Cálculo Vetorial e tensorial

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Cálculo Vetorial
e Tensorial
Notas de aula
Versão de 25 de Junho de 2020
Pedro Lauridsen Ribeiro1
Centro de Matemática,
Computação e Cognição (CMCC)
Universidade Federal do ABC (UFABC)
1Email: pedro.ribeiro@ufabc.edu.br
Conteúdo
Notação, Convenções e Roteiro v
I Conceitos Preliminares 1
1 Motivação e objetivos 1
2 Revisão de Álgebra Linear 6
2.1 Operações vetoriais de Rn 6
2.2 (Sub)espaços vetoriais 8
2.3 (In)dependência linear, bases e dimensão 15
2.4 O produto escalar 27
2.5 Transformações lineares e 1-formas 39
3 Formas de volume e Álgebra Exterior 61
3.1 Motivação: áreas de paralelogramos 61
3.2 p-formas, determinantes e p-vetores 67
3.3 Operações sobre p-formas 92
3.4 Identidades vetoriais 111
II Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais 121
1 Campos vetoriais e operadores diferenciais 121
1.1 Campos vetoriais 121
1.2 Operadores diferenciais lineares 126
2 Formas diferenciais e a derivada exterior 132
2.1 Formas diferenciais 132
2.2 Derivada exterior e coderivada exterior 135
III Curvas, Superfícies e Subvariedades em Rn 151
1 Caso parametrizado 151
2 Cartas locais 151
3 Parametrizações especiais 151
IV Integrais em Subvariedades 153
i
1 Caso parametrizado 153
2 Caso geral 153
V O Teorema Fundamental do Cálculo 155
1 O teorema geral de Stokes 155
2 Casos particulares 155
3 Interpretação geométrica da derivada exterior 155
3.1 Fluxo e circulação de campos vetoriais 155
3.2 Interpretação geométrica do laplaciano 155
VI Tópicos Suplementares 157
1 Derivada covariante 157
2 Aplicações à mecânica de �uidos 157
3 Aplicações ao Eletromagnetismo 157
4 Aplicações à Relatividade 157
A Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis 159
1 Abertos e fechados de Rn 159
2 Funções e aplicações de n variáveis 172
3 Compacidade e conexidade 186
4 Diferenciabilidade 204
5 A integral de Riemann 214
Bibliogra�a 215
ii
Prefácio
Estas são notas de aula para a disciplina MCTB010 – Cálculo Vetorial e
Tensorial (CVT), ministrada no primeiro quadrimestre letivo de 2020. O
conteúdo dessa disciplina varre essencialmente os tópicos de Cálculo de Várias
Variáveis que �cam de fora da ementa da disciplina BCN0407 – Funções de
Várias Variáveis (FVV) por falta de tempo. Como tal, fazemos uso tácito do
conteúdo da última e não revisar-lo-emos a menos que seja absolutamente
necessário. Também faremos uso de alguns conceitos da disciplina MCTB001
– Álgebra Linear mas será necessário ir um pouco além do que é visto nesta,
de modo que familiaridade com tais conceitos, embora bem-vinda, não é
absolutamente necessária dado que revisaremos o material a ser usado.
Cabe aqui um comentário sobre a abordagem empregada nestas Notas. É o
entendimento do autor que o estudo de formas diferenciais, previsto dentro do
conteúdo de campos tensoriais a ser varrido na ementa, justi�ca-se por fornecer
a linguagem natural dos teoremas de Cálculo Vetorial Integral – de fato, todos
esses teoremas revelam-se então ser nada mais que diferentes avatares de um
mesmo resultado: a versão em várias variáveis do Teorema Fundamental do
Cálculo, um dos dois resultados centrais do Cálculo juntamente com o Teorema
da Função Implícita.
Assim, em nome de atingirmos um entendimento uni�cado das diferentes
técnicas e conceitos do Cálculo Vetorial, justi�ca-se uma abordagem baseada
em formas diferenciais desde o início. Em contrapartida, a conexão das formas
diferenciais com o conceito de volume (e, portanto, de integral) as torna o
campo tensorial cujo signi�cado geométrico é, juntamente com campos vetori-
ais, o de mais direta compreensão. Portanto, faremos aqui a seguinte escolha de
prioridades: o tratamento geral de campos tensoriais, derivadas covariantes, etc.
será preterido em favor de uma discussão mais extensa de formas diferenciais
ao longo de todo o curso. Essa escolha ditará em grande parte o conteúdo
preliminar de Álgebra Linear a ser abordado no início.
Comentários, correções, sugestões e críticas dos estudantes e/ou leitores são
iii
bem-vindas e até encorajadas. Quaisquer destas podem ser enviadas com prazer
ao autor pelo email pedro.ribeiro@ufabc.edu.br. As presentes Notas serão
mantidas em estado de movimento – atualizações serão feitas com frequência,
e a última versão poderá ser encontrada na minha página Web
http://professor.ufabc.edu.br/∼pedro.ribeiro/
Santo André, 25 de Junho de 2020
Pedro Lauridsen Ribeiro
iv
Notação, Convenções e Roteiro
v
IConceitos Preliminares
1. Motivação e objetivos
Como seu próprio nome diz, o Cálculo em Várias Variáveis Uma revisão breve de deri-
vadas e integrais de funções
de várias variáveis poderá
ser encontrada no Apêndice
A.
lida com as operações de derivação e integração sobre funções
de várias variáveis. Isso é feito inicialmente tratando-se cada
variável da função separadamente enquanto as demais variáveis
são mantidas �xas, de modo a sermos capazes de usar conheci-
mento prévio de Cálculo de funções de uma variável. No caso
da derivada, esse procedimento nos leva à noção de derivadas
parciais e, mais em geral, à noção de derivadas direcionais. No caso
de integrais, contudo, queremos ser capazes de integrar em do-
mínios que, intuitivamente, tem dimensão mais alta, mas a ideia
subjacente à construção da integral de Riemann é facilmente
generalizável a tais domínios – mais precisamente, passamos a
calcular volumes ao invés de áreas. Além disso, dentro de cer-
tas condições (estabelecidas e.g. por alguma versão do teorema
de Fubini), a integral de Riemann em várias variáveis pode ser
calculada calculando-se a integral em cada uma das variáveis
separadamente e em sucessão: a chamda integral iterada.
O ingrediente que falta nisto tudo é justamente a conexão
entre derivação e integração para várias variáveis. No caso de
funções de uma variável, tal conexão é estabelecida pelo Teo-
rema Fundamental do Cálculo. Obviamente, podemos aplicar esse
teorema separadamente em cada variável, mas seu signi�cado
geométrico não é claro de um ponto de vista de várias variáveis
pois é vinculado a uma escolha arbitrária de variável. Para elu-
cidar essa a�rmação, atentemos por ora ao (segundo) Teorema
Fundamental do Cálculo para funções de uma variável, que nos
diz que se f : [a, b] → R é derivável em [a, b] e sua derivada f ′
1
I. Conceitos Preliminares
é contínua em [a, b], então
(I.1) f (b) − f (a) =
∫ b
a
f ′(t)dt .
A busca por uma extensão genuína dessa fórmula para uma
função de n > 1 variáveis f :U → R, ondeU ⊂ Rn, envolve as
seguintes questões:
• O lado esquerdo de (I.1) envolve todos os valores de f na
fronteira do seu domínio. Qual o seu signi�cado em dimen-
sões mais altas?
• O lado direito de (I.1) envolve a integral de f ′ sobre o do-
mínio. Qual a noção de derivada que devemos usar den-
tro da integral em dimensões mais altas para obtenhamos
igualdade com o lado esquerdo? Claramente não pode ser
nenhuma derivada parcial ou mesmo direcional de f , pois
nesse caso o Teorema Fundamental do Cálculo em uma
variável essencialmente nos diz que estamos integrando
sobre apenas uma das variáveis, cuja escolha é arbitrária e
claramente leva a resultados diferentes no lado esquerdo
para cada variável.
Para buscarmos respostas a essas perguntas, é pertinente neste
momento nos perguntarmos qual seria o uso de um “Teorema
Fundamental do Cálculo para várias variáveis”. No caso de fun-
ções de uma variável, podemos citar por exemplo a aplicação
original dada por Newton ao estudo do movimento dos corpos
(pontuais): a partir da velocidade v(t) = x′(t) de uma trajetória
unidimensional x(t) de uma partícula pontual ao longo de um
intervalo de tempo t ∈ [a, b], podemos obter o seu deslocamento
total x(b) − x(a) integrando v(t) em [a, b].
2
1. Motivação e objetivos
Um análogo multidimensional dessa situação pode ser en-
contrado na descrição do movimento de �uidos. Podemos pensar
num �uido num domínio (digamos) tridimensionalU ⊂ R3 (que
pode representar um recipiente, um lago, etc.) como um contí-
nuo de inúmeras partículas constituintes em movimento dentrodeU . Imaginemos, numa situação ideal, que pudéssemos “co-
lorir” uma dessas partículas na posição ®x = (x, y, z) ∈ U num
instante t0 e seguir seu movimento ao longo do tempo. Isso nos
permitiria traçar a trajetória
®x(t) = (x(t), y(t), z(t))
dessa partícula em função do tempo t e, em particular, calcular
sua velocidade
®v(t0) = ®x′(t0) = (x′(t0), y′(t0), z′(t0))
no instante t0. Se �zermos isso com todas as partículas do �uido
emU no instante t0, o resultado é uma regra que atribui a cada
®x ∈ U o vetor velocidade ®Vt0(®x) = ®v(t0) da partícula do �uido no
instante t0 que, nesse instante, passa pela posição ®x = ®x(t0). A
aplicação ®Vt0 : U → R
3 obtida dessa forma é uma “fotogra�a” Lembrar que uma aplicação
(m-dimensional) num domi-
nioU ⊂ Rn é simplesmente
uma função
®f :U → Rm ,
ou seja, uma função
a valores vetoriais (m-
dimensionais).
do movimento do �uido como um todo no instante t0 – um campo
vetorial (tridimensional) em U , que neste caso chamamos de
campo de velocidades do �uido emU no instante t0. Obviamente,
podemos fazer o mesmo em qualquer outro instante de tempo
t e obter o campo de velocidades do �uido ®Vt(®x) nesse instante,
resultando num campo vetorial tridimensional ®V : R ×U →
R3 dado por ®V (t, ®x) = ®Vt(®x). Em particular, o domínio e o
contradomínio de campos vetoriais não precisam ter a mesma
dimensão.
Agora podemos tentar descobrir qual seria o análogo para
várias variáveis dos objetos envolvidos nos dois lados da fór-
mula (I.1). No caso, consideremos apenas as variáveis espaciais
3
I. Conceitos Preliminares
®x = (x, y, z) e o campo de velocidades ®Vt(®x) em U no instante
(digamos) t. Seja um subdomínio K ⊂ U com fronteira ∂K e
interior não-vazio, que será nosso domínio de integração.
Um análogo possível para o lado esquerdo de (I.1) é o �uxo do
�uido através de K no instante t, que intuitivamente é a taxa de
variação de quantidade de �uido que atravessa ∂K nesse instante.
No caso unidimensional, vemos que um �uxo positivo através
de cada ponto de K = [a, b] signi�ca �uido saindo de K, por
isso f (b) contribui com sinal positivo e f (a), com sinal negativo.
No caso multidimensional a situação é mais complicada, pois a
quantidade de �uido que entra ou sai através de cada ponto de
∂K depende do ângulo que a velocidade do �uido faz com o vetor
normal a ∂K nesse ponto. Isso é mais um indicativo de que um
análogo razoável do Teorema Fundamental do Cálculo em várias
variáveis necessariamente envolve campos vetoriais – a informação
direcional de ®Vt é essencial na de�nição de �uxo.
Finalmente, como devemos “somar” a contribuição de cada
ponto de ∂K para o �uxo do �uido, concluímos que uma integral
sobre ∂K está envolvida na de�nição de �uxo. Quanto ao lado di-
reito de (I.1), intuitivamente devemos ter a integral de algum tipo
de “derivada” de ®Vt sobre K. A ideia que emerge é que integrar
tal “derivada” num domínio n-dimensional equivale a integrar
na fronteira desse domínio, que possui “uma dimensão a menos”.
Isso é exatamente o que ocorre no caso unidimensional. Assim,
já vislumbramos a simpli�cação calculacional que esperamos
obter com um Teorema Fundamental do Cálculo, bem como
qual seria a relação conceitual dessa “derivada” com o processo
de integração em várias variáveis.
Obviamente, o domínio K deve ser tal que faça sentido cal-
cular integrais tanto em K como em ∂K. Contudo, a noção de
derivada de campos vetoriais que entra no que seria a versão de
4
1. Motivação e objetivos
várias variáveis do Teorema Fundamental do Cálculo ainda nos
elude com as informações que temos. Para encontrar essa noção,
precisamos reconsiderar a construção de integrais múltiplas e a
própria noção de volume de um ponto de vista mais geométrico.
A motivação para tal tarefa agora é evidente: como visto acima,
um teorema desse tipo nos permite igualar o �uxo de um campo
vetorial em ∂K à integral em K de uma certa “derivada” desse
campo. No caso de um �uido, a dinâmica desse campo de ve-
locidade segue certas equações envolvendo derivadas parciais
deste, que permitem relacionar essa “derivada” a outras quantida-
des envolvidas nessa dinâmica (fontes, sorvedouros, etc.). Desta
forma, o Teorema Fundamental do Cálculo é uma ferramenta
fundamental no estudo da dinâmica de �uidos.
Algo similar ocorre no estudo do Eletromagnetismo. Aqui, a
situação é a seguinte: uma partícula de massa m e dotada de carga
elétrica movendo-se ao longo da trajetória ®x(t) é sujeita em cada
ponto ®x(t) por onde passa a uma força F(t, ®x(t)), de modo que
tal trajetória está sujeita à Segunda Lei de Newton
m®x′′(t) = F(t, ®x(t)) .
O campo de forças F(t, ®x) é um campo vetorial tridimensional que,
por sua vez, depende de dois outros campos E(t, ®x) e B(t, ®x) –
respectivamente chamados de campo elétrico e campo magnético.
Infelizmente, a imagem geométrica de E e (particularmente) B
não é tão simples quando a do campo de velocidades de um
�uido, mas as equações diferenciais que determinam sua dinâ-
mica são consideravelmente mais simples (dentro do âmbito da
Física Clássica). Novamente, podemos usar o Teorema Funda-
mental do Cálculo para relacionar a “derivada” de tais campos
com as fontes destes (cargas e correntes elétricas) por meio das
equações supracitadas.
5
I. Conceitos Preliminares
Retomaremos as aplicações físicas mencionadas acima nos
Capítulos subsequentes. Nossa tarefa principal, agora, é desen-
volver as ferramentas necessárias para a formulação do Teorema
Fundamental do Cálculo em várias variáveis.
2. Revisão de Álgebra Linear
Para podermos lidar com campos vetoriais, é necessário po-
der manipulá-los algebricamente. Para tal, precisamos coletar as
ferramentas para essa �nalidade, fornecidas pela Álgebra Linear.
2.1. Operações vetoriais de Rn , axiomas de espaço vetorial.
Lembremos que Rn pode ser entendido como o conjunto das
listas ordenadas de n números reais x1, . . . , xnUma de�nição mais precisa
de “lista ordenada de núme-
ros reais” será dada na Sub-
seção 2.2.
®x = (x1, . . . , xn)
⇒ x j = j-ésima componente de ®x ,
j = 1, . . . , n .
Por “ordenadas” entende-se que trocando duas componentes
de ®x de lugar muda a lista, a menos que tais componentes sejam
iguais. Os elementos de Rn são denominados vetores em Rn ou
vetores n-dimensionais.
Rn é munido de duas operações vetoriais:
• A soma (vetorial) de dois vetores ®x = (x1, . . . , xn), ®y =
(y1, . . . , yn), dada por
®x + ®y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
⇒ x j + y j = j-ésima componente de ®x + ®y ,
j = 1, . . . , n .
6
2. Revisão de Álgebra Linear
• Amultiplicação (pelo) escalar (α ∈ R) do vetor ®x = (x1, . . . , xn),
dada por
α ®x = (αx1, . . . , αxn)
⇒ αx j = j-ésima componente de α ®x ,
j = 1, . . . , n .
As operações vetoriais de Rn satisfazem a seguinte lista de
propriedades, chamadas axiomas de espaço vetorial (real ou sobre Em referência ao corpo de es-
calares R, que é o conjunto
dos números pelos quais po-
demos multiplicar vetores,
chamados escalares. Não
consideraremos outros cor-
pos de escalares além de R
nestas Notas.
R). No que se segue, ®x, ®y, ®z ∈ Rn são vetores quaisquer e α, β ∈
R são escalares quaisquer quando não especi�cados.
(a) ®x + ®y = ®y + ®x (comutatividade da soma);
(b) ®x + (®y + ®z) = (®x + ®y) + ®z (associatividade da soma);
(c) Existe um vetor ®0 em Rn tal que ®x + ®0 = ®x para todo vetor
®x em Rn (existência de elemento neutro para a soma). A
saber,
®0 = (0, . . . , 0) ,
i.e. todas as componentes de ®0 são iguais a zero;
(d) Dado um vetor ®x em Rn, existe um vetor −®x em Rn tal
®x + (−®x) = ®0 (existência de inverso para a soma). A saber,
−®x = (−x1, . . . , −xn) ,
i.e. a j-ésima componente de −®x é igual a −x j para todo
j = 1, . . . , n;
(e) (α β )®x = α(β ®x) (associatividade da multiplicação escalar);
(f) α(®x+ ®y) = α ®x+α®y (distributividade da multiplicação escalar
com respeito à soma vetorial);
7
I. Conceitos Preliminares
(g) (α+ β )®x = α ®x+ β ®x (distributividade damultiplicação escalar
com respeito à soma escalar);
(h) 1®x = ®x (elemento neutropara a multiplicação escalar).
2.1 Exercício. Veri�que os axiomas (a)–(h) para as operações vetoriais
de Rn .
2.2 Exercício. Veri�que que ®0 é o único elemento neutro para a soma
vetorial de Rn e que, para todo vetor ®x ∈ Rn , −®x é o único inverso de
®x para a soma vetorial de Rn .
Alternativamente, os exercícios 2.1 e 2.2 serão resolvidos
num contexto mais geral na Subseção 2.2.
2.2. (Sub)espaços vetoriais.
I.1 Definição. Um conjuntoV , � munido de operações vetoriais
de soma (vetorial) ®x+ ®y (®x, ®y ∈ V ) e multiplicação escalar α ®x (α ∈ R,
®x ∈ V ) satisfazendo os axiomas (a)–(h) enumerados na Subseção
2.1 acima é chamado de espaço vetorial (real ou sobre (o corpo de
escalares) R). Neste caso, os elementos de V são chamados de
vetores emV .
Propriedades das operações vetoriais que dependem apenasIdentidades que seguem de
um axioma especí�co den-
tre os axiomas (a)–(h) te-
rão o axioma usado indi-
cado sobre o sinal de igual-
dade quando necessário.
dos axiomas de espaço vetorial valem para todos os espaços ve-
toriais, não apenas Rn! Em particular, tais propriedades não
dependem das características especí�cas de Rn e sua operações
vetoriais. Por exemplo:
• Só existe um elemento neutro (portanto, justi�cadamente
denotado por ®0) para a soma vetorial deV . (de fato, dados
vetores ®o1, ®o2 ∈ V tais que
®x + ®o1 = ®x + ®o2 = ®x
8
2. Revisão de Álgebra Linear
para todo vetor ®x ∈ V , tomando ®x = ®o1 obtemos
®o1 + ®o2 = ®o1
e tomando ®x = ®o2 obtemos
®o2 + ®o1 = ®o2 .
Concluímos daí e do axioma (a) que ®o1 = ®o2)
• Dado ®x ∈ V , só existe um inverso de ®x para a soma vetorial
deV (portanto, justi�cadamente denotado por −®x). Em Notação: ®x + (−®y) = ®x − ®y.
particular, −(−®x) = ®x. (de fato, dado ®x ∈ V sejam vetores
®y, ®z ∈ V tais que ®x + ®y = ®x + ®z = ®0. Somando-se ®z à
primeira e última fórmulas, segue que
®z + (®x + ®y) = ®z + ®0
(c)
= ®z
e
®z + (®x + ®y)
(b)
= (®z + ®x) + ®y
(a)
= (®x + ®z) + ®y = ®0 + ®y
(c)
= ®y ,
de onde concluímos que ®y = ®z. A última identidade segue
disso e de (a))
• 0®x = ®0. (de fato,
0®x + 0®x
(g)
= (0 + 0)®x = 0®x .
Somando −0®x à primeira e última fórmulas, concluímos
que
(0®x + 0®x) − 0®x
(b)
= 0®x + (0®x − 0®x)
(d)
= 0®x + ®0
(c)
= 0®x
e 0®x − 0®x
(d)
= ®0, logo 0®x = ®0)
9
I. Conceitos Preliminares
• α®0 = ®0. (de fato,
α®0 + α®0
( f )
= α(®0 + ®0)
(c)
= α®0 .
De maneira análoga à prova da propriedade anterior, so-
mando-se −α®0 à primeira e última fórmulas, concluímos
que
(α®0 + α®0) − α®0
(b)
= α®0 + (α®0 − α®0)
(d)
= α®0 + ®0
(c)
= α®0
e α®0 − α®0
(d)
= ®0, logo α®0 = ®0)
• (−α)®x = −(α ®x) = α(−®x). Em particular, (−1)®x
(h)
= −®x. (de
fato,
(−α)®x + α ®x
(g)
= (−α + α)®x = 0®x = ®0
e
α(−®x) + α ®x
( f )
= α(®x − ®x) = α®0 = ®0 .
O resultado desejado segue da unicidade do inverso para a
soma vetorial deV provada acima)
• Se α ®x = ®0, então α = 0 ou ®x = ®0. Em particular, se
V , {®0}, 1 é o único escalar que satisfaz o axioma (h). (de
fato, vimos acima que 0®x = ®0. Se, por outro lado, α , 0,
temos que
1
α
(α ®x)
(e)
=
(α
α
)
®x = 1®x
(h)
= ®x =
1
α
®0 = ®0 ,
logo ®x = ®0. Para a última a�rmação, notar que se α ®x = ®x
para todo ®x ∈ V , então
α ®x − ®x = α ®x + (−1)®x
(g)
= (α − 1)®x = ®x − ®x
(d)
= ®0 .
Tomando ®x , ®0 qualquer resulta em α = 1)
10
2. Revisão de Álgebra Linear
2.3 Exercício. Prove a partir dos axiomas (a)–(h) e/ou de suas con-
sequências provadas acima as seguintes propriedades, válidas para
quaisquer vetores ®x, ®y ∈ V e quaisquer escalares α, β ∈ R:
• Se α ®x = α®y e α , 0, então ®x = ®y;
• Se α ®x = β ®x e ®x , ®0, então α = β ;
• −(®x + ®y) = (−®x) + (−®y) = −®x − ®y;
• ®x + ®x = 2®x. Mais em geral,
∑k
i=1 ®x = k ®x. Para a de�nição do símbolo
de somatória
∑k
i=1 ®yi , ver a
Subseção 2.3 adiante.Dentre os exemplos de espaços vetoriais, podemos citar:
(i) Obviamente, Rn. Em particular, R (n = 1) é espaço veto-
rial sobre si mesmo.
(ii) Dado A , �, sejaV o espaço das funções de A em R:
V = F (A, R) = { f : A→ R} .
De�nimos em talV as operações vetoriais pontuais (a seguir,
f , g : A→ R, p ∈ A, α ∈ R são quaisquer)
• Soma (vetorial):
( f + g)(p) = f (p) + g(p) ;
• Multiplicação escalar:
(α f )(p) = α f (p) .
A validade dos axiomas (a)–(h) para tais operações segue
imediatamente da validade dos axiomas correspondentes
no contradomínio (i.e. R). De fato, se f , g, h ∈ V , p ∈ A e
α, β ∈ R são quaisquer, então:
11
I. Conceitos Preliminares
(a) ( f + g)(p) = f (p) + g(p) = g(p) + f (p) = (g + f )(p);
(b) ( f +(g+h))(p) = f (p)+(g+h)(p) = f (p)+(g(p)+h(p)) =
( f (p)+g(p))+h(p) = ( f +g)(p)+h(p) = (( f +g)+h)(p);
(c) 0(p) ≡ 0 (i.e. 0(p) = 0 para todo p ∈ A) satisfaz
( f + 0)(p) = f (p) + 0 = f (p) para todo p ∈ A;
(d) Dado f ∈ V , (− f )(p) = − f (p) (p ∈ A) satisfaz ( f +
(− f ))(p) = f (p) − f (p) = 0 = 0(p) para todo p ∈ A;
(e) ((α β ) f )(p) = (α β ) f (p) = α(β f (p)) = α(β f )(p) =
(α(β f ))(p);
(f) (α( f +g))(p) = α( f +g)(p) = α( f (p)+g(p)) = α f (p)+
αg(p) = (α f )(p) + (αg)(p);
(g) ((α + β ) f )(p) = (α + β ) f (p) = α f (p) + β f (p) =
(α f )(p) + (β f )(p) = ((α f ) + (β f ))(p);
(h) (1 f )(p) = 1 f (p) = f (p).
Em particular, se A = {1, . . . , n}, n ∈ N entãoV = Rn e
as operações vetoriais pontuais de Rn coincidem com as
operações vetoriais usuais deRn, logo as últimas satisfazem
os axiomas (a)–(h), como apontado na Subseção 2.1 acima.
(iii) Mais em geral, se A , � eW é um espaço vetorial (real),
sejaV o espaço das funções em A a valores emW :
V = F (A,W ) = { ®f : A→W } .
De�nimos em talV as operações vetoriais pontuais (a seguir,
®f , ®g : A→ R, p ∈ A, α ∈ R são quaisquer)
• Soma (vetorial):
( ®f + ®g)(p) = ®f (p) + ®g(p) ;
12
2. Revisão de Álgebra Linear
• Multiplicação escalar:
(α ®f )(p) = α ®f (p) .
Tal como no exemplo (ii) acima, a validade dos axiomas (a)–
(h) para tais operações segue imediatamente da validade
dos axiomas correspondentes no contradomínioW . Os
cálculos são exatamente os mesmos.
Mais exemplos podem ser obtidos a partir dos dados acima a
partir da seguinte
I.2 Definição. SejaV um espaço vetorial, eW ⊂ V não-vazio.
Dizemos queW é subespaço vetorial deV se, dados ®x, ®y ∈W e
α ∈ R quaisquer, então:
(i) ®x + ®y ∈W ;
(ii) α ®x ∈W .
SeW ,V , dizemos queW é subespaço vetorial próprio deV .
Mostraremos que todo subespaço vetorial W ⊂ V é um
espaço vetorial se munido das operações vetoriais herdadas de
V (o que sempre assumiremos ser o caso). De fato, os axiomas
(a), (b) e (e)-(h) são claramente satisfeitos emW . O que nos resta
fazer para obter a validade dos axiomas (c) e (d) emW é provar,
respectivamente, que:
• ®0 ∈W . (se ®x ∈W , segue de (ii) que 0®x = ®0 ∈W )
• Se ®x ∈ W , então −®x ∈ W . (se ®x ∈ W , segue de (ii) que
(−1)®x = −®x ∈W )
13
I. Conceitos Preliminares
A vantagem de lidar com subespaços vetoriais é que veri�car
seW ⊂ V é subespaço vetorial deV é bem mais simples do que
veri�car os axiomas (a)-(h) emW . Em particular, ao veri�carmos
seW , �, é conveniente veri�car se ®0 ∈W . Se não for o caso,
sabemos com certeza queW não é subespaço vetorial, mesmo se
W não for vazio.
(Contra)exemplos de subespaços vetoriais:
• V qualquer,W = {®0}: claramente ®0 + ®0 = ®0 e vimos que
α®0 = ®0 para todo α ∈ R, logoW é subespaço vetorial de
V – o chamado subespaço vetorial trivial deV .
• V = R3,W = {(x, y, z) ∈ V | z = 0}: claramente ®0 =
(0, 0, 0) ∈W . Além disso, temos que se (x, y, 0), (x′, y′, 0) ∈
W e α ∈ R então
(x, y, 0) + (x′, y′, 0) = (x + x′, y + y′, 0) ∈W
e
α(x, y, 0) = (αx, αy, 0) ∈W .
• V = Rn,W = {®x = (x1, . . . , xn) ∈ V | ®x é solução de (I.2)},
onde (I.2) é o sistema linear homogêneo
(I.2)

