Seminário sobre História na Educação Matemática

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DAYANE MORETTI 
GABRIELA GODOY 
RENATO F. MERLI 
VANESSA MAREZE 
VIVIANA OKAMOTO 
 
 
 
 
 
 
 
TENDÊNCIAS MATEMÁTICAS: 
HISTÓRIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apucarana 
2008 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DAYANE MORETTI 
GABRIELA GODOY 
RENATO F. MERLI 
VANESSA MAREZE 
VIVIANA OKAMOTO 
 
 
 
 
 
TENDÊNCIAS MATEMÁTICAS: 
HISTÓRIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
Seminário da disciplina 
de Metodologia do 
Ensino I do Terceiro 
Período do Curso de 
Matemática com Ênfase 
em Informática. 
 
 
 
 
ORIENTADORA: Ms. LORENI BALDINI 
 
 
 
Apucarana 
2008 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................4 
2 OBJETIVOS.........................................................................................................7 
3 JUSTIFICATIVA ...................................................................................................8 
4 REVISÃO DA LITERATURA................................................................................9 
4.1 POR QUE ENSINAR HISTÓRIA DA MATEMÁTICA?..........................................9 
5 METODOLOGIA ................................................................................................15 
5.1 UM POUCO SOBRE O NÚMERO DE OURO....................................................15 
6 CONCLUSÃO ....................................................................................................29 
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...............................................................................30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 Atualmente, muitas são as discussões sobre o uso da História da Matemática 
nas suas respectivas aulas, e algumas vezes essa tendência aparece apenas como 
um tópico nos livros didáticos a ser trabalhado dentro de uma sala de aula. 
 Muitas vezes, os alunos e os professores não têm conhecimento da história 
que o tópico aborda e a importância de se conhecê-la e entendê-la passa 
despercebida. 
 
 Segundo Brolezzi: 
 
“Propomos que é imprescindível conhecer a história para poder rechear o 
ensino de ligações entre os conceitos, de exemplos de aplicações, de 
diferentes modos de pensar, de diferentes linguagens, de problemas 
interessantes, de jogos e de toda a cultura matemática fornecida pelo estudo 
da história”. (p.265,2003). 
 
A História da Ciência e a História da Matemática se difundiram ao longo do 
tempo. Seguindo esse exemplo estão a história das idéias e a história das idéias 
matemáticas. Sabe-se que grande foi o investimento para saber como nossos 
antepassados pensavam sobre um assunto e se os problemas que os atingiam são 
os mesmos que nós enfrentamos na atualidade. 
Temos conhecimento que nas antigas civilizações o que se predominava era a 
matemática pragmática, sendo que a partir daí surge as origens da geometria. 
 
Segundo Miguel (1997): 
 
“Trabalhos mais recentes no campo da história da matemática, como por 
exemplo, os de Paulus Gerdes, os quais têm penetrado e lançando luz, com o 
auxílio do método etnográfico, sobre o surgimento histórico de noções 
geométricas em épocas muito anteriores aquela da constituição da 
matemática como disciplina cientifica.” 
 
Cada época carrega consigo diversos problemas, tanto sociais quanto 
políticos. Porém, o que se ocorreu em um determinado tempo não se espelhava no 
futuro. 
 
Segundo Isaac Newton: 
 
“Se enxerguei mais longe é porque me apoiei nos ombros de gigantes”. 
 
 Na Matemática, não se descarta teorias antigas, mas sim as usa numa teoria 
futura, para incorporação da nova. Um exemplo disso é a geometria euclidiana e a 
não euclidiana ao longo da história. 
 
 Segundo Boyer (1982): 
 
 “Cada grande matemático acrescenta algo ao que veio antes, 
mas nada tem que ser removido. Consequentemente, quando lemos 
um livro como 'Uma história da Matemática' temos a figura de uma 
estrutura crescente sempre mais alta e mais larga e mais bela e 
 
 
magnífica e com uma basa que é tão sem mancha e tão funcional 
agora como era quando Tales elaborou os primeiros teoremas 
geométricos a quase 26 séculos.” 
 
 Nos dias atuais os professores não vêm explorando muito a História da 
Matemática como um aliado didático. Vê-se que em poucos momentos a tendência 
histórica é trabalhada com o conteúdo abordado, visando somente seguir a 
programação escolar que se limita apenas a demonstrações mais importantes e a 
uma avaliação do aprendizado do aluno em resolver exercícios pré-estabelecidos. 
 A História traz uma ligação com o passado, fazendo os alunos perceberem 
aonde ela foi utilizada e como ela poderá ser útil para algum entendimento futuro. 
 
 Segundo Severino Melo (2003): 
 
 “Quem não conhece a história perde a ligação com o passado, não 
compreende bem o presente e não tem clareza com relação as projeções 
sobre o futuro.” 
 
 Logo, se faz necessário considerar que a história pode contribuir muito na 
educação dos alunos abrindo um leque de possibilidades para a melhoria da 
mesma. 
 No ensino tradicional e tecnicista a Matemática é vista como um saber 
acabado e pronto, ou como um conjunto de técnicas. Porém, ela deve ser vista 
como uma informação dinâmica e viva, sendo ela produzida historicamente nas 
diferentes sociedades e organizada com uma linguagem simbólica própria de 
algumas culturas, seguindo as necessidades da sociedade. 
 
 Sobre isso, Fiorentini (1995), contribui dizendo: 
 
Assim como acontece com todo conhecimento a Matemática é também um 
saber historicamente em construção que vem sendo produzido nas e pelas 
relações sociais e, como tal, tem seu pensamento e sua linguagem. Ocorre, 
entretanto, que essa linguagem com o passar dos anos foi se tornando 
formal, precisa e rigorosa, distanciando-se daqueles conteúdos dos quais se 
originou, ocultando, assim, os processos que levaram a Matemática a tal nível 
de abstração e formalização. 
 
 Com uma visão ampla temos nomes conhecidos entre os problemas gerais e 
os locais; sendo eles: Freudental (1977), Lakatos (1978) Arboleda (1983), Struik 
(1985), Fernandez (1989), Anglin (1992), Miguel (1993), Vianna (1995), Matthews 
(1995), Grugnetti (1995), e D’Ambrósio (1996), entre outros, que apresentaram 
trabalhos para compreensão do problema e as razões em favor da utilização da 
História no contexto didático se tornam convincentes. 
 
