Combinação Linear em Espaços Vetoriais

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Atividade Avaliativa 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA DA CONQUISTA 
 30 de outubro de 2020 
 
IFBA – INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA 
CAMPUS VITÓRIA DA CONQUISTA 
Claudio Junior Neves Sousa 
Diego Oliveira Silva 
Joabe Caetité dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA DA CONQUISTA 
 30 de outubro de 2020 
 
Combinação Linear 
 Uma das características principais de um espaço vetorial é obter "novos vetores" a partir 
de um conjunto pré fixado de vetores de tal espaço. Por exemplo, ao fixarmos em R3 o vetor u = 
(2, – 1, 3), pode-se obter a partir de u qualquer vetor v do tipo v = a.u, onde a pertence a R. 
Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor da 
reta que contém u é "criado" por u, ou podemos dizer que u "gera" a reta que o contém. 
 Sabemos que todo vetor v = (a, b, c) em R3 pode ser 
escrito na forma 
v = ai + bj + ck 
 Onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), ou seja, v é uma combinação linear dos 
vetores i, j, k. 
Definição. 
 Sejam v1, v2, ..., vn vetores quaisquer de um espaço vetorial V e a1, a2, ..., an números reais. 
Então todo vetor v V da forma. 
v = a1v1 + a2v2 + ... + an vn 
 É um elemento de V ao que chamamos Combinação Linear de v1, v2, ..., vn. 
Exemplo 
 Em R3, o vetor v = (– 7, 7, 7) é uma combinação linear dos vetores u1 = (– 1, 2, 4) e u2 = (5, 
– 3, 1), pois: 
(– 7, 7, 7) = 2(– 1, 2, 4) – 1(5, – 3, 1) 
Vejamos mais exemplos a seguir: 
Ex 1.: 
 Consideremos, no ℝ³,os seguintes vetores 
V = {[1 1 −2], [1 0 4]} 
Será que 𝑣 = [5 2 8] é combinação linear de V? 
 Caso seja, devem existir escalares 𝑐1 𝑒 𝑐2 talque: 
 [5 2 8] = 𝑐1 [1 1 −2] +𝑐2 [1 0 4] 
Temos um sistema de 3 equações com 2 incôgnitas 
 
A solução é evidente, mas vamos lembrar Gauss Jordan, método trabalhado em sala pelo 
professor Aurélio Fred, para destacar uma correta interpretação. 
Trabalhando a matriz estendida do sistema dá 
 
Dessa forma, a solução é 
𝑐1 = 2 e 𝑐2 = 3 e 0 = 0(válido) 
Logo, existem os escalares, e 𝑣 = [5 2 8] = 2 [1 1 −2] +3 [1 0 4] Sendo assim, 𝑣 é 
combinação linear de V. 
Ex 2.: 
Consideremos, no ℝ³,os seguintes vetores: 
 V = {[1, -3, 2], [2, 4, -1]} 
Será que 𝑣 = [-4, -18, 7] é uma combinação linear de V? 
Caso seja, devem existir escalares a1 𝑒 a2 talque: 
 [-4 -18 7] = a1[1 -3 2] +a2[2 4 -1] 
 
Temos um sistema de 3 equações com 2 incôgnitas 
 
Método Gauss Jordan 
 
Dessa forma a solução é 
 
Logo, existem os escalares, e 𝑣 = [-4 -18 7] = 2 [1 -3 2] +3 [2 4 -1] Sendo assim, 𝑣 é combinação 
linear de V. 
Ex 3.: 
 O elemento 𝑝(𝑥) = 6𝑥2 + 11𝑥 + 6 ∈ P2 (ℝ) pode ser escrito como combinação linear 
dos polinômios 𝑝1(𝑥) = 4𝑥
2 + 𝑥 + 2, 𝑝2(𝑥) = 3𝑥
2 − 𝑥 + 1 e 𝑝3(𝑥) = 5𝑥
2 + 2𝑥 + 3. 
Solução: 
 Primeiramente é necessário encontrar os escalares a, b, c de modo que: 𝑝(𝑥) = 𝑎 ∙
𝑝1(𝑥) + 𝑏 ∙ 𝑝2(𝑥) + 𝑐 ∙ 𝑝3(𝑥). 
⇒ 6𝑥2 + 11𝑥 + 6 = 𝒂(4𝑥2 + 𝑥 + 2) + 𝒃(3𝑥2 − 𝑥 + 1 ) + 𝒄(5𝑥2 + 2𝑥 + 3). 
⇒ 6𝑥2 + 11𝑥 + 6 = 𝑥2(4𝒂 + 3𝒃 + 5𝒄) + 𝑥(𝒂 − 𝒃 + 2𝒄 ) + (2𝒂 + 𝒃 + 3𝒄). 
 Para que os polinômios sejam iguais, basta que cada coeficiente de cada termo do 
polinômio seja igual. Obtemos então o seguinte sistema linear: 
 
Seguindo o método de Gauss Jordan 
 
Solução 
 
⇒ 6𝑥2 + 11𝑥 + 6 = 𝑥2(4 ∙ 4 + 3(−5) + 5 ∙ 1) + 𝑥(4 − (−5) + 2 ∙ 1 ) + (2 ∙ 4 + (−5) + 3 ∙
1). 
⇒ 6𝑥2 + 11𝑥 + 6 = 6𝑥2 + 11𝑥 + 6. 
 Logo 𝑝(𝑥) pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios 𝑝1(𝑥), 𝑝2(𝑥) 
e 𝑝3(𝑥) 
Ex 4.: 
 Consideremos, no ℝ³,os seguintes vetores 
 V = {[1 1 −2] , [1 0 4]} Será que 𝑤 = [5 5 5] é combinação linear de V? caso seja, devem 
existir 𝑐1 𝑒 𝑐2 talque: [5 5 5] = 𝑐1 [1 1 −2] +𝑐2 [1 0 4]. 
Temos um sistema de 3 equações com 2 incôgnitas 
 
Assim o sistema dá 
 
 Observa-se que a igualdade falsa faz que os valores dos escalares não sejam válidos. Dessa 
forma não existe solução. 
 Se utilizarmos 𝑐1 = 5 e 𝑐2 = 0 temos: [5 5 −10] = 5 [1 1 −2] +0 [1 0 4] ≠ 𝑤. Portanto, 𝑤 não 
é combinação linear de V. 
 
 
 
 
 
 
 
Referencial Bibliográfico 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA. 
Exemplos Combinação linear. Disponível em: 
<https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/Arquivos%20PDF/exemplos_comb.pdf
>. Acesso em: 28 de nov. 2020. 
 
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Algebra Linear. 2. ed. São Paulo: McGraw – 
Hill, 1987. 
 
CALLE, Jorge Lizardo. Combinação linear, Independência linear e Gerador de um espaço 
vetorial. Dpto. de Ciências Básicas – FZEA – USP, São Paulo, 16 de abril de 2020. 
https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/Arquivos%20PDF/exemplos_comb.pdf
https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/Arquivos%20PDF/exemplos_comb.pdf