A11x1 + · · · + A
1
nxn = 0
...
...
...
...
...
...
Am1 x1 + · · · + A
m
n xn = 0
.
Claramente ®0 = (0, . . . , 0) ∈ W . Além disso, se ®x =
(x1, . . . , xn), ®y = (y1, . . . , yn) pertencem aW e α ∈ R,
então
A11(x1 + y1) + · · · + A
1
n(xn + yn) = 0
...
...
...
...
...
...
Am1 (x1 + y1) + · · · + A
m
n (xn + yn) = 0
14
2. Revisão de ÁlgebraLinear
e 
A11(αx1) + · · · + A
1
n(αxn) = 0
...
...
...
...
...
...
Am1 (αx1) + · · · + A
m
n (αxn) = 0
,
logo ®x + ®y e α ®x também pertencem aW . Veremos mais
adiante que esse é um exemplo genérico: todo subespaço
vetorial de Rn é o espaço de soluções de algum sistema
linear homogêneo. Por outro lado, se o lado direito de
alguma das equações de (I.2) não fosse zero (i.e. o sistema
passasse a ser não-homogêneo), então ®0 não pertenceria a
W pois nesse caso tal equação obviamente não pode ser
satisfeita. Logo, nesse casoW não pode ser subespaço
vetorial deV .
2.3. (In)dependência linear, bases e dimensão. É conveniente
relembrarmos agora a de�nição do símbolo de somatória, aqui
devidamente estendido para vetores num espaço vetorial (real)
V . Esse símbolo é de�nido recursivamente, ou seja, por indução
no número de parcelas emV :
k∑
i=i0
®yi =

®0 (i0 > k)
®yi0 (i0 = k)∑k−1
i=i0
®yi + ®yk (i0 < k)
, ®yi0, . . . , ®yk ∈ V .
Mais em geral, se B é um conjunto �nito, denotamos seu número
de elementos por |B |. Se B ⊂ A, A , � e ®x : A→V , escrevemos
®xa = ®x(a) para cada a ∈ A. Assim, podemos escrever a somatória
dos vetores ®xa ao longo de B como
∑
a∈B
®xa =

®0 (B = � ⇒ |B | = 0)∑k
i=1 ®xai (B = {a1, . . . , ak} ⇒ |B| = k > 0)
.
15
I. Conceitos Preliminares
Como a soma vetorial é comutativa,
∑
a∈B ®xa não depende de
como enumeramos os elementos de B, portanto podemos omitir
a escolha de enumeração da notação.
2.4 Exercício. Prove por indução no número de parcelas as seguin-
tes fórmulas. No que se segue, sejam ®y, ®yi, ®zi, ®xi, j ∈ V , α, αi ∈ R
quaisquer, i = i0, . . . , k, j = j0, . . . , l .
(i)
∑k
i=i0(
®yi + ®zi) =
∑k
i=i0
®yi +
∑k
i=i0
®zi ; (Dica: use o axioma (b) ao
provar o passo de indução em k)
(ii)
∑k
i=i0 α®yi = α
∑k
i=i0
®yi ; (Dica: use o axioma (f) ao provar o
passo de indução em k)
(iii)
∑k
i=i0 αi®y =
(∑k
i=i0 αi
)
®y. (Dica: use o axioma (g) ao provar o
passo de indução em k)
(iv)
∑k
i=i0
(∑l
j= j0
®xi, j
)
=
∑l
j= j0
(∑k
i=i0
®xi, j
)
. (Dica: prove por in-
dução em k: use a de�nição da somatória externa no caso k = i0
e obtenha o passo de indução k − 1 → k usando (i) acima e a
de�nição do símbolo de somatória)
I.3 Definição. SejaV um espaço vetorial (real), ®x1, . . . , ®xk ∈ V
e α1, . . . , αk ∈ R. A combinação linear (c.l.) de ®x1, . . . , ®xk com
coe�cientes ®x1, . . . , ®xk (nessa ordem) é o vetor
®x = α1 ®x1 + · · · + αk ®xk =
k∑
i=1
αi ®xi .
Se α1 = · · · = αk = 0, dizemos que a c.l. acima é trivial. Do
contrário, i.e. αi , 0 para algum i = 1, . . . , k, dizemos que a c.l.
acima é não-trivial.
I.4Definição. SejaV um espaço vetorial (real), e ®x1, . . . , ®xk ∈ V .
Dizemos que ®x1, . . . , ®xk são linearmente dependentes (l.d.) se existe
16
2. Revisão de Álgebra Linear
uma c.l. não-trivial de ®x1, . . . , ®xk que é igual a ®0, i.e. existem
α1, . . . , αk ∈ R não todos zero tais que
k∑
i=1
αi ®xi = ®0 .
Do contrário, i.e. se
k∑
i=1
αi ®xi = ®0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0 ,
dizemos que ®x1, . . . , ®xk são linearmente independentes (l.i.).
Se S ⊂ V , dizemos que S é linearmente dependente (l.d.) se
existem ®x1, . . . , ®xk ∈ S l.d.. Do contrário, i.e. se quaisquer
®x1, . . . , ®xk ∈ S são l.i., dizemos que S é linearmente independente
(l.i.).
I.5 Observação. (i) S = � é l.i.; (não existe uma lista de ve-
tores l.d. em �)
(ii) S = {®0} é l.d.; (pois ®0 = 1®0 é uma c.l. não-trivial de ®0)
(iii) Se S = {®x} com ®x , ®0, então S é l.i.; (se α ®x = ®0, nesse
caso necessariamente α = 0)
(iv) Se S é l.i., então qualquer subconjunto S̃ de S é l.i.;
(v) Se S é l.d. e S ⊂ S̃ ⊂ V , então S̃ é l.d.. Em particular,
qualquer S 3 ®0 (e.g. subespaços vetoriais deV ) é l.d..
(vi) Se S é �nito, i.e. S = {®x1, . . . , ®xn}, então S é l.d. (resp. l.i.)
se e somente se ®x1, . . . , ®xn são l.d. (resp. l.i.). (obviamente
S l.i. ⇒ ®x1, . . . , ®xn l.i. e ®x1, . . . , ®xn l.d. ⇒ S l.d.. Con-
versamente, se ®x1, . . . , ®xn são l.i., sejam ®y1, . . . , ®yk ∈ S e
β1, . . . , βk ∈ R tais que
k∑
j=1
β j®y j = ®0 .
17
I. Conceitos Preliminares
De�na
αi =

β j (®xi = ®y j para algum j = 1, . . . , k)
0 de outra forma
, i = 1, . . . , n .
Então
k∑
j=1
β j®y j =
n∑
i=1
αi ®xi = ®0 ,
logo β1 = · · · = βk = 0 e portanto ®y1, . . . , ®yk são l.i.. Final-
mente, se S é l.d., sejam ®y1, . . . , ®yk ∈ S e β1, . . . , βk ∈ R
não todos zero tais que
k∑
j=1
β j®y j = ®0 .
De�nindo αi como acima, i = 1, . . . , n, concluímos que
α1, . . . , αn não são todos zero mas
n∑
i=1
αi ®xi =
k∑
j=1
β j®y j = ®0 ,
logo ®x1, . . . , ®xn são l.d.)
Como exemplo de conjunto l.i., sejam A , �,V = F (A, R)
e S = { fp | p ∈ A}, onde
fp(q) =

0 (q , p)
1 (q = p)
, q ∈ A .
Sejam então p1, . . . , pk ∈ A, α1, . . . , αk ∈ R tais que
∑k
i=1 αi fpi =
®0, i.e. (
k∑
i=1
αi fpi
)
(q) =
k∑
i=1
αi fpi (q) = 0 para todo q ∈ A .
18
2. Revisão de Álgebra Linear
Tomando em particular q = p j , j = 1, . . . , k, temos que
k∑
i=1
αi fpi (p j) = α j = 0 , j = 1, . . . , k ,
logo S é l.i.. Em particular, se A = {1, . . . , n} entãoV = Rn e S
é a chamada base canônica de Rn:
S = {®e1, . . . , ®en} , ®e j = (0, . . . , 0, 1
↓
j-ésima componente
, 0, . . . , 0) , j = 1, . . . , n .
Segue do argumento geral apresentado acima que a base canônica
de Rn é l.i..
I.6 Definição. SejaV espaço vetorial (real), S ⊂ V . O subespaço
vetorial gerado por S (também conhecido como varredura linear
de S) é dado por
L(S) =

{®0} (S = �){
®x =
∑k
i=1 αi ®xi
���
α1, . . . , αk ∈ R , ®x1, . . . , ®xk ∈ V
}
(S , �)
.
Usa-se também a notação alternativa L(S) = span (S), onde
“span” = “varredura” em inglês.
Mostraremos que L(S) é subespaço vetorial de V . Obvia-
mente isso é verdade se S = �, então podemos assumir que
S , �. Se ®x ∈ S, então claramente 0®x = ®0 ∈ L(S). Resta então
apenas mostrar que se ®x, ®y ∈ L(S) e α ∈ R, então ®x+®y, α ®x ∈ L(S).
De fato, nesse caso podemos escrever
®x =
l∑
i ′=1
α′i ′®yi ′ , ®y =
m∑
i ′′=1
α′′i ′′®zi ′′
com ®y1, . . . , ®yl, ®z1, . . . , vzm ∈ S, α′1, . . . , α
′
l , α
′′
1 , . . . , α
′′
m ∈ R.
Podemos, contudo, escrever ®x, ®y como c.l.’s da mesma lista de
19
I. Conceitos Preliminares
vetores de S, similarmente à prova da Observação I.5 (vi) acima.
A saber, de�na
S̃ = {®y1, . . . , ®yl} ∪ {®z1, . . . , ®zm} = {®x1, . . . , ®xk} ,
αi =

α′i ′ (®xi = ®yi ′ para algum i
′ = 1, . . . , l)
0 de outra forma
, i = 1, . . . , k ,
β i =