 Segundo Lakatos (1978): 
 
 “As matemáticas se apresentam como um conjunto sempre crescente 
de verdades eternas e imutáveis, nas quais não podem entrar os contra-
exemplos, as refutações ou a crítica. O tema em estudo se reveste de um ar 
autoritário (...) O estilo dedutivista esconde a luta e oculta a aventura. Toda 
história se desvanece, as sucessivas formulações tentativas do teorema ao 
 
 
longo do procedimento probatório é condenado ao esquecimento, enquanto 
que o resultado final é exaltado ao estado de infalibilidade sagrada.” 
 
 Ainda de acordo com Miguel & Miorim (2004:82), a influência positivista na 
adoção da História da Matemática também pode ser percebida nas justificativas de 
Félix Klein e de Poincaré. Klein, ao defender que o ensino da Matemática deveria 
ser feito do mesmo modo que a humanidade desenvolveu o conhecimento 
matemático, do mais simples ao mais abstrato e elevado. Poincaré ao atribuir à 
história a função de levar os estudantes a percorrerem os caminhos da construção 
do rigor matemático. 
 A visão evolucionista na elaboração de programas de ensino de matemática, 
influenciou na construção de programas para o ensino da matemática, para seguir 
um cronograma pedagógico de acordo com os acontecimentos da história. Como 
exemplo, encontramos a citação de Miguel & Miorim (2004:84) do capítulo 
introdutório do livro A Matemática: seu conteúdo, métodos e significados, escrita 
pelos matemáticos russos Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev e outros, que 
afirmavam ser objeto de ensino da escola primária osresultados básicos da 
aritmética e da geometria; da escola secundária a matemática elementar; do ensino 
superior que não se dedique exclusivamente às Humanidades, os fundamentos da 
análise, a teoria das equações diferenciais e a álgebra superior e, finalmente, a 
atribuição do estudo das idéias e resultados da matemática atual aos departamentos 
universitários de Matemática e Física. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 OBJETIVOS 
 
 Utilizar a História como meio de ligação entre os conceitos matemáticos e o 
aluno, fazendo com que tenha uma nova visão de como é realmente a Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 JUSTIFICATIVA 
 
 Mostrar que a História pode contribuir muito para a educação, tanto como 
conhecimento como metodologia, se entrelaçando com as demais tendências, 
visando acrescentar meios de despertar o interesse dos educandos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 REVISÃO DA LITERATURA 
 
4.1 POR QUE ENSINAR HISTÓRIA DA MATEMÁTICA? 
 
 Miguel em seu artigo “As Potencialidades Pedagógicas da História da 
Matemática em Questão: Argumentos Reforçadores e Questionadores”, publicado 
no segundo semestre de 1997 pela Revista ZETETIKÉ aborda alguns argumentos 
freqüentes que motivam e desmotivam o uso da história da matemática no campo da 
educação como metodologia de aprendizagem. Abaixo, citamos esses argumentos 
como seus principais defensores. 
 
 
1º Argumento: A História é uma fonte de motivação para o Ensino Aprendizagem 
da Matemática. 
 
 Há um número expressivo de matemáticos que recorrem à categoria 
psicológica da motivação para justificar a necessidade de se recorrer à história no 
processo ensino-aprendizagem da matemática. Dentre eles, destacam-se SIMONS 
(1923), HASSLER (1929), WILTSHIRE (1930), HUMPHRPYS (1980), MESERVE 
(1980), BOOKER (1988) e SWETZ (1989). 
 Acredita-se que o processo histórico pode despertar o interesse dos alunos, 
pois sai do cotidiano das aulas tradicionais gerando uma espécie de “relax” 
emocional. 
 
2º Argumento: A História constitui-se numa fonte de objetivos para o Ensino da 
Matemática. 
 
 O principal defensor desse argumento foi o matemático JONES (1969). Ele 
traz a idéia de que é possível buscar na História apoio para juntamente com os 
alunos, atingir objetivos pedagógicos como, por exemplo, pensar que a matemática 
pode ser vista como uma criação humana. Ainda existe a possibilidade de ser 
questionar quais são os motivos que levam as pessoas a fazerem matemática, as 
necessidades que servem de estímulo ao desenvolvimento dos conceitos 
matemáticos, a ligação entre a matemática e outras disciplinas, entre elas: filosofia, 
religião, lógica, etc. A história só pode ser utilizada para alcançar esses objetivos se 
estiver contextualizada. 
 
3º Argumento: A História constitui-se numa fonte de métodos adequados de Ensino 
da Matemática. 
 
 Esse ponto de vista, já era defendido desde o século XVIII, principalmente por 
CLAIRAUT (1892) e posteriormente por KLEIN (1945) que acreditavam que 
poderíamos buscar apoio na história da matemática para escolhermos métodos 
pedagogicamente adequados e interessantes para a abordagem de tópicos tais 
como: resolução de equações e de sistemas de equações; métodos de extração de 
raiz quadrada; de determinação da área de um círculo; de construção de polígonos 
regulares, etc. 
 
 
 
4º Argumento: A História é uma fonte para seleção de problemas práticos, curiosos, 
informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de Matemática. 
 
 Para MESERVE (1980), há a necessidade pedagógica do uso da história da 
matemática juntamente com a resolução de problemas, pois se torna didaticamente 
eficiente para a aprendizagem matemática. 
 Na procura de métodos motivadores para as aulas de hoje, utilizando-se 
História, transfere-se de um plano entendido fora do conteúdo de ensino para um em 
que a motivação aparece anexada a solução de problemas. 
 Os problemas históricos motivam, segundo SWETZ (1989), porque 
possibilitam o esclarecimento e o reforço de muitos conceitos que estão sendo 
ensinados, constituem veículos de informação cultural e sociológica, mostram a 
habilidade matemática de nossos antepassados e ainda permitem criar uma 
analogia entre os processos utilizados para resolução dos problemas no passado e 
nos dias de hoje. 
 
5º Argumento: A História é um instrumento que possibilita a desmistificação da 
matemática e a desalienação de seu ensino. 
 
 A maneira como a matemática é apresentada, logicamente construída e toda 
emplumada, não condiz com a maneira como ela foi historicamente produzida. 
Assim, a história serve como veículo para mostrar as reais dificuldades encontradas 
pelos matemáticos da época. Para reforçar a idéia, veja o que KLINE (1972) disserta 
em sua tese: 
 
 Os cursos regulares de matemática são mistificadores num aspecto 
fundamental. Eles apresentam uma exposição do conteúdo matemático 
logicamente organizado dando a impressão de que os matemáticos passam 
de teorema a teorema quase naturalmente, de que eles podem superar 
qualquer dificuldade de que os conteúdos estão completamente prontos e 
estabelecidos... As exposições polidas dos cursos não conseguem mostrar os 
obstáculos do processo criativo, as frustrações e o longo e árduo caminho 
que os matemáticos tiveram que trilhar para atingir urna estrutura 
considerável. 
 
