
períodos em que os depósitos foram efetuados. 
A = P
i
1+ i( )n −1"#
$
%
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 8/60 
APLICAÇÃO 2 
¨  Um investidor deseja ter em sua conta um montante de 
R$ 750.000,00 após 20 anos. Considerando um depósito 
mensal de R$ 1.500,00, qual a taxa de juros mensal 
mínima deste investimento? 
 
 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 9/60 
APLICAÇÃO 2 
¨  Temos que: 
A = 750.000; P = 1.5000; n = 240 meses 
¨  Então, queremos obter i, tal que A seja igual a 750.000. 
¨  ou seja, dado: 
¨  Queremos obter i, tal que f (i) =0. 
 
f i( ) = P
i
1+ i( )n −1"#
$
%− A
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 10/60 
¨  A solução exata de pode ser encontrada 
apenas em alguns casos: 
¤ Polinômios de grau menor ou igual a quatro; 
¤ Algumas funções trigonométricas. 
¨  Mesmo quando a solução analítica está disponível, 
sua determinação pode ser “complicada”. 
( ) 0=xf
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 11/60 
¨  Em alguns casos, por exemplo, de equações 
polinomiais, os valores de x que anulam f (x) podem ser 
reais ou complexos. 
¨  Estamos interessados somente nos zeros reais de f (x). 
¨  Graficamente: 
¤ Os zeros reais são representados pelas abscissas dos 
pontos onde uma curva intercepta o eixo x. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 12/60 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 13/60 
¨  A ideia central dos métodos que iremos aprender 
é partir de uma aproximação inicial para a raiz e 
em seguida refinar essa aproximação através de 
um processo iterativo. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 14/60 
¨  Assim, os métodos constam de duas fases: 
¨  Fase I: Localização ou isolamento das raízes 
¤ Consiste em obter um intervalo que contém a raiz. 
¨  Fase II: Refinamento 
¤ Consiste em, escolhidas aproximações iniciais para o 
intervalo da Fase I, melhorá-las sucessivamente até se 
obter uma aproximação para a raiz dentro de uma 
precisão ε pré-estabelecida. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 15/60 
FASE I: Isolamento das Raízes 
¨  Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da 
função f (x). 
¨  O da Fase II depende fortemente da 
precisão desta análise. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 16/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  Na análise teórica, usa-se: 
TEOREMA 1 
 Seja f (x) uma função contínua em [a, b]. 
 Se f (a) f (b) < 0, então existe 
ponto x = ξ entre a e b que é zero de f (x). 
 
¨  Esta é uma consequência do Teorema do Valor 
Intermediário. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 17/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
TEOREMA 1 
a 
b 
ξ	
x 
f (x) 
f (a) < 0 
f (b) > 0 
f (a) . f (b) < 0 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 18/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
TEOREMA 1 
a 
b ξ1	

 x 
f (x) 
ξ2	

 ξ3	
f (b) > 0 
f (a) . f (b) < 0 
f (a) < 0 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 19/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
TEOREMA 1 
a 
b ξ1	

 x 
f (x) 
ξ2	
f (b) > 0 
f (a) . f (b) < 0 
f (a) < 0 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 20/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
 
Sob as hipóteses do Teorema 1, se f’ (x) 
existir e preservar o sinal em ]a, b[, 
então este intervalo contém um 
 zero de f (x). 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 21/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
f ' x( ) > 0, ∀x ∈ a,b[ ]
a 
b ξ	