α′′i ′′ (®xi = ®zi ′′ para algum i
′′ = 1, . . . , m)
0 de outra forma
, i = 1, . . . , k ,
de modo que
®x =
k∑
i=1
αi ®xi , ®y =
k∑
i=1
β i ®xi .
Uma vez feito isso, segue que
®x + ®y =
k∑
i=1
αi ®xi +
k∑
i=1
β i ®xi =
k∑
i=1
(αi + β i)®xi ∈ L(S) ,
α ®x = α
k∑
i=1
αi ®xi =
k∑
i=1
(ααi)®xi ∈ L(S) ,
(I.3)
logo L(S) é subespaço vetorial deV . Na verdade, outra maneira
de de�nir L(S) é como o menor subespaço vetorial deV contendo
S. De fato, seW é um subespaço vetorial deV contendo S, então
claramenteW ⊃ L(S). Alternativamente, graças a isso podemos
também de�nir L(S) como a interseção de todos os subespaços
vetoriais deV contendo S.
Notar que a interseção de
uma coleção qualquer
{Wj | j ∈ J } de subespaços
vetoriais Wj ⊂ V , j ∈ J ,
dada por
W = ∩ j∈JWj
= {®x ∈ V | ®x ∈Wj
para todo j ∈ J } ,
é também subespaço veto-
rial deV .
(I.3) mostra que, em termos dos coe�cientes das c.l.’s de
vetores em S , �, as operações vetoriais em L(S) são exatamente
as operações vetoriais pontuais de F (S, R). Além disso, se S é l.i.,
então a representação dos vetores em L(S) em termos de c.l.’s
20
2. Revisão de Álgebra Linear
de vetores em S é única: de fato, se
®x =
k∑
j=1
αi ®xi =
k∑
i=1
β i ®xi
são duas c.l.’s diferentes para o mesmo ®x ∈ L(S) (lembrando que
sempre podemos escrever as duas c.l.’s em termos da mesma
lista de vetores, como �zemos acima), então
®x − ®x = ®0 =
k∑
i=1
β i ®xi −
k∑
i=1
αi ®xi =
k∑
i=1
(β i − αi)®xi ,
logo β i = αi para todo i = 1, . . . , k. Ou seja, se S é l.i. então
Sfornece um “sistema de coordenadas” para L(S) no sentido
de que não há duas escolhas diferentes de coe�cientes para o
mesmo vetor em L(S). Isso motiva a seguinte
I.7 Definição. SejaV espaço vetorial (real), S ⊂ V . Se S é l.i. e
L(S) =V , dizemos que S é base deV .
Obviamente, todo S ⊂ V l.i. é base de L(S). Mais em
geral, como L(S) ⊂ V para todo S ⊂ V , para ver�car se um
subconjunto l.i. S ⊂ V é base deV basta checar se todo ®x ∈ V é
c.l. de vetores em S.
Dentre (contra)exemplos de bases, podemos citar:
• V = Rn, S = {®e1, . . . , ®en} = base canônica de Rn. Já
mostramos acima que tal S é l.i., logo resta apenas mostrar
que todo ®x = (x1, . . . , xn) ∈ V é c.l. dos vetores em S. De
fato,
®x = (x1, . . . , xn) = (x1, 0, . . . , 0) + · · · + (0, . . . , 0, xn)
= x1(1, 0, . . . , 0) + · · · + xn(0, . . . , 0, 1)
=
n∑
i=1
xi®ei ∈ L(S) .
21
I. Conceitos Preliminares
• Dado A , �, sejamV = F (A, R), S = { fp | p ∈ A}, onde
fp(q) =

0 (q , p)
1 (q = p)
, q ∈ A .
Vimos acima que tal S é l.i.. Contudo,
L(S) = F0(A, R)
= { f : A→ R | existe J ⊂ A �nito
tal que f (p) = 0 se p < J } .
Primeiramente, é fácil notar que F0(A, R) é subespaço
vetorial de F (A, R). Além disso, obviamente S ⊂ F0(A, R)
pois fp(q) = 0 se q < {p} para todo p ∈ A, logo L(S) ⊂
F0(A, R). Conversamente, se f ∈ F0(A, R) seja J = {p1,
. . . , pk} ⊂ A tal que f (q) = 0 se q < J , de modo que
k∑
i=1
f (pi) fpi (q) =

0 (q < J )
f (pi) (q = pi para algum i = 1, . . . , k)
,
logo
f =
k∑
i=1
f (pi) fpi ∈ L(S) ,
como desejado. Contudo, temos F0(A, R) = F (A, R) se e
somente se A for �nito. Neste caso, sempre podemos tomar
J = A na de�nição de F0(A, R). Por outro lado, se A é
in�nito então claramente a função f (p) ≡ 1 (i.e. f (p) = 1
para todo p ∈ A) não pertence a F0(A, R). Portanto, neste
último caso S não é base deV .
O último exemplo acima mostra que se S é base de um
espaço vetorialV , entãoV expresso pelos coe�cientes das c.l.’s
22
2. Revisão de Álgebra Linear
de elementos de S pode ser identi�cado como espaço vetorial
com F0(S, R). Nesse caso, se
®x =
k∑
i=1
αi ®xi ∈ V , α1, . . . , αk ∈ R , ®x1, . . . , ®xk ∈ S ,
dizemos que αi é a componente de ®x em S ao longo de ®xi . Entende-se que as compo-
nentes ao longo de vetores
em S que não aparecem na
c.l. acima são todas iguais a
zero.
Checar se um conjunto l.i. S ⊂ V é base deV é uma tarefa
grandemente facilitada se S é �nito, graças ao seguinte resultado
crucial:
I.8 Teorema. Seja V um espaço vetorial (real) e S ⊂ V l.i. Se
S = {®x1, . . . , ®xn}, então quaisquer n+1 vetores ®y1, . . . , ®yn+1 ∈ L(S)
são l.d..
Demonstração. O resultado será provado por indução em n. No
caso n = 1, i.e. S = {®x1} (em particular, ®x1 , ®0) e L(S) =
{α1 ®x1 | α1 ∈ R}. Sejam então ®y1 = α1 ®x1, ®y2 = β1 ®x1 ∈ L(S) – se
α1 = 0 ou β1 = 0 então ®y1, ®y2 são obviamente l.d.; se, por outro
lado, α1, β1 , 0, podemos escrever
®y2 =
β1
α1
®y1 ⇒ ®y2 −
β1
α1
®y1 = ®0 ,
logo ®y1, ®y2 também são l.d. nesse caso. Assumamos agora que
o Teorema vale no caso n = k − 1 – provaremos que o mesmo
vale no caso n = k. Escrevamos
®y j =
k∑
i=1
A ji ®xi , j = 1, . . . , k + 1 .
Há duas possibilidades a considerar:
(i) A j1 = 0 para todo j = 1, . . . , k + 1: neste caso, temos que
®y j =
n∑
i=2
A ji ®xi , j = 1, . . . , k + 1
23
I. Conceitos Preliminares
e portanto ®y1, . . . ®yk+1 são c.l.’s dos k−1 vetores l.i. ®x2, . . . , ®xk.
Pela hipótese de indução, ®y1, . . . , ®yk+1 são l.d..
(ii) A11 , 0 (isso sempre pode ser obtido reordenando-se os
®y j ’s): de�na
c j =
A j1
A11
, j = 2, . . . , k + 1 ,
de modo que
c j®y1 =
k∑
i=1
c jA1i ®xi = A
j
1 ®x1 +
k∑
i=2
c jA1i ®xi
e portanto
c j®y1 − ®y j =
k∑
i=2
(c jA1i − A
j
i )®xi , j = 2, . . . , k + 1 .
Logo, os k vetores c j®y1 − ®y j , j = 2, . . . , k + 1 são c.l.’s dos
k − 1 vetores l.i. ®x2, . . . , ®xk. Pela hipótese de indução,
existem α2, . . . , αk+1 ∈ R não todos zero tais que
k+1∑
j=2
α j(c j®y1 − ®y j) =
©­«
k+1∑
j=2
α jc j
ª®¬ ®y1 −
k+1∑
j=2
α j®y j = ®0 .
A segunda expressão claramente é uma c.l. não-trivial de
®y1, . . . , ®yk+1, logo esses vetores são l.d..
�
I.9 Lema. Seja S ⊂ V l.i. e ®y < L(S). Então S ∪ {®y} também é l.i..
Demonstração. Sejam ®x1, . . . , ®xk ∈ S, e α1, . . . , αk+1 ∈ R tais
que
k∑
i=1
αi ®xi + αk+1®y = ®0 .
Há duas possibilidades:
24
2. Revisão de Álgebra Linear
(i) αk+1 = 0: então
∑k
i=1 αi ®xi = ®0 e portanto α1 = · · · = αk =
0, logo ®x1, . . . , ®xk, ®y são l.i.;
(ii) αk+1 , 0: podemos escrever
®y = −
1
αk+1
k∑
i=1
αi ®xi =
k∑
i=1
(
−
αi
αk+1
)
®xi ∈ L(S)
(absurdo).
�
I.10 Corolário. Seja V um espaço vetorial (real) e S ⊂ V l.i. Se
S = {®x1, . . . , ®xn}, então S̃ ⊂ L(S) l.i. é base de L(S) (i.e. L(S̃) =
L(S)) se e somente se S̃ tiver o mesmo número de vetores que S.
Demonstração. Considere S̃ ⊂ L(S) l.i. tal que L(S̃) = L(S). Pelo
Teorema I.8, S̃ não pode ter mais vetores do que S, pois do
contrário teríamos n + 1 vetores de S̃ em L(S) que portanto
são l.d., o que é absurdo pois S̃ é l.i.. Logo, podemos escrever
S̃ = {®y1, . . . , ®yk}, 1 ≤ k ≤ n. Pelo mesmo motivo, S não pode
ter mais vetores do que S̃ pois do contrário teríamos k+1 vetores
de S em L(S̃) que portanto são l.d., o que é absurdo pois S é l.i..
Conversamente, seja S̃ ⊂ L(S) l.i. tal que S̃ = {®y1, . . . , ®yn}, e
suponha que existe ®yn+1 ∈ L(S)rL(S̃). Pelo Lema I.9, ®y1, . . . , ®yn+1
são l.i., o que é absurdo pelo Teorema I.8. �
O Corolário I.10 nos diz que o número de vetores de uma
base �nita de V não depende de S, apenas de V . Em suma, o
número de “coordenadas lineares” deV é o mesmo para todas
as bases de V se uma delas (logo, todas) for(em) �nita(s). Isso
motiva a seguinte
I.11 Definição. SejaV espaço vetorial (real). SeV possui uma
base �nita S, dizemos queV tem dimensão �nita (notação: dim(V ) <
25
I. Conceitos Preliminares
∞). Caso contrário, dizemos queV tem dimensão in�nita (notação:
dim(V ) = ∞). A dimensão deV é o número dim(V ) ∈ N ∪ {∞}
dado por
dim(V ) =

0 V = {®0}
n = |S | S = {®x1, . . . , ®xn} base deV
∞ dim(V ) = ∞
.
Exemplos:
• dim(Rn) = n;
• Dado A , �, então
dim(F0(A, R)) =

