Interseção e Soma de Subespaços Vetoriais

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Aula 7 - Interseção e Soma de 
subespaços vetoriais 
 
15/09/2020 
 
Definição 1. Dados dois subespaços U e 
V de um espaço vetorial W, chamamos 
de interseção de U e V o conjunto 
 
 U∩V={w: w∈U e w∈V}. 
 
Proposição 1. U∩V é subespaço vetorial 
de W. 
 
Demonstração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OEU OEV O C Urv
WEUm
eu_
EU O w iw.eu
eu w.eu weie
w iwk.VN
weUrv well de Nell dwell
de IR
well de IR dwell
Logo Urv é subespaço vetorial
Exemplo 1. (Interseção de subespaços 
do ℝ²) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. (Interseção de subespaços 
do ℝ³) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u
É viral
É
 
Exemplo 3. Sejam U espaço das 
matrizes simétricas de ordem 2x2 e V 
o espaço das matrizes anti-simétricas 
de ordem 2x2. Então U e V são 
subespaço vetoriais de M Encontre 
U∩V. 
 
Resolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
me p
m é sumétrica b C
M é anti simétrica b C
M é simétrica e anti simétrica b
Logo
Urv ao E ae me der
 
Definição 2. Dados dois subespaços U e 
V de um espaço vetorial W, chamamos 
de soma de U e V o conjunto 
 
 U+V={u+v: u∈U e v∈V}. 
 
Proposição 2. U+V é um subespaço 
vetorial de W que contém U e W. É o 
menor subespaço que contém U∪V. 
Além disso, U+V = span (U∪V). 
 
Demonstração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i 0eu pois U é subespaço vetorial deW
Dev pois é subespaço vetorial deW
0 01 0 EU V
ii w e UN w ÉTÉ WINN wi fi
C U EV
M TWz Us tVs 1 Uzi W Us 142 vs Vz
Meu hey
U VEU V
Iii de IR WEU w U AW DU t du C Vtv
Eu E Eu
Exemplo 4. (Soma de subespaços do 
ℝ²) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. (Soma de subespaços do 
ℝ³) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
y UN IR af
v u
U
7
V a
U V U
A
U
s
Y
UN p
L
x MUN _planoque
contém Uev
Proposição 3. Sejam U e V subespaços 
vetoriais de dimensão finita de um 
mesmo espaço vetorial W. Então 
 
 dim(U+V) = dim(U) + dim(V) - dim(U∩V) 
 
Exemplo 6. Dados os subespaços 
 
 U={(O,a,b,c): a∈ℝ, b∈ℝ e c∈ℝ} 
 V={(p,q,p,r): p∈ℝ, q∈ℝ e r∈ℝ} 
 
Encontre uma base de U, V, U+V e U∩V. 
 
Resolução. 
 
(O,a,b,c)=(O,a,O,O)+(O,O,b,O)+(O,O,O,c) 
 =a(O,1,O,O)+b(O,O,1,O)+c(O,O,O,1) 
 
Logo, {(O,1,O,O),(O,O,1,O),(O,O,O,1)} gera 
U, isto é, 
U=span {(O,1,O,O),(O,O,1,O),(O,O,O,1)} 
Além disso, já foi mostrado que 
{(O,1,O,O),(O,O,1,O),(O,O,O,1)} é l.i. 
 
 
Conclusão: {(O,1,O,O),(O,O,1,O),(O,O,O,1)} 
é base de U. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P g p r Lp op a lo G
o Pt 0,0 O t
p 4,0 1,0 g 91,99 r lo 991
V span 4,0 1,0 lo 1,0 o 10,991
Afirmação 4,919,191,0 a Lao oi
é li
G 1,0 1,0 t G 91,0
o tt Cs 0,90 1 0,0 0
Él a
a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 4,919,191,019,19991
é base do V
Afirmação loira 10,919,19994114
É base de Vtv
Déli
910,110,0 G 991,9 4.190,91 411,914
0,00,0
É G ci G cyO.CZCy O
o
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U∩V={(O,a,O,c): a∈ℝ, b∈ℝ e c∈ℝ} 
Iii B gera
U V
0 a b c P g p r
a 0,1 0,0 b 0,0 I D t C fo
O O 1
1 p 11,91
a tq.COho a r 0,99
ata lo 10,9 b 0,91 a ar lo 0,0D
pipo 1,9
logo B gera
U V
Exercício B 191,99 10,9913 é base
de Urv
a Ç O 1 Cz U O
C 1 e D ésolução não trivial
Logo 1quis é l.cl
b Ç U Cz U G Vi O
4 1 la 1 D ésoluçãonão trivial
Logo Lu v vs él d
C cp.U icz.v C3 LU V 0
cites v G V O
4 1 p C p é solução não trivial
Logo LU v u
VI é 1 d
d 14h
G U Cz V CzW
11 fEl
matrizquadrada 3 3
Det m o o sistema lineartemváriassoluções
Logo existesolução não trivial
Portanto Iv v w é l d
aµ a fita.fi E
EI HEHp
M
Det m 1 0
A única solução é q cão o
Logo o conjunto é l i
Outra resolução
E iii p 3
1
III
C Cs O
Gps tlzpz
O.GRx tCrpz x o_O tu
4 in G são_a D FX
Cp X t c 3 C ze O f M
É cima
C rt 3Cz O
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