 x 
f (x) 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 22/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
f ' x( ) < 0, ∀x ∈ a,b[ ]
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 23/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
Uma forma de isolar as raízes de f (x) usando os 
conceitos anteriores é tabelar f (x) para vários 
valores de x e analisar as mudanças de sinal 
 de f (x) e o sinal da derivada nos intervalos 
em que f (x) mudou de sinal. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 24/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  EXEMPLO 1: Seja f (x) = x3 – 9 x + 3. Vamos 
analisar o sinal desta função. 
¨  Construindo uma tabela de valores para f (x) e 
considerando apenas os sinais, temos: 
x - ∞ -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 
f(x) - - - - + + + - - + 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 25/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  Sabendo que f (x) é contínua para qualquer x real e 
observando as variações de sinal, podemos concluir que 
cada um dos intervalos I1 = [-5, -3], I2 = [0, 1], 
I3 = [2, 3], contém pelo menos um zero de f (x). 
¨  Como f (x) é um polinômio de terceiro grau, podemos 
afirmar que cada intervalo contém um único zero de 
f (x) e, assim localizamos todas as raízes de f (x) = 0. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 26/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  Se f (a) f (b) > 0: 
¤ Podemos ter várias situações no intervalo [a, 
b], conforme mostram os gráficos a seguir. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 27/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
raiz Nenhuma
f (b) < 0 
f (a) < 0 
f (x) 
a b 
f (a) . f (b) > 0 
x 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 28/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
raízes Várias
f (b) < 0 
f (a) . f (b) > 0 
f (a) < 0 
a b 
x 
f (x) 
ξ1	

 ξ2	
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 29/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
raiz única Uma
f (b) > 0 
f (a) . f (b) > 0 
f (a) > 0 
f (x) 
x a b ξ1	
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 30/60 
Fase I: Isolamento das Raízes 
¨  A análise gráfica da função f (x) ou da equação 
f (x) = 0 é fundamental para se obter aproximações 
para a raiz. 
¨  Temos três processos de análise de gráficos. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 31/60 
Processos Gráficos 
¨  ESBOÇAR O GRÁFICO: Análise do comportamento da 
função, que envolve: domínio da função, pontos de 
descontinuidade, intervalos de crescimento e decrescimento, 
pontos de máximo e mínimo, concavidade, ponto de inflexão e 
assíntotas da função. 
¨  Através da EQUAÇÃO EQUIVALENTE g (x) = h (x): 
A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente 
g (x) = h (x), esboçar os gráficos das funções g (x) e h (x) no 
mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas 
se interceptam, pois neste caso: 
f ( ξ ) = 0 è g ( ξ ) = h( ξ ). 
 
¨  GRÁFICOS COMPUTACIONAIS: Exemplo: uso do Matlab. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 32/60 
Equação Equivalente g(x) = h(x) 
¨  EXEMPLO 2: Suponha f (x) = x log x – 1, então queremos 
encontrar x tal que: 
¨  Chamando: 
 e 
x
xxx 1log01log =⇔=−
( ) xxg log=
( )
x
xh 1=
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 33/60 
Equação Equivalente g(x) = h(x) 
h(x) y 
ξ 
g(x) 
x 1 2 3 4 5 6 
ξ 2 3 
Verificou-se que ξ ∈ [2, 3] 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 34/60 
Fase II: Refinamento 
¨  Veremos vários métodos de refinamento de raízes. 
A forma como se efetua o refinamento é que 
diferencia os métodos. 
¨  Um método iterativo consiste em uma sequência 
de instruções que são executadas passo a passo, 
algumas das quais são repetidas em ciclos. 
¨  Os métodos iterativos para refinamento da 
aproximação inicial para a raiz exata podem ser 
colocados em um diagrama de fluxo. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 35/60 
Início 
Dados Iniciais 
Cálculo Iniciais 
k = 1 
Calcular a nova 
aproximação 
Cálculos Intermediários 
Cálculos 
Finais 
Fim 
k = k+1 
Essa aproximação 
está próxima o 
suficiente da raiz 
exata? 
Sim 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 36/60 
Critério de Parada 
¨  TESTE: xk está suficientemente próximo da raiz exata? 
¨  Existem duas interpretações para raiz aproximada que 
nem sempre levam ao mesmo resultado: 
¨  é raiz aproximada com precisão ε se: 
¤  i) 
¤  ii) 
x
x −ξ < ε ou
( ) ε<xf
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 37/60 
Critério de Parada 
¨  Como efetuar o teste (i) se não conhecemos o valor 
exato da raiz ξ ? 
¨  Usamos os conhecimentos de erro absoluto e erro 
relativo para determinarmos o critério de parada. 
¤ ERRO ABSOLUTO: 
¤ ERRO RELATIVO: 
ε<− −1kk xx
ε<
− −
k
kk
x
xx 1
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 38/60 
Nem sempre é possível ter as exigências 
(i) e (ii) satisfeitas simultaneamente. 
 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 39/60 
f (x) 
x ξ	