|A| A �nito
∞ A in�nito
.
De fato, a base S = { fp | p ∈ A} de F0(A, R) tem clara-
mente o mesmo número de elementos que A.
Notar que seW é subespaço vetorial de V e dim(V ) < ∞,
então a dimensão deW não pode ser maior que a de V , pois
uma base deW não pode ter mais vetores do que uma base deV .
Isso é evidente em vista do Lema I.9 e do Corolário I.10. Esses
resultados, por sua vez, fornecem um método para a obtenção
de uma base deW . O método funciona por indução no número
de vetores.
• SeW = {®0}, não há nada a fazer, uma base deW é neces-
sariamente vazia.
• Se, por outro lado, existe ®0 , ®x1 ∈W , de�na S1 = {®x1}.
Esse conjunto é l.i..
26
2. Revisão de Álgebra Linear
• Se L(S1) = {α1 ®x1 | α1 ∈ R} =W , podemos parar e tomar
S1 como base deW . Do contrário, existe ®x2 ∈W r L(S1).
Pelo Lema I.9, S2 = S1 ∪ {®x2} = {®x1, ®x2} ⊂W é l.i..
• O passo de indução é o seguinte: seja Sk = {®x1, . . . , ®xk} ⊂
W l.i.. Se L(Sk) = W , podemos parar e tomar Sk como
base deW . Do contrário, existe ®xk+1 ∈W r L(Sk). Pelo
Lema I.9, Sk+1 = Sk ∪ {®xk+1} ⊂W é l.i..
Pelo Corolário I.10, e pela observação acima, podemos re-
petir o passo de indução no máximo n = dim(V ) vezes, então
uma base deW é de fato encontrada após um número �nito de
passos. Na próxima Subseção, usaremos informação geométrica
adicional para aprimorar nosa escolha de bases.
2.4. O produto escalar. Dados vetores ®x = (x1, . . . , xn), ®y =
(y1, . . . , yn) ∈ Rn, o produto escalar ou produto interno (canônico)
de ®x e ®y é dado por
®x · ®y = 〈®x, ®y〉 =
n∑
i=1
xiyi .
O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades, denomina-
das axiomas de produto escalar (real): se ®x, ®y, ®z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn,
α ∈ R são quaisquer, então
(a) 〈®x, ®y〉 =
∑n
i=1 xiyi =
∑n
i=1 yixi = 〈®y, ®x〉; (simetria)
(b) 〈®x, ®x〉 =
∑n
i=1 x
2
i > 0 se ®x ,
®0; (positividade de�nida)
(c2) 〈®x,®y + ®z〉 =
∑n
i=1 xi(yi + zi) =
∑n
i=1 xiyi +
∑n
i=1 xizi =
〈®x, ®y〉 + 〈®x, ®z〉, 〈®x, α®y〉 =
∑n
i=1 xi(αyi) = α
∑n
i=1 xiyi =
α〈®x, ®y〉. (linearidade na segunda variável)
Os axiomas (a) e (c2) juntos implicam
27
I. Conceitos Preliminares
(c1) 〈®x + ®y, ®z〉
(a)
= 〈®z, ®z + ®y〉
(c2)
= 〈®z, ®x〉 + 〈®z, ®y〉
(a)
= 〈®x, ®z〉 + 〈®y, ®z〉,
〈α ®x, ®y〉
(a)
= 〈®y, α ®x〉
(c2)
= α〈®y, ®x〉
(a)
= α〈®x, ®y〉. (linearidade na
primeira variável)
As propriedades (c1) e (c2) juntas são chamadas de bilineari-
dade.
Mais em geral, se V é um espaço vetorial (real) e ω : V ×
V → R é uma função de duas variáveis em V a valores em R
satisfazendo os axiomas
(a) ω(®x, ®y) = ω(®y, ®x); (simetria)
(b) ω(®x, ®x) > 0 se ®x , ®0; (positividade de�nida)
(c2) ω(®x, ®y + ®z) = ω(®x, ®y) + ω(®x, ®z), ω(®x, α®y) = αω(®x, ®y); (line-
aridade na segunda variável)
(a)+(c2)⇒ (c1) ω(®x + ®y, ®z) = ω(®x, ®z) + ω(®y, ®z); ω(α ®x, ®y) = αω(®x, ®y), (line-
aridade na primeira variável)
dizemos que ω é um produto escalar ou produto interno (real)Se ω satisfaz apenas (c1) e
(c2), dizemos que ω é uma
forma bilinear emV .
emV .
Não é difícil produzir exemplos de produtos escalares em
V se V tem dimensão �nita. Se S = {®e1, . . . , ®en} é base de V ,
dados ®x =
∑n
i=1 xi®ei, ®y =
∑n
i=1 yi®ei ∈ V podemos escrever
〈®x, ®y〉S =
n∑
i=1
xiyi .
Pelos mesmo cálculos empregados acima para o produto escalar
canônico em Rn, veri�camos que 〈®x, ®y〉S é um produto escalar
em V , denominado produto escalar associado a S. Se V = Rn e
S é a base canônica de Rn, então claramente o produto escalar
canônico é o produto escalar associado à base canônica de Rn.
28
2. Revisão de Álgebra Linear
I.12 Definição. SejaV um espaço vetorial (real), S ⊂ V e ω um
produto escalar emV . Dizemos que S é:
• Ortogonal (com respeito a ω) se ω(®x, ®y) = 0 para todo
®x, ®y ∈ S, ®x , ®y.
• Ortonormal (o.n.) (com respeito aω) se, além disso,ω(®x, ®x) =
1 para todo ®x ∈ S.
Dois vetores ®x, ®y ∈ V são ditos ortogonais ou perpendiculares (com
respeito a ω) se ω(®x, ®y) = 0 – também diz-se nesse caso que ®x
(resp. ®y) é ortogonal ou perpendicular a ®y (resp. ®x) (com repseito a
ω). Um vetor ®x ∈ V é dito ortogonal ou perpendicular a � , S ⊂ V
(com respeito a ω) se ®x é ortogonal a todo ®y ∈ S (com respeito a
ω).
Pode-se facilmente mostrar que um conjunto ortogonal S ⊂
V que não contém ®0 é l.i.. De fato, notando que
ω(®x, ®0) = ω(®x, 0®0)
(c2)
= 0ω(®x, ®0) = 0
para todo ®x ∈ V , se ®x1, . . . , ®xk ∈ S, α1, . . . , αk ∈ R são tais que
k∑
i=0
αi ®xi = ®0 ,
então
ω(®x j, ®0) = 0 =
n∑
i=1
αiω(®x j, ®xi) = α jω(®x j, ®x j) .
Como ®x j , ®0, concluímos que α j = 0 para cada j = 1, . . . , k.
Notar agora que, dada uma base (�nita) S = {®e1, . . . , ®en} de
V , temos que 〈·, ·〉S é o único produto escalar emV com respeito
Os pontos denotam as po-
sições dos dois argumentos
do produto escalar.
29
I. Conceitos Preliminares
ao qual S é o.n.. De fato, é fácil ver que
〈®ei, ®e j〉S =

0 (i , j)
1 (i = j)
.
Conversamente, se ω é um produto escalar emV tal que
ω(®ei, ®e j) =