6º Argumento: A História constitui-se num instrumento de formalização de conceitos 
matemáticos. 
 
 A palavra ‘formalização’ não é entendida da forma habitual pelos proponentes 
desse ponto de vista. É entendida como ‘o processo de traçar caminhos para se 
chegar a um determinado fim’ (FERREIRA 1992). Dessa maneira, uma das formas 
de perceber as diferentes formalizações do mesmo conceito matemático se daria 
através do conhecimento do desenvolvimento histórico. 
 
7º Argumento: A História é um instrumento de promoção do pensamento 
independente e crítico. 
 
 O exemplo mais significativo desse ponto de vista é o apresentado abaixo, 
que nos foi oferecido por LAKATOS em seu livro Provas e Refutações (1978). Foi 
essa ‘história destilada’ que LAKATOS colocou deliberadamente na base de sua 
proposta de que o ensino-aprendizagem da matemática pela história ser o único 
 
 
capaz de promover a constituição de um pensamento independente e crítico, pois 
ele é contrário ao enfoque euclidiano ou dedutivista: 
 Ainda não se compreendeu suficientemente que a atual educação 
científica e matemática é um foco de autoritarismo e que é a pior inimiga do 
pensamento independente e crítico. Embora em matemática esse 
autoritarismo siga o padrão dedutivista (...) em ciência ele age através do 
padrão indutivista. 
 
 A história destilada então, pode ser vista como uma ferramenta de auxílio ao 
que os historiadores chamam de história narrativa ou história crônica, aquela que é 
meramente lógica e epistemológica, pois a destilada, conduz o aluno há uma 
reflexão e um pensamento crítico e independente sobre a produção do 
conhecimento, não apenas um conhecimento reprodutivista. 
 
8º Argumento: A História é um instrumento unificador dos vários campos da 
Matemática. 
 
 A idéia de que as aulas devem focar o estilo axiomático-dedutivista de 
séculos anteriores é totalmente deixada de lado para que a história assuma esse 
papel orientador, basta perceber num dos trechos de sua dissertação o que afirma 
KLINE (1972): 
 
 Os cursos usuais apresentam segmentos da matemática que parecem 
ter pouca relação entre si. A história pode fornecer uma perspectiva para a 
matéria como um todo e relacionar os conteúdos dos cursos não apenas uns 
com os outros como também com o corpo, com o núcleo principal do 
pensamento matemático. 
 
 
 Nem todos são a favor dessa visão histórica e nem tão pouco axiomática, 
para ZUNIGA (1987), por exemplo, a matemática não deve ser encarada comouma 
unicidade, mas como algo multifragmentado, constituída de um complexo de regiões 
autônomas, com diversas regras e métodos diferentes. 
 
9º Argumento: A História é um instrumento promotor de atitudes e valores. 
 
 KLINE sugere que a história deve mostrar a diferença que existe entre a 
matemática apresentada atualmente e a matemática produzida, mostrando todo o 
processo de construção do conhecimento, com seus erros e lacunas, porque só 
assim, o aluno conseguirá desenvolver valores positivos, mesmo que estes se 
restrinjam ao âmbito dos valores acadêmicos. 
 Ao desmistificar a matemática pronta e acabada, a história serviria para 
mostrar aos alunos a coragem, a persistência, a tenacidade e as dificuldades 
enfrentadas pelos matemáticos da época, criando assim, uma formação de cidadão 
e pesquisador. 
 
10º Argumento: A História constitui-se num instrumento de conscientização 
epistemológica. 
 
 O eminente matemático e filósofo Henri Poincaré (1854-1912) foi um dos 
grandes defensores dessa idéia. 
 
 
 Para ele, a didática da história assume uma dimensão psicológica que 
consiste na possibilidade de se trazer para o plano de consciência do aluno a 
necessidade de submissão aos padrões atualizados de rigor, a função didática da 
história é psicológica, mas o objetivo que se busca é estritamente epistemológico. 
 Assim, a história seria útil para mostrar ao aluno que demonstrações de 
teoremas nem sempre seguiram o rigor exigido hoje pela matemática, mas que 
foram construídos com o passar do tempo. Não se espera que o professor esqueça 
dos formalismos e do rigor matemático envolvidos, mas que mostre ao aluno de 
forma clara e sucinta o conhecimento em questão. Os alunos ainda não possuem 
uma maturidade psicológica para entender, sendo que, num futuro próximo, quando 
já estiverem maduros, se retome esse conhecimento de uma forma mais formal e 
rígida, segundo os ideais matemáticos. 
 
11º Argumento: A História é um instrumento que pode promover a aprendizagem 
significativa e compreensiva da Matemática. 
 
 Esse ponto de vista foi defendido por ZÚNIGA (1988) nos seguintes termos: 
 
 A participação da história dos conteúdos matemáticos como recurso 
didático não só serve como elemento de motivação, mas também como fator 
de melhor esclarecimento do sentido dos conceitos e das teorias estudadas. 
Não se trata de fazer uma referência histórica de duas linhas ao iniciar um 
capítulo, mas de realmente usar a ordem histórica da construção matemática 
para facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução teórica. Isso é 
central. Os conceitos e noções da matemática tiveram uma ordem de 
construção histórica. Esse decurso concreto põe em evidência os obstáculos 
que surgiram em sua edificação e compreensão. Ao recriar teoricamente esse 
processo (obviamente adaptado ao estado atual do conhecimento) é possível 
revelar seu sentido e seus limites. A história deveria servir, então, como o 
instrumento mais adequado para a estruturação do delineamento mesmo da 
exposição dos conceitos (...) Com isso não se quer dizer que se deve 
reproduzir mecanicamente a ordem de aparição histórica dos conceitos 
matemáticos; sem dúvida, todas as ciências possuem certa lógica interna que 
se dá a partir de sínteses teóricas importantes e que se deve assimilar no 
ensino-aprendizagem. Só se coloca a necessidade de buscar um equilíbrio 
verdadeiramente dialético entre essa lógica interna e a história de sua 
evolução conceitual, enfatizando a importância do segundo. 
 