 x
( )
εξ
ε
>>−
<
xMas
xfTemos
( )xf
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 40/60 
f (x) 
x ξ	

x
( ) ε
εξ
>>
<−
xfMas
xTemos
( )xf
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 41/60 
f (x) 
x 
ξ	

 x
( )
εξ
ε
<−
<
xe
xfTemos
( )xf
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 42/60 
 Em programas computacionais, além do teste de 
parada usado para cada método, deve-se ter o 
cuidado de estipular um número máximo de 
iterações, para se evitar que o programa entre em 
“looping”. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 43/60 
Métodos Iterativos 
¨  Métodos iterativos para a obtenção de zeros 
reais de funções: 
¤ Bissecção; 
¤ Falsa posição; 
¤ Ponto fixo; 
¤ Newton-Raphson; 
¤ Secante. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 44/60 
Método da Bissecção 
¨  Suponha que f (x) seja uma função contínua definida 
em [a,b], tal que f (a) f (b) < 0. 
¨  De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, 
existe um número c em ]a, b[ para o qual f (c) = 0. 
¨  Vamos supor, para simplificar, que ]a, b[ contenha uma 
única raiz da equação f (x) = 0. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 45/60 
Método da Bissecção 
O objetivo deste método é a amplitude do 
intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão 
requerida usando, para isto, a sucessiva 
 . 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 46/60 
Método da Bissecção 
¨  Graficamente: 
x 
a0 ξ 
f(x) 
b0 
x1 = (a0 + b0)/2 
x1 
f(x) 
x 
ξ 
x1 = b1 
x2 = (a1 + b1)/2 
x2 
a0 = a1 
Repete-se o processo até que 
o valor de x atenda às 
condições de parada. 
x 
ξ 
f(x) 
b1=b2 
x3 = (a2 + b2)/2 
x2=a2 
x3 
f (a0) . f (b0) < 0 
f (a1) . f (b1) < 0 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 47/60 
Método da Bissecção 
¨  As iterações são realizadas da seguinte forma: 
( )
( )
( )
] [
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∈
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
<
+
=
11
01
10
1
0
0
00
1
,
0
0
0
2
xb
aa
xa
xf
bf
af
bax
ξ
( )
( )
( )
] [
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
∈
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
<
+
=
12
22
12
2
1
1
11
2
,
0
0
0
2
bb
xa
bx
xf
bf
af
bax
ξ
! !
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 48/60 
Método da Bissecção 
¨  Ao se conseguir um intervalo [a, b] tal que: 
¨  Portanto, pode ser tomado como 
 
ξ ∈ a,b[ ]
b− a < ε
então, e ∀x ∈ a,b[ ], x −ξ < ε.
∀x ∈ a,b[ ] x.
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 49/60 
EXEMPLO 4 
Considerando o método da bissecção com ε = 0,002 e adotando 
[2,3] como intervalo inicial, obtenha uma aproximação para a 
função: 
( ) ( ) 1log −= xxxf
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 50/60 
EXEMPLO 4 
h(x) y 
ξ 
g(x) 
x 1 2 3 4 5 6 
ξ 2 3 
Verificou-se que ξ ∈ [2, 3] 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 51/60 
EXEMPLO 4 
 k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1) 
0 2,00000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,50000 -0,00515 
1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,75000 0,20816 
2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 
3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 
4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,53125 0,02094 
5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,51563 0,00788 
6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00788 2,50782 0,00136 
|f(x)| < ε = 0,002 |b - a| = 0,01563 
 > ε = 0,002 
 