0 (i , j)
1 (i = j)
,
®x =
∑n
i=1 xi®ei, ®y =
∑n
j=1 y j®e j ∈ V quaisquer, concluímos que
ω(®x, ®y) = ω ©­«
n∑
i=1
xi®ei,
n∑
j=1
y j®e j
ª®¬ (c1)=
n∑
i=1
xiω
©­«®ei,
n∑
j=1
y j®e j
ª®¬
(c2)
=
n∑
i=1
©­«
n∑
j=1
xiy jω(®ei, ®e j)
ª®¬ =
n∑
i=1
xiyi = 〈®x, ®y〉S .
Isso implica que, dado um produto escalar ω emV e uma base
o.n. (�nita) S ⊂ V com respeito a ω, temos que ω(®x, ®y) = 〈®x, ®y〉s
para todo ®x, ®y ∈ V .
O produto escalar pode ser entendido como uma “régua
e transferidor” num espaço vetorial – mais precisamente, ele
nos permite medir comprimentos e ângulos. De agora em diante,
passaremos a denotar um produto escalar arbitrário mas �xo
num espaço vetorial V pela mesma notação 〈®x, ®y〉 usada para
o produto escalar canônico de Rn, e neste último caso tal pro-
duto escalar será sempre entendido como o canônico para evitar
confusão (se for necessário usar outro produto escalar em Rn,
usaremos uma notação diferente para este).
• O “ comprimento” de um vetor ®x é dado pela sua norma
euclidiana
‖ ®x‖ =
√
〈®x, ®x〉 .
30
2. Revisão de Álgebra Linear
Em particular, seV = Rn,
‖ ®x‖ =
√√ n∑
i=1
x2i .
Levando em consideração a ortogonalidade da base canô-
nica, podemos pensar nessa fórmula como uma extensão
n-dimensional do teorema de Pitágoras.
• O “ângulo” θ entre dois vetores ®x, ®y , ®0 em V pode ser
obtido pela “lei dos cossenos”
〈®x, ®y〉 = ‖ ®x‖ · ‖®y‖ cos(θ) .
O que garante que a norma euclidiana satisfaz as proprieda-
des básicas de uma noção de distância e que a “lei dos cossenos”
sempre faz sentido é a seguinte desigualdade fundamental, co-
nhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados ®x, ®y ∈ V
quaisquer, temos que
(I.4) 〈®x, ®y〉2 ≤ 〈®x, ®x〉〈®y, ®y〉 ,
com igualdade se e somente se ®x, ®y são l.d., ou seja, ®x é múltiplo
escalar de ®y ou vice-versa.
Prova de (I.4). A prova usa apenas os axiomas de produto escalar
(a), (b) e (c2) (logo, (c1)). Para quaisquer ®x, ®y ∈ V , t ∈ R, temos
P(t) = 〈®x + t®y, ®x + t®y〉
(c1)
= 〈®x, ®x + t®y〉 + t〈®y, ®x + t®y〉
(c2)
= 〈®x, ®x〉 + t〈®x, ®y〉 + t〈®y, ®x〉 + t2〈®y, ®y〉
(a)
= 〈®x, ®x〉 + 2t〈®x, ®y〉 + t2〈®y, ®y〉
(b)
≥ 0 .
Se ®y = ®0, (I.4) é trivialmente satisfeita, pois nesse caso ambos
os lados de (I.4) são zero. Se ®y , ®0 (equivalentemente, por (b),
31
I. Conceitos Preliminares
〈®y, ®y〉 > 0), então P(t) é um polinômio de segundo grau em t
que satisfaz P(t) ≥ 0 para todo t ∈ R. Isso signi�ca que P(t) tem
no máximo uma raiz real. Em termos do discriminante ∆ de P(t)
P(t) = at2 + bt + c ⇒ ∆ = b2 − 4ac = 4〈®x, ®y〉2 − 4〈®y, ®y〉〈®x, ®x〉
isso é o mesmo que ∆ ≤ 0, e nesse caso
〈®x, ®y〉2 − 〈®x, ®x〉〈®y, ®y〉 ≤ 0
como desejado. Finalmente, o caso de igualdade de (I.4) é pre-
cisamente a situação na qual ®y = ®0 ou P(t) tem exatamente uma
raiz real t0 – nesse último caso,
P(t0) = 0 = 〈®x + t0®y, ®x + t0®y〉
(b)
⇒ ®x + t0®y = ®0 .
Em ambos os casos, concluímos que ®x, ®y são l.d.. �
Exploremos agora algumas das consequências da desigual-
dade de Cauchy-Schwarz (I.4). Tirando a raiz quadrada de (I.4)
dos dois lados, concluímos que
|〈®x, ®y〉| ≤ ‖ ®x‖ · ‖®y‖ .
Essa forma de (I.4) garante a validade da desigualdade triangular
para a norma euclidiana: dados ®x, ®y ∈ V quaisquer,
‖ ®x + ®y‖2 = 〈®x + ®y, ®x + ®y〉
(c1)
= 〈®x, ®x + ®y〉 + 〈®y, ®x + ®y〉
(c2)
= 〈®x, ®x〉 + 〈®x, ®y〉 + 〈®y, ®x〉 + 〈®y, ®y〉
(a)
= 〈®x, ®x〉 + 2〈®x, ®y〉 + 〈®y, ®y〉
(I.4)
≤ ‖ ®x‖2 + 2‖ ®x‖ · ‖®y‖ + ‖®y‖2 = (‖ ®x‖ + ‖®y‖)2
⇒ ‖®x + ®y‖ ≤ ‖ ®x‖ + ‖®y‖ .(I.5)
32
2. Revisão de Álgebra Linear
Essa desigualdade, juntamente com as propriedades de homoge-
neidade
(I.6) ‖α ®x‖ =
√
〈α ®x, α ®x〉
(c1)+(c2)
=
√
α2〈®x, ®x〉 = |α | · ‖ ®x‖
e não-degenerescência
(I.7) ‖ ®x‖ = 0
(b)
⇒ ®x = ®0 ,
válidas para ®x ∈ V , α ∈ R quaisquer, são análogas às proprieda-
des do valor absoluto (módulo) de números reais, e garantem que
a norma euclidiana satisfaz as condições mínimas que se espera
de uma noção de comprimento. Assim, podemos de�nir a distân-
cia (euclidiana) entre dois vetores ®x, ®y ∈ V como o comprimento
‖ ®x − ®y‖ da diferença entre ®x e ®y.
2.5 Exercício. Use as propriedades (I.5)–(I.7) da norma euclidiana
para provar a chamada desigualdade triangular reversa: dados
®x, ®y ∈ V quaisquer,
(I.8) |‖ ®x‖ − ‖®y‖| ≤ ‖ ®x − ®y‖ .
(Dica: o argumento é o mesmo usado para provar que | |x |−|y | | ≤ |x−y |
usando as propriedades correspondentes do módulo)
A desigualdade de Cauchy-Schwarz (I.4) também implica
que se ®x, ®y , ®0, então
−1 ≤
〈®x, ®y〉
‖ ®x‖ · ‖®y‖
≤ 1 .
Em outras palavras, se ®x, ®y , ®0, podemos de�nir o ângulo θ
entre ®x e ®y como
Lembrar que θ =
arccos(t) = (cos |[0, π])−1(t),
t ∈ [−1, 1] = imagem
de cos(θ), e portanto
θ ∈ [0, π].
θ = arccos
(
〈®x, ®y〉
‖ ®x‖ · ‖®y‖
)
,
33
I. Conceitos Preliminares
pois a desigualdade de Cauchy-Schwarz nesse caso implica que o
argumento de arccos na expressão acima sempre assume valores
no domínio dessa função. A escolha dessa função trigonomé-
trica inversa é consistente comas propriedades geométricas do
produto escalar:
• O caso θ = π/2 ocorre precisamente quando ®x e ®y são
ortogonais;
• Os casos θ = 0, π ocorrem precisamente no caso de igual-
dade de (I.4), ou seja, quando ®x, ®y são l.d.. Nessa situação,
concluímos que θ = 0 (resp. θ = π) quando ®y = λ ®x com
λ > 0 (resp. λ < 0).
Mais em geral, a de�nição do ângulo entre dois vetores
®0 , ®x, ®y ∈ V é consistente com a interpretação geométrica
do produto escalar: se S = {®e1, . . . , ®en} é uma base o.n. de V ,
então
®x =
n∑
i=1
xi®ei ⇒ 〈®e j, ®x〉 =
n∑
i=1
xi 〈®e j, ®ei〉 = x j
para todo j = 1, . . . , n, de modo que
®x =
n∑
i=1
〈®ei, ®x〉®ei .
Ou seja, 〈®ei, ®x〉 é a componente de ®x ao longo de ®ei em S, tal como
esperado da interpretação geométrica do cosseno. Além disso,
há uma conexão íntima entre as componentes de um vetor numa
base o.n. e a noção de distância euclidiana: dados ®x, ®y ∈ V com
‖ ®x‖ = 1, temos que 〈®x, ®y〉 ®x é o múltiplo escalar de ®x mais próximo
de ®y. Para ver isso, escrevamos
®y = ®y − 〈®x, ®y〉 ®x︸ ︷︷ ︸
=®y⊥1
+ 〈®x, ®y〉 ®x︸ ︷︷ ︸
=®y1
.
34
2. Revisão de Álgebra Linear
Notar agora que
〈®x, ®y⊥1 〉 = 〈®x, ®y − 〈®x, ®y〉 ®x〉 = 〈®x, ®y〉 − 〈®x, ®y〉〈®x, ®x〉 = 0 .
Dado ®z = α ®x, temos que
‖®y − ®z‖2 = 〈®y − ®z, ®y − vz〉
= 〈®y⊥1 + ®y1 − α ®x, ®y
⊥
1 + ®y1 − α ®x〉
= 〈®y⊥1 , ®y
⊥
1 〉 + (〈®x, ®y〉 − α)〈®y
⊥
1 , ®x〉
+ (〈®x, ®y〉 − α)〈®x, ®y⊥1 〉 + (〈®x, ®y〉 − α)
2〈®x, ®x〉
= ‖®y⊥1 ‖
2 + (〈®x, ®y〉 − α)2 .
Segue da identidade acima (que é nada mais, nada menos do que
o teorema de Pitágoras) que o menor valor possível para ‖®y − ®z‖
é atingido precisamente quando α = 〈®x, ®y〉, e é precisamente
nesse caso que ®y − ®z é ortogonal a ®x. Podemos generalizar esse
raciocínio para mais de um vetor: dado um conjunto o.n. S =
{®e1, . . . , ®ek} ⊂ V , de�namos
PS(®x) =
k∑
i=1
〈®ei, ®x〉®ei .
A aplicação PS :V →V possui as seguintes propriedades:
• PS é linear: dados ®x, ®y ∈ V , α ∈ R quaisquer, temos que Uma discussão geral de apli-
cações lineares pode ser en-
contrada na Subseção 2.5
abaixo.
PS(®x + ®y) =
k∑
i=1
〈®ei, ®x + ®y〉®ei = PS(®x) + PS(®y)
e
PS(α ®x) =
k∑
i=1
〈®ei, α ®x〉®ei = αPS(®x) .
• ®x ∈ L(S) se e somente se PS(®x) = ®x: se ®x =
∑k
i=1 xi®ei , já
vimos acima que necessariamente xi = 〈®ei, ®x〉 para todo
35
I. Conceitos Preliminares
i = 1, . . . , k. Conversamente, obviamente
∑k
i=1〈®ei, ®x〉®ei ∈
L(S), logo ®x = PS(®x) implica ®x ∈ L(S). Em particular,
PS = PS̃ se S, S̃ são conjuntos o.n. tais que L(S) = L(S̃),
ou seja, PS depende apenas do subespaço vetorial L(S) e do
produto escalar.
• 〈®x − PS(®x), PS(®y)〉 = 0 para todo ®x, ®y ∈ V : de fato,
〈®x − PS(®x), PS(®y)〉 =
〈
®x −
k∑
i=1
〈®ei, ®x〉®ei,
k∑
j=1
〈®e j, ®y〉®e j
〉
=
k∑
j=1
(
〈®e j, ®y〉〈®x, ®e j〉 − 〈®e j, ®y〉
k∑
i=1
〈®ei, ®x〉〈®ei, ®e j〉
)
=
k∑
j=1
(
〈®e j, ®y〉〈®x, ®e j〉 − 〈®e j, ®y〉〈®x, ®e j〉
)
= 0 .
Em particular, obtemos daí mais uma versão do teorema de
Pitágoras:
‖ ®x‖2 = 〈(®x − PS(®x)) + PS(®x), (®x − PS(®x)) + PS(®x)〉
= 〈®x − PW (®x), ®x − PS(®x)〉 + 〈®x − PS(®x), PS(®x)〉
+ 〈PS(®x), ®x − PS(®x)〉 + 〈PS(®x), PS(®x)〉
= ‖ ®x − PS(®x)‖2 + ‖PS(®x)‖2 ,
Em vista das propriedades acima, chamamos PS = PW de
projeção ortogonal ao longo do subespaço vetorialW = L(S). Pode-
mos também caracterizar PW em termos da distância euclidiana:
dado um vetor ®x ∈ V qualquer, PW (®x) é o vetor emW mais
próximo de ®x. De fato, se ®y(= PW (®y)) ∈W , então por um cálculo
36
2. Revisão de Álgebra Linear
similar ao feito acima,
‖ ®x − ®y‖2 = ‖ ®x − PW (®y)‖2 = 〈®x − PW (®y), ®x − PW (®y)〉
= 〈(®x − PW (®x)) + PW (®x − ®y), (®x − PW (®x)) + PW (®x − ®y)〉
= 〈®x − PW (®x), ®x − PW (®x)〉 + 〈®x − PW (®x), PW (®x − ®y)〉
+ 〈PW (®x − ®y), ®x − PW (®x)〉 + 〈PW (®x − ®y), PW (®x − ®y)〉
= ‖ ®x − PW (®x)‖2 + ‖PW (®x − ®y)‖2 ,
Portanto, o menor valor possível para ‖ ®x−®y‖ se ®y ∈W é atingido
precisamente quando PW (®x−®y) = ®0 e portanto PW (®x) = PW (®y) =
®y.
Projeções ortogonais fornecem um método para transformar
um conjunto l.i. S̃ = {®x1, . . . , ®xk} ⊂ V num conjunto o.n. S =
{®e1, . . . , ®ek} tal que se
S̃l = {®x1, . . . , ®xl} , Sl = {®e1, . . . , ®el} , l = 1, . . . , k ,
então L(S̃l) = L(Sl) para todo l = 1, . . . , k. Isso garante que as
c.l.’s dos vetores em S̃ que expressam os vetores em S são as
mais simples possíveis computacionalmente e podem ser escritas
de maneira recursiva, i.e., por indução no número de vetores
k em S̃. Tal procedimento é chamado de ortonormalização de
Gram-Schmidt.
A construção de S procede da seguinte maneira.
• De�na ®e1 = 1‖ ®x1‖ ®x1 = normalização de ®x1, e S1 = {®e1}.
Notar que ‖®e1‖ =
‖ ®x1‖
‖ ®x1‖
= 1 (logo, S1 é o.n. e portanto l.i.)
e α1 ®x1 = α1‖ ®x1‖®e1 (logo, L(S̃1) = L(S1)). Se k = 1, não há
mais nada a fazer.
• Se k > 1, façamos a seguinte hipótese de indução: supo-
nhamos que existe um conjunto o.n. Sl = {ve1, . . . , ®el},
37
I. Conceitos Preliminares
1 ≤ l < k, tal que L(Sl) = L(S̃l). De�na
®yl+1 = ®xl+1 − PSl (®xl+1)
= ®xl+1 −
k∑
i=1
〈®ei, ®xl+1〉®ei ,
®el+1 =
1
‖®yl+1‖
®yl+1 .
Segue que ‖®el+1‖ = 1 e 〈®e j, ®el+1〉 = 〈®e j, ®yl+1〉 = 0 para todo
j = 1, . . . , l, portanto Sl+1 = Sl ∪ {®el+1} = {®e1, . . . , ®el+1}
é o.n. (logo, l.i.). Obviamente ®el+1 ∈ L(S̃l+1), logo Sl+1 ⊂
L(S̃l+1). Como Sl+1 é l.i. e tem o mesmo número de veto-
res que a base S̃l+1 de L(S̃l+1), concluímos que L(Sl+1) =