 
 Para JONES (1969), a função pedagógica da história se realiza apenas 
quando ela cria uma aprendizagem da matemática baseada na compreensão e na 
significação, sendo esta última ligada a discussão dos porquês, das razões para 
aceitação dos fatos e procedimentos utilizados. 
 Para JONES, existem três tipos de porquês: os cronológicos, os lógicos e os 
pedagógicos. Os primeiros estão relacionados diretamente as razões de natureza 
histórica, por exemplo, a pergunta: ‘por que há 60 segundos em um minuto?‘, não há 
uma razão lógica, mas sim histórica envolvendo essa questão. Já os porquês lógicos 
são baseados em explicações já aceitas anteriormente, exemplo disso são as 
questões de natureza axiomática. E por último e não menos importante, está os 
porquês pedagógicos, que são os relacionados com os procedimentos utilizados em 
sala de aula. 
 
 
Essa categorização poderia sugerir-nos que a história só interviria como 
instrumento auxiliar na explicação da primeira categoria de porquês, isto é, dos 
porquês cronológicos. Não é isso, porém, o que pensa Jones. Para ele, a história 
não só pode como deve ser o fio condutor que ‘amarraria’ as explicações que 
poderiam ser dadas aos porquês pertencentes a qualquer uma das três categorias. 
É na defesa dessa possibilidade que se revela o poder da história para um ensino-
aprendizagem da matemática baseado na compreensão e na significação. 
 
12º Argumento: A História é um instrumento que possibilita o resgate da identidade 
cultural. 
 
 Esse ponto de vista foi defendido por Paulus GERDES (1991), embora ele 
jamais tenha tomado explicitamente partido da discussão referente às 
potencialidades pedagógicas da história da matemática, foi quem, mais contribuiu 
para que essa questão pudesse ser enfocada sob um novo ponto de vista. Isso 
porque a história da matemática não lhe aparece nem como um ponto de partida e 
nem como algo pronto e acabado que pudesse se constituir em objeto de uso abuso 
por parte dos educadores. 
 
 
 Acima, foram apresentados alguns argumentos que motivam o uso da história 
no ensino da matemática, a partir de agora, apresentamos alguns argumentos 
questionadores sugeridos por Miguel (1997): 
 
 
1º Argumento Questionador: Ausência de literatura adequada. 
 
 Esse argumento, levantado por GRATTAN-GUINNESS (1973) e também por 
BYERS (1982), segundo MIGUEL, deve ser visto não como um entrave ao 
desenvolvimento das relações entre história e pedagogia, mas deveria ser entendido 
como um apelo a necessidade de constituição de núcleos de pesquisa em história 
da matemática dos quais façam parte historiadores, matemáticos e educadores 
matemáticos e outros profissionais que possam contribuir para a elaboração de 
reconstituições esclarecedoras de épocas, temas, situações e biografias. 
 
2º Argumento Questionador: Natureza imprópria da literatura disponível. 
 
 Segundo MIGUEL, um segundo argumento que se coloca em continuidade 
direta com o primeiro, afirma que a natureza da literatura histórica disponível a torna 
particularmente imprópria à utilização didática. Isso porque é uma característica 
específica das publicações matemáticas destacarem unicamente os resultados 
matemáticos e ocultarem a sua forma de produção. Devido a isso, aquilo que 
poderia ter alguma importância pedagógica, isto é, os métodos extra-lógicos 
subjacentes aos processos de descoberta estariam irremediavelmente perdidos e a 
reconstituição deles constituiria um empreendimento extremamente complexo 
mesmo para um historiador profissional. Quem nos chama a atenção para esse fato 
é também BYERS (1982). 
 
 
 
 
 
3º Argumento Questionador: O elemento histórico é um fator complicador. 
 
 Para muitos, isso é um problema, pois o aluno seria confrontado com 
problemas originais que não estão no seu contexto atual, trazendo uma enorme 
dificuldade para entendê-los e ainda despenderia um enorme tempo. 
Para GRATTAN-GUINNESS (1973), a história não só pode como deve estar 
presente na abordagem dos conteúdos do ensino a nível universitário. Não se trata, 
acrescenta ele, de fazer da história da matemática uma disciplina à parte como se 
ela fosse um ramo separado da matemática, mas de encará-la como parte essencial 
de todos os ramos. Porém, nos demais níveis de ensino, sobretudo na educação 
primária, a história é inútil se encararmos a sua utilização do modo como foi 
proposta para o nível universitário. Nesses demais níveis, a alternativa que propõe é 
aquilo que chama de ‘históriasatírica’, ou seja, uma imitação do desenvolvimento de 
um determinado tema, omitindo os contextos históricos nos quais se desenvolveu. 
Uma analogia que pode ser feita é com a história destilada de LAKATOS. 
 
4º Argumento Questionador: Ausência na criança do sentido de progresso 
histórico. 
 
 GRATRAN-GUINNESS, em seu argumento psicológico apresenta-se como 
um quarto e sério obstáculo à utilização pedagógica da história: 
 
Mesmo pondo de lado os inevitáveis assuntos técnicos envolvidos, as 
crianças têm pouco ou nenhum sentido de progresso histórico, pelo menos 
não o possuem para os temas científicos que elas associam com as coisas 
imediatas. 
 
 O que tem de se observar é que o problema de aprendizagem da história não 
está relacionado apenas ao campo psicológico, mas também social, visto que 
depende de cada país a sua orientação para qual idade é necessário que uma 
criança saiba sua história. 
Existe ainda um ponto levantado por MALRIEU (1974), no fato de que a 
história é de fato aprendida quando há uma transferência afetiva do acontecimento 
com suas lembranças. Assim, uma criança, não possui um passado e logicamente 
não poderá ter lembranças para serem ligadas à história apresentada. Outro fator 
importante é a incapacidade da criança quanto a duração de algo, esse fato nos é 
lembrado por LEGRAND (1974) da seguinte forma: 
 
...o obstáculo só poderia ser superado por ela quando o próprio 
presente for concebido engendrando continuamente o passado, isto é, 
quando ele for capaz de religar numa mesma intuição eventos simultâneos e 
ordenar linearmente eventos sucessivos. 
 
 Por fim, MIGUEL lembra que esses argumentos questionadores não devem 
impedir o uso da história da matemática no ensino, mas devem ser questões a 
serem estudadas e discutidas buscando uma melhor compreensão e a instauração 
de uma construção solidária e esclarecedora. 
 