2 50782x ,=
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 52/60 
EXEMPLO 4 
7 2,5000 2,50782 -0,00515 0,00136 2,50391 -0,00189 
8 2,50391 2,50782 -0,00189 0,00136 2,50587 -0,00026 
9 2,50587 2,50782 -0,00026 0,00136 - - 
 k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1) 
0 2,00000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,50000 -0,00515 
1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,75000 0,20816 
2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 
3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 
4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,53125 0,02094 
5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,51563 0,00788 
6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00788 2,50782 0,00136 
|b - a| = 0,00195 < ε =0,002 [ ]2 50587 2 50782x , , ,∈
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 53/60 
Método da Bissecção 
ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES: 
 
Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a, b], vamos 
determinar quantas iterações serão efetuadas pelo 
método da bissecção até . 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 54/60 
Método da Bissecção 
a0 b0 
a1 b1 
b2 a2 
2
00
11
abab −=−
2
0011
22 22
ababab −=−=−
3
0022
33 22
ababab −=−=−b3 a3 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 55/60 
Método da Bissecção 
¨  Então temos que: 
¨  Devemos obter o valor de k tal que , ou 
seja: 
b0 − a0
2k
< ε
k
kk
kk
ababab
22
0011 −=
−
=− −−
bk − ak < ε
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 56/60 
Método da Bissecção 
¨  Portanto, se k satisfaz a relação anterior, ao final da 
iteração k, teremos o intervalo [a, b] que contém a raiz 
ξ, tal que: 
∀x ∈ a,b[ ]⇒ x −ξ ≤ b− a ≤ ε
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 57/60 
¨  Podem ocorrer sequências em que as diferenças 
convergem para zero, enquanto a própria sequência diverge. 
¨  Podem ocorrer de estar próximo de zero, mesmo quando 
xn for significativamente diferente de x. 
¨  Sem outras informações sobre f ou x, o melhor critério é: 
por ser o que mais se aproxima da ideia de testar o . 
xn − xn−1
xn
< ε
xn − xn−1
f xn( )
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 58/60 
Método da Bissecção 
 VANTAGENS: 
 
¨  Facilidade de implementação; 
¨  Estabilidade e convergência para a solução procurada; 
O número de iterações é 
dependente da tolerância 
considerada. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte1 
Cálculo Numérico 59/60 
Método da Bissecção 
 DESVANTAGENS: 
 
¨  Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f (x) em um elevado número de iterações); 
¨  Necessidade de conhecimento prévio da região na qual 
se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é 
possível); 
¨  Complexidade da extensão do método para problemas 
multivariáveis. 
Aula 4 – Zeros de funções – Parte 1 
Cálculo Numérico 60/60 
Exercício 
¨  Seja f (x) = x3 – 9x + 3; I = [0, 1]; ε = 10-3, use o critério | f (x)|< ε.	
 k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1) |b – a| 
0 0 1 3 -5 0,5 -1,375 1 
1 0 0,5 3 -1,375 0,25 0,76563 0,5 
2 0,25 0,5 0,76563 -1,375 0,375 -0,32227 0,25 
3 0,25 0,375 0,76563 -0,32227 0,3125 0,21802 0,125 
4 0,3125 0,375 0,21802 -0,32227 0,34375 -0,05313 0,0625 
5 0,3125 0,34375 0,21802 -0,05313 0,32813 0,08216 0,03125 
6 0,32813 0,34375 0,08216 -0,05313 0,33594 0,01445 0,01562 
7 0,33594 0,34375 0,01445 -0,05313 0,33985 -0,01940 0.00781 
8 0,33594 0,33985 0,01445 -0,01940 0,33790 -0,00252 0,00391 
9 0,33594 0,33790 0,01445 -0,00252 0,33692 0,00597 0,00196 
10 0,33692 0,33790 0,00597 -0,00252 - - 0,00098