L(S̃l+1), como desejado. Se l + 1 = k, acabamos, do con-
trário repetir o procedimento acima com l + 1 no lugar de
l.
Em síntese, a ortonormalização de Gram-Schmidt consiste
no seguinte algoritmo:
(i) Seja S̃ = {®x1, . . . , ®xk} um subconjunto l.i. deV .
(ii) De�na recursivamente (i.e. por indução em l = 1, . . . , k)
®e1 =
1
‖ ®x1‖
®x1 , ®el+1 =
1
‖®yl+1‖
®yl+1 ,
®yl+1 = ®xl+1 −
l∑
i=1
〈®el, ®xl+1〉®el = ®xl+1 − PSl (®xl+1) ,
onde Sl = {®e1, . . . , ®el}, S̃l = {®x1, . . . , ®xl}, l = 1, . . . , k.
(iii) O resultado, como mostramos acima, é um conjunto o.n.
S = Sk = {®e1, . . . , ®ek} tal que L(Sl) = L(S̃l) para todo
l = 1, . . . , k.
38
2. Revisão de Álgebra Linear
Podemos inclusive integrar a ortonormalização de Gram-
Schmidt à própria construção de um conjunto l.i. S̃ tal como
feito no �nal da Subseção 2.3, dado que ali obtemos S̃l+1 recur-
sivamente a partir de S̃l . Tudo que precisamos fazer é substituir
®xl+1 por ®el+1 no passo de indução, pois ®el+1 depende apenas de
Sl e ®xl+1. Isso permite uma construção direta de um conjunto
o.n. e, em particular, de bases o.n.’s de subespaços vetoriais (de
dimensão �nita) deV se este é munido de um produto escalar.
Em vista de sua importância, de agora em diante sempre
assumiremos que nossos espaços vetoriais V são munidos de
um produto escalar �xo, denotado por 〈®x, ®y〉, ®x, ®y ∈ V , e no
caso V = Rn tal produto escalar será sempre o canônico. Se
for necessário mudar o produto escalar ou se tal notação causar
confusão, passaremos a usar uma notação diferente de maneira
explícita.
2.5. Transformações lineares e 1-formas. Sejam V ,W espa-
ços vetoriais (reais). Uma aplicação T : V → W é dita uma
aplicação linear ou uma transformação linear (t.l.) deV emW se,
dados ®x, ®x′ ∈ V , α ∈ R quaisquer, temos:
(a) T (®x + ®x′) =T (®x) +T (®x′);
(b) T (α ®x) = αT (®x).
Ou seja, podemos “por para fora deT” as operações vetoriais de
V (notando que, no lado direito de (a), (b) passamos a empregar
as operações vetoriais deW ). Isso implica que podemos fazer
o mesmo para qualquer c.l. de vetores emV : por indução no
39
I. Conceitos Preliminares
número k de vetores na c.l., temos que
T ©­«
k∑
j=1
α j ®x j
ª®¬ =T ©­«
k−1∑
j=1
α j ®x j + αk ®xk
ª®¬
=T ©­«
k−1∑
j=1
α j ®x j
ª®¬ + αkT (®xk)
=
k∑
j=1
α jT (®x j)
para ®x1, . . . , ®xk ∈ V , α1, . . . , αk ∈ R quaisquer.
Se o contradomínioW deT coincide com o seu domínioV ,
dizemos apenas queT é uma t.l. emV . SeW = R, dizemos que
T é um funcional linear ou uma 1-forma emV .
De agora em diante, seT é uma t.l., empregaremos a notação
simpli�cada T (®x) = T ®x (i.e. sem os parênteses ao redor do
argumento ®x deT ) sempre que esta não causarconfusão. Como
exemplos de t.l.’s, podemos citar:
(i) T (®x) = ®0. De fato,T (®x + ®x′) = ®0 = ®0 + ®0 =T (®x) +T (®x′) e
T (α ®x) = ®0 = α®0 = αT (®x) para ®x, ®x′ ∈ V , α ∈ R quaisquer.
Essa t.l. é conhecida como a aplicação zero de V emW ,
denotada simplesmente por ®0. SeW = R, escrevemos
T = 0.
(ii) (W = V ) T (®x) = ®x. De fato, T (®x + ®x′) = ®x + vx′ =
T (®x)+T (®x′) eT (α ®x) = α ®x = αT (®x) para ®x, ®x′ ∈ V , α ∈ R
quaisquer. Essa t.l. é conhecida como a (aplicação) identi-Mais em geral, dado A , �,
podemos de�nir a (aplica-
ção) identidade 1A : A→ A
de A como 1A(p) = p, p ∈ A
qualquer. Quando não hou-
ver confusão, podemos es-
crever 1A = 1.
dadeT = 1V = 1 deV .
(iii) (W = R) Dado ®e ∈ V , seja
T ®x = 〈®e, ®x〉 .
40
2. Revisão de Álgebra Linear
Devido à linearidade do produto escalar deV na segunda
variável, claramente
T (®x + ®x′) = 〈®e, ®x + ®x′〉 = 〈®e, ®x〉 + 〈®e, ®x′〉 =T ®x +T ®x′
e
T (α ®x) = 〈®e, α ®x〉 = α〈®e, ®x〉 = αT ®x
para ®x, ®x′ ∈ V , α ∈ R quaisquer, logo T é uma 1-forma
emV . Veremos adiante que essa situação é genérica: se
dim(V ) < ∞, dada qualquer 1-formaT emV temos um
unico vetor ®eT ∈ V tal queT ®x = 〈®eT , ®x〉.
(iv) Mais em geral, se ®f1, . . . , ®fm ∈W , ®g1, . . . , ®gm ∈ V , de�na
T ®x =
m∑
i=1
〈®gi, ®x〉 ®fi .
Por um cálculo análogo ao empregado no exemplo (iii), é
fácil concluir queT é uma t.l. deV emW : dados ®x, ®x′ ∈ V ,
α ∈ R quaisquer, temos que
T (®x + ®x′) =
m∑
i=1
〈®gi, ®x + ®x′〉 ®fi
m∑
i=1
=
m∑
i=1
(〈®gi, ®x〉 + 〈®gi, ®x′〉) ®fi
= 〈®gi, ®x〉 ®fi +
m∑
i=1
〈®gi, ®x′〉 ®fi =T ®x +T ®x′
e
T (α ®x) =
m∑
i=1
〈®gi, α ®x〉 ®fi =
m∑
i=1
α〈®gi, ®x〉 ®fi = α〈®gi, ®x〉 ®fi = αT ®x .
Um exemplo desse tipo no casoW = V é a projeção or-
togonal T = PX sobre um subespaço vetorial X ⊂ V –
41
I. Conceitos Preliminares
nesse caso, S̃ = { ®fi = ®gi | i = 1, . . . , m = dim(X)} é uma
base o.n. de X . Na verdade, assim como no exemplo (iii),
veremos adiante que tal situação é genérica: se T é uma
t.l. deV emW e S̃ = { ®f1, . . . , ®fm} é uma base deW , então
existe uma única escolha de vetores ®g1, . . . , ®gm ∈ V tal que
T tem a forma acima.
(v) (W = Rn, n = dim(V )) Dada uma base S = {®e1, . . . , ®en}
deV , para cada ®x =
∑n
j=1 x j®e j de�nimos
T ®x = (x1, . . . , xn) =
n∑
i=1
xi ®fi ,
onde S̃ = { ®f1, . . . , ®fn} é a base canônica de Rn. Segue
de (I.3) (ou, alternativamente, notando queT é da forma
descrita no exemplo (iv) acima se escolhermos o produto
escalar associado a S emV , ou seja, se S for o.n.) queT é
uma t.l. deV em Rn. Esse exemplo mostra que o sistema
de coordenadas paraV obtido por uma escolha de base S
é linear justamente no sentido de ser uma t.l. deV em Rn.
Denotamos respectivamente por
L(V ,W ) = {T :V →W | T t.l.} ,
L(V ) = L(V ,V ) , V ′ = L(V , R)
o espaço das t.l.’s deV emW , o espaço das t.l.’s emV e o espaço
das 1-formas emV . V ′ é também conhecido como o (espaço) dual
deV . Notar agora que:
• L(V ,W ) é subespaço vetorial de F (V ,W ) = { ®f : V →W }
com respeito às operações vetoriais pontuais
(T1 +T2)(®x) =T1 ®x +T2 ®x , (βT1)(®x) = βT1 ®x ,
42
2. Revisão de Álgebra Linear
T1,T2 ∈ L(V ,W ), ®x ∈ V , β ∈ R quaisquer. Ou seja, a
soma pontualT1+T2 e a multiplicação escalar pontual βT1
são t.l.’s se T1,T2 o são. De fato, dados ®x, ®x′ ∈ V , α ∈ R
quaisquer, temos que
(T1 +T2)(®x + ®x′) =T1(®x + ®x′) +T2(®x + ®x′)
(a)
= (T1 ®x +T1 ®x′) + (T2 ®x +T2 ®x′)
= (T1 ®x +T2 ®x) + (T1 ®x′ +T2 ®x′)
= (T1 +T2)(®x) + (T1 +T2)(®x′) ,
(βT1)(®x + ®x′) = βT1(®x + ®x′)
(a)
= β (T1 ®x +T1 ®x′)
= βT1 ®x + βT1 ®x′
= (βT1)(®x) + (βT1)(®x′)
e
(T1 +T2)(α ®x) =T1(α ®x) +T2(α ®x)
(b)
= αT1 ®x + αT2 ®x
= α(T1 ®x +T2 ®x) = α(T1 +T2)(®x) ,
(βT1)(α ®x) = βT1(α ®x)
(b)
= βαT1 ®x
= α(βT1)(®x) .
Obviamente, o zero de L(V ,W ) é a aplicação zero deV
emW , apresentada no exemplo (i) acima.
• A composta de duas t.l.’s é também uma t.l.. Mais precisa-
mente, sejamV ,W , X epaços vetoriais (reais), eT1 :V →
W ,T2 :W → X t.l.’s. EscrevendoT2T1 = T2 ◦T1 : V →
43
I. Conceitos Preliminares
X , i.e. T2T1(®x) =T2(T1 ®x), ®x ∈ V , temos que
T2T1(®x + ®x′) =T2(T1(®x + ®x′))
(a)
= T2(T1 ®x +T1 ®x′)
(a)
= T2(T1 ®x) +T2(T1 ®x′) =T2T1 ®x +T2T1 ®x′
e
T2T1(α ®x) =T2(T1(α ®x))
(a)
= T2(αT1 ®x)
(a)
= αT2(T1 ®x) = αT2T1 ®x .
para ®x, ®x′ ∈ V , α ∈ R quaisquer. Como a composição de
aplicações é associativa e temos que
(T2 +T ′2)T1 ®x = (T2 +T
′
2)(T1 ®x) =T2T1 ®x +T
′
2T1 ®x
e
T2(T1 +T ′1)®x =T2((T1 +T
′
1)®x) =T2(T1 ®x +T
′
1 ®x)
(a)
= T2T1 ®x +T2T ′1 ®x
para T1,T ′1 ∈ L(V ,W ), T2,T
′
2 ∈ L(W , X), ®x ∈ V quais-
quer, vemos que podemos considerarT2T1 como um pro-Notar que a distributividade
com respeito ao segundo fa-
tor depende crucialmente
do fato que T2 é uma t.l.
e não vale para a composi-
ção de aplicações mais ge-
rais, ao contrário da distri-
butividade com respeito ao
primeiro fator, que depende
apenas da de�nição de soma
pontual de aplicações.
duto (associativo e distributivo), e portanto passaremos a
denominá-lo como tal. Tal produto, contudo, não é co-
mutativo: se o domínio de T1 não contiver a imagem de
T2, sequer faz sentido falar deT1T2. Mais ainda, mesmo
se V = W = X , não é necessariamente verdade que
T1T2 =T2T1.
• SejaT : V →W bijetora, de modo que existe uma única
aplicação inversaT−1 :W →V satisfazendoT−1 ◦T = 1V
eT ◦T−1 = 1W . SeV é um espaço vetorial (real), então
1V é claramente uma t.l. emV . Além disso, seT é uma
44
2. Revisão de Álgebra Linear
t.l., entãoT−1 também é: dados ®x, ®x′ ∈ V , α ∈ R quaisquer,
temos que
T−1(®x + ®x′) =T−1(T (T−1 ®x) +T (T−1 ®x′))
(a)
= T−1(T (T−1(®x) +T−1(®y)))
=T−1(®x) +T−1(®x′)
e
T−1(α ®x) =T−1(αT (T−1(®x)))
(b)
= T−1(T (αT−1(®x)))
= αT−1(®x) .
Mostraremos agora que uma t.l. T : V → W é unica-
mente determinada pelos seus valores numa base de V . Seja
S = {®e1, . . . , ®en} uma base deV ; dado
®x =
n∑
j=1
x j®e j ∈ V ,
temos que
(I.9) T ®x =T ©­«
n∑
j=1
x j®e j
ª®¬ =
n∑
j=1
x jT (®e j) .
Assim, para de�nir uma t.l. T : V →W , é su�ciente fornecer
uma lista de n vetoresT (®e1), . . . ,T (®en), que serão as respectivos
valores deT em ®e1, . . . , ®en.
Seja agora S̃ = { ®f1, . . . , ®fm} uma base deW , de modo que
(I.10) T®e j =
m∑
i=1
A ji
®fi , j = 1, . . . , .
45
I. Conceitos Preliminares
Em outras palavras, A ji ∈ R é a componente deT®e j ao longo de
®fi em S̃. Segue daí que
(I.11)
T ®x =
n∑
j=1
x j
(
m∑
i=1
A ji
®fi
)
=
n∑
j=1
(
m∑
i=1
A ji x j
®fi
)
=
m∑
i=1
©­«
n∑
j=1
A ji x j
ª®¬ ®fi .
Suponhamos que S é o.n.; de�nindo
(I.12) ®gi =
n∑
j=1
A ji ®e j , i = 1, . . . , m ,
temos que
(I.13) T ®x =
m∑
i=1
〈®gi, ®x〉 ®fi
e portanto mostramos que toda t.l. T : V → W é da forma
descrita no exemplo (iv) acima. Em particular, seW = R e
portanto m = 1, temos que
T®e j = A
j
1 ∈ R , j = 1, . . . , n
e portanto
®eT = ®g1 =
n∑
j=1
(T®e j)®e j
é o único vetor emV tal queT ®x = 〈®eT , ®x〉 para todo ®x ∈ V , tal
como a�rmado no exemplo (iii) acima. A unicidade segue do
seguinte argumento: se ®e ∈ V satisfaz T ®x = 〈®e, ®x〉 para todo
®x ∈ V , então
〈®e − ®eT , ®x〉 = 〈®e, ®x〉 − 〈®eT , ®x〉 =T ®x −T ®x = 0
para todo ®x ∈ V . Em particular, tomando ®x = ®e − ®eT concluímos
que ‖®e − ®eT ‖2 = 0, ou seja, ®e = ®eT . Esse resultado é conhecido
46
2. Revisão de Álgebra Linear
como Lema de Riesz. Obviamente,T ®x = ®0 se e somente se ®x for
ortogonal a ®eT .
Retornando ao caso geral, notemos agora que (I.11) fornece
ainda uma expressão das componentes deT ®x em S̃ em termos
das componentes de ®x em S como uma multiplicação de matrizes
(revisaremos esse conceito em breve): dado ®x =
∑n
j=1 x j®e j ∈ V ,
de�namos
®xS =