 
 
 
 
 
5 METODOLOGIA 
 
Como parte do seminário sobre Tendências matemáticas, faz-se necessário a 
utilização de uma atividade para complementar e exemplificar a tendência 
apresentada. Para tanto, em nosso trabalho, faremos uso de um assunto de grande 
poder histórico e que está presente em nosso dia-a-dia, o número de ouro. 
Inicialmente apresentaremos, através de uma coletânea de diversos trabalhos um 
pouco de sua história, sua aplicabilidade e seus usos. Mais tarde, discorreremos 
sobre a atividade propriamente dita, apresentando os materiais utilizados e os 
procedimentos durante a aula. 
 
5.1 UM POUCO SOBRE O NÚMERO DE OURO 
 
Também chamado de razão áurea, razão de ouro, divina proporção, 
proporção em extrema razão, divisão de extrema razão, o número de ouro é 
encontrado a partir da razão entre a medida de um segmento AB e as medidas de 
suas partes AC e CB. 
Relativamente a esta divisão, o matemático alemão Zeizing formulou, em 
1855, o seguinte princípio: "Para que um todo dividido em duas partes desiguais 
pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a 
mesma relação que entre esta e o todo.”. 
O número de ouro é representado pela letra grega Φ (phi maiúsculo) em 
homenagem ao matemático grego Fídias e seu valor aproximado é 1,618. 
 
 
CONTEXTO HISTÓRICO 
 
 
“A geometria possui dois grandes tesouros: um é o teorema de 
Pitágoras; o outro, a divisão de uma linha em extrema e média razão. O 
primeiro, podemos comparar a uma medida do áureo; ao segundo, podemos 
chamar de jóia preciosa.” (KEPLER, 1571 – 1630). 
 
A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos 
numéricos que se encontravam na beleza, natureza, entre outros, mas certamente a 
mais importante é a razão áurea, conhecida também como razão divina ou 
proporção divina. 
Um outro fato familiar à escola de Pitágoras era que existem cinco, e nada 
mais que cinco sólidos convexos regulares que podem cada um, serem circunscritos 
por uma esfera: o tetraedro, o hexaedro (cubo), o octaedro, o icosaedro e o 
dodecaedro. 
Os gregos antigos atribuíram um significado diferente ao dodecaedro: suas 
doze faces regulares correspondiam aos doze signos do zodíaco. Cada face 
pentagonal, associada à divisão áurea, era de um interesse especial para os 
pitagóricos. O ponto P de duas diagonais divide cada uma delas na proporção áurea 
(Figura 1). P divide AQ e AB internamente e QB externamente nessa proporção. Um 
outro fato do conhecimento desses antigos geômetras era que a razão do raio do 
circuncírculo de um decágono regular para um dos lados é a razão áurea. 
 
 
 
 
 No final do século XII o matemático Fibonacci, provou através de uma fórmula 
numérica que de um retângulo que possuía seus lados proporcionais em extrema e 
média razão, chamado de retângulo perfeito, derivam uma infinidade de quadrados e 
retângulos todos com as mesmas proporções do primeiro que, em projeções 
harmoniosas, cria-se uma série de espirais. 
Os arquitetos e escultores gregos incorporavam esta razão em suas obras. 
Fídias, o famoso escultor grego, fazia uso delas. As dimensões do Partenon (Figura 
2), em Atenas, construído no século V a.C., podiam ser encaixadas quase 
exatamente em um retângulo áureo quando seu frontão triangular ainda estava 
intacto. 
 
 
 
Figura 2: Partenon 
Assim, sugeriu-se, no início do século XX, que a letra grega Φ – a letra inicial 
do nome de Fídias – fosse adotada para designar a razão áurea. A onipresença do 
Φ (phi) na matemática despertou o interesse de muitos matemáticos na Idade Média 
e durante a Renascença. Em 1509, foi publicado um tratado de Luca Pacioli, De 
Divina Proportione, ilustrado por Leonardo da Vinci. Reproduzido em 1956 em uma 
grandiosa edição, é um conjunto de idéias fascinante da aparição do phi em várias 
figuras planas e sólidas. 
 
No Renascimento, demonstrou-se que o corpo humano (Figuras 3.1, 3.2 e 
3.3) obedece à proporção divina: o umbigo divide a altura do corpo humano em dois 
segmentos que estão na razão de ouro; a altura do seu crânio e a medida da 
mandíbula até o alto da cabeça; a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do 
tórax; a medida do seu ombro à ponta do seu dedo e a medida do seu cotovelo à 
ponta do seu dedo; o tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta; a 
medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta; a 
medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho ao chão. 
 
 
 
 
Figura 3.1 Corpo Humano 
 
 
Figura 3.2 Mão Humana 
 
 
Figura 3.3 Orelha Humana 
 
Há registros históricos de que um grego mediu as alturas de 65 mulheres e 
comparou os resultados com as alturas de seus respectivos umbigos, tendo obtido a 
média de 1,618. 
Da Vinci também usou o número de ouro em suas obras e se aplicarmos o 
retângulo na face da Monalisa (Figura 4), veremos que tem um rosto onde as 
proporções são exatas. E se dividirmos o referido retângulo por uma linha que passe 
nos olhos, o novo retângulo obtido também é de ouro e o próprio tamanho do quadro 
representa a razão de ouro. 
 
 Figura 4: Monalisa 
 
 
CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO ÁUREO E DA ESPIRAL LOGARÍTMICA 
 
Seja um segmento AB, com medida x, qualquer, trace uma perpendicular em 
B cuja altura deve ser 0,618 de x, construindo um retângulo áureo como mostra a 
figura 5. 
 
 
 Figura 5 
Determine um ponto E em AB , tal que EB = BC e traçando uma perpendicular 
teremos um quadrado e um retângulo, repetindo o processo no retângulo ADEF e, 
em cada retângulo que aparece na figura 6. 
 
 
 
Figura 6: Retângulo áureo 
 
 
Centro em E, faz-se o arco BF. Com raio DF determina-se G em AD e H em 
EF. Com raio HF e centro em H, traça-se o arco GF como na figura 7. 
 
 
 
Figura 7 
 
 
 
 
Repetindo sucessivamente o procedimento acima, determina-se a Espiral 
Logarítmica também chamada Espiral Eqüiângular (Figura 8). 
 
 
 
 Figura 8: EspiralLogarítmica ou Eqüiângular 
 
 
CÁLCULO ALGÉBRICO DO NÚMERO DE OURO 
 
O problema de determinar a divisão áurea de uma reta está solucionado em 
Euclides II, 11. 
 Tomemos um segmento AB de comprimento 1u, dividido em dois segmentos 
pelo ponto C (Figura 9). Tomemos a e 1-a como comprimentos de AC e CB, 
respectivamente. Se C é um ponto, tal que 1 está para a assim como a está para 1-
a, C é a secção áurea ou divisão áurea de AB. 
 
 
 
 
 
Na terminologia dos matemáticos antigos, AB está dividida pelo C em 
“extrema e média razão”. Kepler a chamava de “divina proporção”. 
Tomemos como base o segmento AB. Sendo a medida (AB) = 1, a medida 
(AC) = a e medida (CB) = (1 – a), temos: 
 
 
 
 
 O valor algébrico de phi pode ser calculado facilmente a partir da 
relação acima: 
 
 
 
 
 
Figura. 09 
 
 
 
 
Como é um cálculo envolvendo medida, desprezaremos a raiz negativa, logo: 
 
 
 
 
Sendo a a medida do segmento maior dizemos que 0,618... é denominado 
SECÇÃO ÀUREA do segmento AB. Assim, temos que: 
 
 
 
 
= 
 
 
O número 0,618... é o inverso do número de ouro. 
 
OUTRAS RELAÇÕES ASSOCIADAS AO NÚMERO DE OURO 
 
 O phi também está associado com qualquer seqüência de inteiros formada de 
acordo com a lei, segundo a qual cada termo é a soma dos dois termos anteriores, 
quaisquer que sejam os dois primeiros termos: 11 −+ += nnn uuu .A razão de termos 
sucessivos, 1+nu / nu , aproxima-se cada vez mais de phi à medida que n aumenta. 
 
 Podemos tomar como exemplo aleatório, 5 e 2 como termos iniciais, 1u e 2u , 
dando a seqüência 5, 2, 7, 9, 16, 25,..., 280, 453, 733,..., 13153, 21282,..., a partir da 
qual podemos determinar aproximações do phi: 
 
16/9 = 1,7777... 
453/280 = 1,6178... 
733/453 = 1,6181... 
21282/13153 = 1,61803... 
 
 Este processo nos leva cada vez mais próximos do valor de phi,que até a 
sétima casa decimal é 1,6180340. Alguns cálculos demonstrarão que as 
aproximações variam, sendo alternadamente maiores e menores que phi: 453/280 = 
1,6178... < Φ, 733/453 = 1,6181... > Φ. 
 
 a = 
 
 
 Na ausência de qualquer restrição aos dois termos iniciais da série, podemos 
começar com os mais simples, o que resulta na série de Fibonacci, assim chamada 
por Edward Lucas em 1877: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... .Calculando 
40u / 39u a partir da seqüência de Fibonacci chegamos mais uma vez a razão áurea, 
ou seja, 40u / 39u = 102334155/63245986 = 1,61803398... 
 
 A apreciação da arte baseia-se em dois fatores distintos, um hereditário e o 
outro que depende de treinamento, um da natureza, outro da educação. O primeiro é 
instintivo, baseado no inconsciente racial. O segundo, o fator educativo, desenvolve-
se através do treinamento. Tanto na matemática como na música, há certas 
combinações que exigem somente um mínimo de educação artística para a sua 
apreciação como objetos de beleza. Na matemática, o círculo, a elipse, o quadrado; 
na música, intervalos musicais simples – podem estimular alguma resposta 
emocional com treinamento preliminar significante. 
 
 Certas mensagens nervosas recebidas pelos centros visuais do cérebro 
podem despertar ecos associativos nos centros auditivos. Existem três intervalos 
musicais emocionalmente fortes que se destacam de todos os demais graças à sua 
consonância: é o uníssono, a oitava e a sexta maior. Estes intervalos são 
esteticamente agradáveis porque estes pares de notas não produzem vibrações 
entre os seus harmônicos. As vibrações são características da dissonância que 
ofende o ouvido como desafinação. Correspondentes aos três intervalos musicais 
agradáveis, há três retângulos próprios: 
 
Intervalo Musical Razões de 
Freqüências 
Retângulo Razão dos 
segmentos laterais 
Uníssono 256:256 = 1:1 Quadrado 1:1 
Oitava 512:256 = 2:1 Quadrado duplo 2:1 
Sexta Maior 512:320 = 8:5 Retângulo áureo 8:5 
 
De acordo com a experiência e a observação, o intervalo musical que 
proporciona grande satisfação a um número de pessoas é a sexta maior, com razão 
de freqüência equivalente a 8:5, aproximadamente. O que corresponde ao prazer 
que se experimenta quando se contempla o retângulo áureo, cujos lados adjacentes 
acham-se na proporção de Φ:1 que é aproximadamente igual a 8:5. 
 
O NÚMERO DE OURO EM DIVERSAS ÀREAS 
 
Da mesma forma, podemos encontrar as relações áureas na configuração de 
alguns animais e plantas, encontrar proporções similares em conchas, nos girassóis 
e em vários outros elementos da natureza. 
 
Figura 10: Concha Figura 11: Girassol Figura 12: Sementes de maçã 
 
 
 
 
 Nos dias de hoje essa proporção ainda é muito usada. Ao obter 
internacionalmente algumas medidas usadas no cotidiano, os projetistas procuraram 
"respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura pode ser de 
um cartão de crédito, alguns livros, jornal, uma foto revelada, entre outros. 
 Pode ser encontrada como uma espiral no arranjo das folhas em torno dos 
caules dos ramos de uma planta, facilitando a incidência dos raios solares com a 
mesma intensidade sobre todas elas. É possível encontrar Fibonacci na disposição 
dos ramos das seguintes plantas: Olmo, Tília, Limeira, Faia, Aveleira, Amora 
Silvestre, Carvalho, Cerejeira, Macieira, Azevinho, Ameixeira, Cardo-morto, Choupo, 
Álamo, Roseira, Pereira, Salgueiro e Amendoeira. 
 
 
 
 É possível encontrar os números de Fibonacci em arranjos de folhas–fitotaxia. 
Um padrão helicoidal para a direita e para a esquerda em torno do caule. 
 
 
 
 Nas ramificações dos galhos ou ramos que ocorrem a cada mês como na 
espirradeira ou cevadilha. 
 
 
 
 Na população de coelhos o número final dos casais de coelhos no final de 
cada mês seria: 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233, assim ao final de uma ano 
haveriam 233 casais de coelhos. 
 