x1
...
xn

o vetor-coluna de ®x em S. A última identidade em (I.11) nos diz I.e. uma matriz com uma
única coluna.que
(T ®x)S̃ = A®xS ,
cujo lado direito denota a multiplicação matricial de ®xS pela
matriz
A = [A ji ] =

A11 · · · A
n
1
...
. . .
...
A1m · · · A
n
m
 ,
denominada a matriz deT nas bases S, S̃. Ou seja, A é uma matriz
(real) com m linhas e n colunas, e A ji é aentrada de A na i-ésima
linha e j-ésima coluna.
Em particular, seV = Rn,W = Rm e S, S̃ são as respectivas
bases canônicas, então ®xS é simplesmente a matriz de uma coluna
cuja entrada na i-ésima linha é a i-ésima componente de ®x, e a
47
I. Conceitos Preliminares
ação de qualquer t.l. T de Rn em Rm assume a forma
®x =
n∑
j=1
x j®e j = (x1, . . . , xn) = ((®xS)11, . . . , (®xS)
1
n)
⇒ T ®x =
m∑
i=1
©­«
n∑
j=1
A ji x j
ª®¬ ®fi =
(
((T ®x)S̃)
1
1, . . . , ((T ®x)S̃)
1
m
)
=
(
(A®xS)11, . . . , (A®xS)
1
m
)
.
SeW =V e S̃ = S, dizemos apenas que A é a matriz deT em S.
SeW = R e S̃ = {1} é a base canônica de R, então
A = [T®e1 · · · T®en]
é denominada nesse caso de vetor-linha deT em S, cujas entradasI.e. uma matriz com uma
só linha. são as componentes do vetor ®eT dado pelo Lema de Riesz se S
for o.n..
Notar que o conjuntoMm×n(R) das matrizes (reais) m × n, i.e.
com m linhas e n colunas, é um espaço vetorial se imbuído das
operações vetoriais de soma A + B e multiplicação escalar αA de
matrizes (A, B ∈ Mm×n(R), α ∈ R quaisquer), cujas entradas na
i-ésima linha e j-ésima coluna, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n são
dadas respectivamente por
(A + B) ji = A
j
i + B
j
i ,
(αA) ji = αA
j
i .
Ou seja, as operações vetoriais matriciais são pontuais (i.e. entrada
a entrada), tal como as operações vetoriais de Rn. Além disso,
podemos de�nir a transposta de A ∈ Mm×n(R) como a matriz AT
com “linhas e colunas de A trocadas”, i.e. com entradas
(AT ) ji = A
i
j , i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n ,
48
2. Revisão de Álgebra Linear
e o produto de B ∈ Mp×m(R) por A ∈ Mm×n(R) como a matriz
BA ∈ Mp×n(R) com entradas
(BA) jk =
m∑
i=1
BikA
j
i , i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n .
Notar que BA só faz sentido se o número de linhas de A for igual
ao número de colunas de B, e que tal produto não é comutativo.
2.6 Exercício. (a) Mostre que o produto de matrizes é associativo
e distributivo, no mesmo sentido que o produto de t.l.’s. (Dica:
mostre isso para cada entrada)
(b) Seja a matriz identidade 1 = 1n ∈ Mn×n(R) dada por
1
j
i =