 
 
 
 
 
UTILIZAÇÃO DO NÚMERO DE OURO NA GRÉCIA ANTIGA E NO EGIPTO 
 
 
 
 
O uso do número de ouro nos leva aos antigos egípcios e gregos podendo ser 
encontrado, especialmente, na grande pirâmide de Gisé onde o quociente entre a 
altura de uma face pela metade do lado da base é Φ. Por outro lado, cada bloco da 
pirâmide era Φ vezes maior que o bloco do nível acima e até mesmo os 
comprimentos das câmaras interiores da pirâmide eram Φ vezes maiores que as 
larguras. 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DO NÚMERO DE OURO NA ATUALIDADE 
 
 O número de ouro aparece em vários elementos, designadamente através do 
retângulo de ouro, em cartões de crédito, na identidade, na maioria dos livros 
retangulares, em embalagens e em arquitetura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARQUITETURA MODERNA 
 
 Um exemplo da utilização da proporção divina na arquitetura moderna é a 
Sede das Nações Unidas em Nova Iorque, que tem a forma de um retângulo de ouro 
(à esquerda). 
 
 
 
Outros exemplos são os edifícios Le Corbusier (retângulo dourado), a Torre 
de Tatlin onde foi usada a espiral dourada, a Catedral de Notre Dame, a Torre CN 
em Toronto. 
 
 
ARTE 
 
 A procura pela perfeição e beleza através da utilização da proporção áurea é 
muito visível na arte, em obras como “O Nascimento de Vênus” de Botticelli, na qual 
Vênus se encontra nesta proporção, ou “O Sacramento da última ceia” de Salvador 
Dali. 
 
 
 
 
 
 Mas sem dúvida alguma, o artista que mais utilizou a número de ouro nas 
suas obras foi Leonardo da Vinci. Obras como a “Anunciação”, “A última Ceia” e “La 
Gioconda” são exemplos disso. 
 
 
 
 
 
LITERATURA 
 
 Impressionantemente, o phi também nos surge na literatura. Está presente na 
Ilíada de Homero onde a proporção das estrofes maiores e menoresdá Φ, em Os 
Lusíadas de Luís de Camões onde a chegada à Índia divide a sua obra na razão de 
ouro e na Eneida de Virgílio relativamente à razão entre as estrofes maiores e 
menores. 
 
 
MÚSICA 
 
 A razão áurea aparece similarmente em composições musicais. As Sinfonias 
nº. 5 e nº. 9 de Beethoven são prova disso, mas também o baterista Max Roach 
utiliza a proporção de ouro relacionada com os tempos de bombo e caixa. 
 
 
CINEMA 
 
 No filme “O encouraçado Potemkin” de Sergei Eisentein, os inícios de cenas 
importantes da trama estavam na proporção de ouro relativamente ao tamanho das 
fitas de película. 
 Como dizem alguns matemáticos, “É dito que onde houver “harmonia” lá 
encontraremos o Número de Ouro”. Este número Φ (phi) é indicado como a máxima 
expressão da harmonia e equilíbrio. 
 
 
DNA 
 
 A molécula do DNA, o programa de toda a vida, é baseada no segmento 
áureo. Ele mede 34 Å (ângstrons) de comprimento por 21 Å de largura para cada 
ciclo completo de sua espiral dupla. O DNA tem dois sulcos em sua espiral, cuja 
razão entre o maior e o menor é phi, ou mais precisamente, de 21 ângstrons para 13 
ângstrons. 
 
 
 
 
 
 
 
NA BOLSA DE VALORES 
 
 
 
 
 
O uso dos números de Fibonacci na bolsa de valores está baseado nos 
trabalhos pioneiros de Ralph Nelson ELLIOTT (1871-1948), um analista financeiro 
norte-americano que estudou o comportamento do índice Dow Jones, da Bolsa de 
Valores de Nova Iorque, a partir da década de 20 do século passado. Tendo 
presenciado a quebra da bolsa em 1929 e a Grande Depressão que dela se seguiu, 
Elliott concluiu que as flutuações da bolsa não eram aleatórias. 
Sua idéia básica é a de que as flutuações da bolsa seguem um padrão de 
crescimento e decrescimento que podem ser analisados segundo os números de 
Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Assim, as relações entre 
picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas 
aproximadas das razões de dois números consecutivos da seqüência de Fibonacci. 
Como o próprio Elliott afirma, sua teoria não é capaz de prever com precisão as 
flutuações da Bolsa, mas de diminuir a probabilidade de riscos. 
 
 
NA BÍBLIA 
 
 Embora talvez, não imediatamente óbvio phi e o segmento áureo também 
aparecem na Bíblia. 
 
 
 
 
A ARCA DE NOÉ E O RETÂNGULO ÁUREO 
 
 
 
 
 Em Gênesis 6:15, Deus ordena a Noé que construa a arca: “Deste modo a 
farás: de trezentos côvados será o comprimento; de cinqüenta, a largura; e a altura, 
de trinta.” Assim, as extremidades da arca, de 50 por 30 côvados, estão na 
proporção de 5 para 3, ou 1,666…, que é uma boa aproximação de phi (a diferença 
não é visível a olho nu). 
 
 
 
A ARCA DA ALIANÇA É UM RETÂNGULO ÁUREO 
 
 
 
 
 Em Êxodo 25:10, Deus manda Moisés construir a Arca da Aliança, para nela 
guardar as Tábuas da Aliança com os israelitas, os Dez Mandamentos, dizendo: 
“Também farão uma arca de madeira de acácia; de dois côvados e meio será o seu 
comprimento, de um côvado e meio, a largura, e de um côvado e meio, a altura.” 
 A razão entre 2.5 e 1.5 é 1.666..., que é tão próximo de (1.618...) que a 
diferença não é visível a olho nu. A Arca da Aliança é assim construída usando o 
Segmento Áureo, ou a Divina Proporção. Esta é a mesma razão entre 5 e 3, número 
da série de Fibonacci. 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE A RAZÃO ÁUREA 
 
Observamos a importância da Razão Áurea no desenvolvimento da 
humanidade. Seja nas construções, nas observações da natureza ou na procura 
pela perfeição e pelo belo, o número Φ (phi) está sempre presente. Ainda hoje ele se 
faz presente nos estudos e desenvolvimentos de novos produtos. 
 Pensar matematicamente acerca do mundo que nos rodeia, é ser capaz de 
ler a natureza e entendê-la através de uma linguagem que nem sempre é 
imediatamente perceptível, sob a qual, a natureza foi construída, criada, ou 
simplesmente escrita. 
 
 
 A experiência de perceber a beleza da matemática é tão difícil de interpretar, 
para as pessoas, quanto de transmiti-la para um aluno. Ela é assimilada, e não 
ensinada. O estudante pode apenas ser encorajado a ver o esplêndido da visão por 
si mesmo. O prazer, mediado através do intelecto, origina em estratos inferiores da 
mente a arena das emoções. 
 
POINCARÉ apud HUNTLEY (1985), escreveu: 
 
“Pode parecer surpreendente que a sensibilidade deva ser apresentada 
simultaneamente com as demonstrações matemáticas, as quais me parecem, 
podem interessar somente ao intelecto. Mas não se tivermos em mente o 
senso da beleza matemática, da harmonia e das formas e da elegância 
geométrica. Ela é uma sensação estética real que todos os matemáticos 
verdadeiros reconhecem, e esta é a verdadeira sensibilidade... As 
combinações úteis são precisamente as mais belas; refiro-me àquelas que 
mais podem encantar aquela sensibilidade especial que todos os 
matemáticos conhecem, mas acerca das quais os leigos são tão ignorantes 
que muitas vezes ficam tentados a rir delas”. (p.140 -141) 
 
A proporção áurea tem o poder de criar harmonia, porque une diferentes 
partes, de tal forma que cada uma mantém sua identidade e ao mesmo tempo se 
integra ao todo. Ela nos mostra que as limitações não são apenas restritivas, mas 
também criativas. E isso não vale só para as formas, mas para tudo nesta vida. 
 
 
ATIVIDADE 
 
Inicialmente será passado um desenho animado do Pato Donald falando sobre a 
Razão Áurea, posteriormente será feita breve apresentação para tirar eventuais 
dúvidas e por fim, serão chamados dois alunos para que seja calculada a presença 
da Razão Áurea na estética do corpo humano, que pode ser verificada entre as 
medidas: 
 
• Na cabeça – dividindo o comprimento total da face pelo comprimento da linha 
dos olhos até o queixo. A distância entre a base do nariz e a extremidade do 
queixo dividida pela distância da linha da boca até a extremidade do queixo. 
• No tronco – Dividindo o comprimento do tronco (da base do pescoço à pélvis) 
pela distância entre a base do pescoço e o umbigo. 
• Na mão – Entre os dedos e a própria mão. 
• Na altura - Dividindo a altura da pessoa pelo comprimento da altura do chão 
até a altura do umbigo. 
 
Ainda faremos a medição de alguns objetos do dia-a-dia que não percebemos a 
presença da razão áurea, mas que lá se encontra. 
 
MATERIAIS: 
 
 Serão utilizados: calculadoras (para operações aritméticas), réguas, fita 
métrica (várias) e outros materiais.. 
 
 
 
 
6 CONCLUSÃO 
 
 Ressaltamos que a importância da História e de seu uso didático assume 
cada vez mais seu lugar nas discussões pedagógicas para o ensino de Matemática. 
As posições de resistência quanto ao uso da História parecem ser provenientes de 
uma falta de experiência precedente nesse campo. A falta de tradição de um 
referencial para aplicação pedagógica da História (até para criticá-la) deixa a 
sensação de algo que deverá ser construído no decorrer de uma nova via de prática 
pedagógica que contemple a História. 
 Por outro lado, podemos dizer que somente o uso da História como via não 
única, mas insubstituível em suas características permitirá uma visão mais ampla da 
Matemática na tentativa de compreendê-la globalmente, incluindo aí suas relações 
dialéticas, relações que dão margem às seguintes reflexões, entre outras: qual a 
verdadeira matemática? A pura ou a aplicada? (dialética entre a abstração e o real), 
a matemática é descoberta ou inventada? A matemática tem relação com a 
sociedade ou seu desenvolvimento ocorre por necessidades dela mesma? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 Após a exposição dos diferentes argumentos reforçadores e questionadores 
parece-nos que devemos encarar com certa cautela a suposta importância 
pedagógica da história. Entre as posições opostas que tentam nos convencer de que 
a história tudo pode ou de que a história nada pode, parece-nos mais adequado 
assumir uma posição intermediária que acredita que a história - apenasquando 
devidamente reconstituída com fins explicitamente pedagógicos e organicamente 
articulada com as demais variáveis que intervêm no processo de planejamento 
didático - pode e deve desempenhar um papel subsidiário em Educação 
Matemática, qual seja o de um ponto de referência par a problematização 
pedagógica. 
 Isso porque, - apesar da constatação de que a matemática que se apresenta 
nos currículos oficiais e nos manuais didáticos é, lamentavelmente, concebida como 
algo que produziu resultados, mas não tem história, enquanto, como assinala 
ROGERS (1983), o currículo de história continua a ignorar uma parte significativa de 
nossa cultura científica e matemática -, nem a história da matemática escrita sob 
ponto de vista do matemático, nem as breves e episódicas referências à matemática 
que aparecem nas obras dos historiadores de oficio conseguem realçar aqueles 
elementos e aspetos que poderiam, eventualmente, trazer uma real contribuição aos 
professores que têm intenção de planejar as suas aulas lançando mão de tal 
recurso. 
 Para poderem ser pedagogicamente úteis, é necessário que histórias da 
matemática sejam escritas sob o ponto de vista do educador matemático. Tais 
histórias tentariam e tenderiam a privilegiar certos temas e não outros, a enfatizar a 
reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas, sobretudo dos 
contextos psicológico, sóciopolítico e cultural nos quais esses resultados se 
produziram, contribuindo desse modo para a explicitação das relações que a 
matemática estabelece com a sociedade em geral e com as diversas atividades 
teóricas e práticas. 
 Inúmeros outros aspectos deveriam também ser visados por essas histórias 
da matemática pedagogicamente orientada, tais como aqueles assinalados por 
Winchester - 1989 em relação à ciência em geral: os problemas conceptuais 
envolvidos na formação de um novo campo de pesquisa ou no avanço de um 
domínio antigo, as inúmeras dificuldades de interpretação, construção de teorias, 
abandono de teorias ou os problemas morais e estéticos que se apresentam no 
processo. 
 No que se refere particularmente aos problemas morais e éticos, é desastroso 
que a educação científica e matemática tenha se isentado em relação à sua 
problematização, restringindo-se a uma abordagem estritamente técnica e 
aparentemente neutra dos ‘fatos’ científicos e matemáticos. Uma história da 
matemática pedagogicamente orientada poderia prestar grande auxílio para os 
professores intencionados em contrapor-se a tal tendência tecnicista do ensino. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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