0 (i , j)
1 (i = j)
.
Mostre que 1A = A, B1 = B para A ∈ Mn×p(R), B ∈
Mm×n(R) quaisquer. (Dica: mostre isso para cada entrada)
(c) Sejam as matrizes 2 × 2 A =
[
0 1
1 0
]
e B =
[
1 0
0 −1
]
.
Mostre que BA = −AB.
Observamos que cada uma das operações algébricas de ma-
trizes descritas acima expressa uma operação correspondente de
t.l.’s. Mais precisamente:
• Se S̃ é o.n., temos que A ji = 〈
®fi,T®e j〉 para todo i = 1, . . . , m,
j = 1, . . . , n. Nesse caso, se a t.l. T ∗ :W →V é dada por
T ∗ ®fi = ®gi , i = 1, . . . , m, onde ®g1, . . . , ®gm são os vetores de
V aparecendo na representação (I.13) deT acima, temos
que
(I.14) ®y =
m∑
i=1
yi ®fi ∈W ⇒ T ∗®y =
m∑
i=1
yi ®gi =
n∑
i=1
〈 ®fi, ®y〉®gi
49
I. Conceitos Preliminares
(note o paralelo com a fórmula (I.13)!) e portanto
(I.15) 〈T ∗®y, ®x〉 =
〈
m∑
i=1
yi ®gi, ®x
〉
=
m∑
i=1
yi 〈®gi, ®x〉 = 〈®y,T ®x〉
para todo ®x ∈ V , ®y ∈W . Notar que a primeira e última
expressões em (I.15) não dependem de S, S̃! Em particular,
se T̃ :W →V satisfaz 〈T̃ ®y, ®x〉 = 〈®y,T ®x〉 para todo ®x ∈ V ,
®y ∈W , então
〈T̃ ®y −T ∗®y, ®x〉 = 〈T̃ ®y, ®x〉−〈T ∗®y, ®x〉 = 〈®y,T ®x〉−〈®y,T ®x〉 = 0
para todo ®x ∈ V , ®y ∈ W . Em particular, tomando ®x =
T̃ ®y −T ∗®y, concluímos que ‖T̃ ®y −T ∗®y‖2 = 0 e portanto
T̃ ®y = T ∗®y para todo ®y ∈ W . A t.l. T ∗ deW em V é
denominada a adjunta deT , e a matriz B deT ∗ em S̃, S é
igual à transposta AT da matriz A deT em S, S̃:
Bij = (A
T )ij = A
j
i , i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n .
Em particular, vemos que a identidade ATT = (AT )T = A
expressa o fato queT ∗∗ = (T ∗)∗ =T , que por sua vez segue
da unicidade da adjunta que obtivemos a partir de (I.15)
acima no caso em que substituímosT porT ∗.
• SejamT1,T2 :V →W t.l.’s deV emW , β ∈ R quaisquer,
S = {®e1, . . . , ®en} base deV e S̃ = { ®f1, . . . , ®fm} base deW .
Se A = [A ji ] é a matriz deT1 em S, S̃ e B = [B
j
i ] é a matriz
deT2 em S, S̃, então
A + B = [A ji + B
j
i ]
e
βA = [βA ji ]
50
2. Revisão de Álgebra Linear
são respectivamente as matrizes deT1 +T2 e βT1 em S, S̃.
De fato, como A ji é a componente de T1®e j ao longo de
®fi em S̃ e B
j
i é a componente de T2®e j ao longo de
®fi em
S̃, claramente A ji + B
j
i é a componente de T1®e j +T2®e j =
(T1 + T2)®e j ao longo de ®fi em S̃ e βA
j
i é a componente
de βT1®e j = (βT1)®e j ao longo de ®fi em S̃ para cada i =
1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
• Sejam V ,W , X espaços vetoriais (reais), T1 : V → W ,
T2 :W → X t.l.’s, e
S = {®e1, . . . , ®en} ,
S̃ = { ®f1, . . . , ®fm} ,
˜̃S = {®h1, . . . , ®hp}
respectivamente bases de V ,W e X. Se A = [A ji ] ∈
Mm×n(R) é a matriz de T1 em S, S̃ e B = [Bik] ∈ Mp×m
é a matriz deT2 em S̃,
˜̃S, então C = [C jk ] = BA = produto
de B por A é a matriz deT2T1 em S,
˜̃S. De fato,como A ji é
a componente deT1®e j ao longo de ®fi em S̃, Bik é a compo-
nente deT2 ®fi ao longo de ®hk em S̃ e C
j
k é a componente de
T2T1®e j ao longo de ®hk para cada i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n,
k = 1, . . . , p, temos que
T2T1®e j =
p∑
k=1
C jk
®hk =T2
(
m∑
i=1
A ji
®fi
)
=
m∑
i=1
A jiT2
®fi =
m∑
i=1
A ji
( p∑
k=1
Bik
®hk
)
=
m∑
i=1
( p∑
k=1
A jiB
i
k
®hk
)
=
p∑
k=1
(
m∑
i=1
BikA
j
i
)
®hk , j = 1, . . . , n ,
51
I. Conceitos Preliminares
logo obtemos a fórmula desejada. No caso em que V =
Rn,W = Rm e X = Rp, a vemos que a multiplicação de
matrizes é precisamente a composição de t.l.’s.
• A matriz da identidade 1 = 1V deV em S é precisamente
a matriz identidade 1 = 1n, n = dim(V ), já que 1®e j = ®e j
para todo j = 1, . . . , n. Notar que essa matriz é a mesma
para todas as bases deV , por isso usamos a mesma notação
para a identidade e sua matriz, posto que isso não causará
confusão.
• Se uma t.l. T :U →V é invertível, vimos acima que sua
inversaT−1 :W → V é também uma t.l.. Além disso, se
S = {®e1, . . . , ®en} é base deV e S̃ = { ®f1, . . . , ®fm} é base de
W , A é a matriz deT em S, S̃ e B é a matriz deT−1 em
S̃, S, então
T−1T®e j = ®e j =
m∑
i=1
A jiT
−1 ®fi =
m∑
i=1
A ji
(
n∑
l=1
Bil ®el
)
=
n∑
l=1
(
m∑
i=1
BilA
j
i
)
®el ⇒ BA = 1
e
TT−1 ®fi = ®fi =
n∑
j=1
BijT®e j =
n∑
j=1
Bij
(
m∑
k=1
A jk
®fk
)
=
m∑
k=1
©­«
n∑
j=1
A jkB
i
j
ª®¬ ®fk ⇒ AB = 1 ,
ou seja, B é a matriz inversa A−1 de A. Notar que AB e BA
só podem ser de�nidas simultaneamente se n = m.
Veremos agora como muda a matriz de uma t.l. T :V →W
se mudarmos as bases deV e deW . Para tal, sejam
S1 = {®e1, . . . , ®en} , S2 = {®e′1, . . . , ®e
′
n}
52
2. Revisão de Álgebra Linear
bases deV , e
S̃1 = { ®f1, . . . , ®fm} , S̃2 = { ®f ′1, . . . ,
®f ′m}
bases deW . De�na as transformações lineares U : V → V ,
Ũ :W →W como
U®e j = ®e′j , Ũ
®fi = ®f ′i , i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n .
Segue queU e Ũ são invertíveis, e suas respectivas inversasU−1, Ũ−1
são obviamente dadas por
U−1®e′j = ®e j , Ũ
−1 ®f ′i =
®fi , i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n .
Escrevemos
®e′l =U®el =
n∑
j=1
C lj®e j , l = 1, . . . , n ,
®f ′k = Ũ
®fk =
m∑
i=1
Dki
®fi , k = 1, . . . , m ,
de modo que C = [C lj ] é a matriz de U em S1 e D = [D
k
i ] é a
matriz de Ũ em S̃1, denominadas respectivamente matrizes de
mudança de base de S1 para S2 e de S̃1 para S̃2. Devido à forma
particular deU e Ũ , temos que
U®e′l =
n∑
j=1
C ljU®e j =
n∑
j=1
C lj®e
′
j , l = 1, . . . , n ,
Ũ ®f ′k =
m∑
i=1
Dki Ũ
®fi =
m∑
i=1
Dki
®f ′i , k = 1, . . . , m ,
ou seja, C é também a matriz de U em S2 e D é também a
matriz de Ũ em S̃2. Obviamente, U e Ũ (e, portanto, C e D)
são invertíveis, eU−1 (resp. Ũ−1) transforma a base S2 (resp. S̃2)
53
I. Conceitos Preliminares
de volta na base S1 (resp. S̃1), de modo que C−1 (resp. D−1) é
a matriz de mudança da base S2 (resp. S̃2) para a base S1 (resp.
S̃1). Logo, pelo argumento acima, C−1 é a matriz deU−1 em S1
e S2, e D−1 é a matriz de Ũ−1 em S̃1 e S̃2.
Segue então que
®x =
n∑
j=1
x j®e j =
n∑
l=1
x′l ®e
′
l =
n∑
l=1
x′l
©­«
n∑
j=1
C lj®e j
ª®¬ =
n∑
j=1
(
n∑l=1
C ljx
′
l
)
®e j
⇒ ®xS2 = C
−1 ®xS1
para todo ®x ∈ V e, por um cálculo análogo, ®yS̃2 = D
−1®yS̃1 para
todo ®y ∈ W . Seja agora T : V →W uma t.l. cuja matriz em
S1, S̃1 é dada por A e cuja matriz em S2, S̃2 é dada por B:
T®e j =
m∑
i=1
A ji
®fi , T®e′l =
m∑
k=1
Blk
®f ′k .
Segue que
T®e′l =T
©­«
n∑
j=1
C lj®e j
ª®¬ =
n∑
j=1
C ljT®e j =
n∑
j=1
C lj
(
m∑
i=1
A ji
®fi
)
=
m∑
k=1
Blk
®f ′k =
m∑
k=1
Blk
(
m∑
i=1
Dki
®fi
)
=
m∑
i=1
(
m∑
k=1
Dki B
l
k
)
®fi =
m∑
i=1
©­«
n∑
j=1
A jiC
l
j
ª®¬ ®fi
e portanto DB = AC, logo
B = D−1AC .
Essa fórmula é particularmente conveniente no caso em que S̃1
e S̃2 são o.n., pois nesse caso
Dki = 〈
®fi, Ũ ®fk〉 = 〈 ®fi, ®f
′
k 〉 = 〈
®f ′k ,
®fi〉 = 〈 ®f ′k , Ũ
−1 ®f ′i 〉 = (D
−1)ik
54
2. Revisão de Álgebra Linear
para todo i, k = 1, . . . , m e portanto D−1 = DT , de modo que
B = DTAC. Da mesma forma, se S1 e S2 são o.n., concluímos
analogamente que C−1 = CT .
Seja T : V →W é uma t.l.. Sendo T uma aplicação deV
emW , então podemos falar de imagens e imagens inversas de
subconjuntos porT . Mais precisamente, dados S ⊂ V e S̃ ⊂W ,
denotamos a imagem de S porT por
T (S) = {®y =T ®x ∈W | ®x ∈ S}
e a imagem inversa de S̃ porT por
T−1(S̃) = {®x ∈ V | T ®x ∈ S̃} .
Se S̃ = {®y} é unitário, dizemos simplesmente que T−1({®y}) =
T−1(®y) é a imagem inversa de ®y porT .
Cabe aqui uma observação sobre a notação empregada para
imagens inversas. Note queT não precisa ser invertível! T−1(®y)
denota um subconjunto deV (que é vazio se ®y <T (V ) ou tem mais
de um elemento se T não for injetora) e pode ser identi�cado
com um vetor emV somente no caso em queT−1(®y) é unitário.
Segue dessas de�nições que
T (L(S)) =
®y =T ©­«
k∑
j=1
α j ®x j
ª®¬
���� α1, . . . , αk ∈ R , ®x1, . . . , ®x j ∈ S
=
®y =
k∑
j=1
α jT ®x j
���� α1, . . . , αk ∈ R , ®x1, . . . , ®x j ∈ S
= L(T (S))
– em particular, a imagem
Im(T ) =T (V )
55
I. Conceitos Preliminares
de T é subespaço vetorial deW – e que o núcleo (“kernel” em
inglês)
ker(T ) =T−1(®0)
de T é subespaço vetorial de V : se ®x, ®x′ ∈ ker(T ) e α ∈ R
quaisquer, então
T (®x + ®x′) =T ®x +T ®x′ = ®0 + ®0 = ®0
e
T (α ®x) = αT ®x = α®0 = ®0 ,
portanto ®x + ®x′, α ®x ∈ ker(T ).
Por de�nição,T é sobrejetora se e somente se
Im(T ) =W .
Além disso,T é injetora se e somente se
ker(T ) = {®0} .
De fato, se ker(T ) = {®0} e ®x, ®x′ ∈ V satisfazem T ®x = T ®x′,
temos que T ®x − T ®x′ = T (®x − ®x′) = ®0 e portanto ®x − ®x′ = ®0.
Conversamente, temos que seT ®x = ®0 entãoT (®x + ®x′) = T ®x +
T ®x′ = T ®x′ para todo ®x′ ∈ V . Logo, se T é injetora, nesse caso
®x = ®0. A sobrejetividade e a injetividade de uma t.l. T : V →
W podem ser expressas em termos de sua ação sobre (certos)
subconjuntos l.i. S ⊂ V :
• T é sobrejetora se e somente se, dada uma base S qualquer
de V , temos que L(T (S)) = Im (T ) = W . (a primeira
identidade segue do cálculo acima, e a segunda identidade
é a de�nição da sobrejetividade deT )
56
2. Revisão de Álgebra Linear
• T é injetora se e somente se, dado um subconjunto l.i.
S ⊂ V qualquer, temos que T (S) também é l.i.. (supo-
nha que T (S) é l.i. para todo S ⊂ V l.i., então T ®x , ®0
se ®x , ®0 e portantoT é injetora. Conversamente, seT é
injetora e ®x1, . . . , ®xk são l.i., sejam α1, . . . , αk ∈ R tais que∑k
j=1 αkT (®xk) = ®0 = T
(∑k
j=1 α j ®x j
)
. Então
∑k
j=1 α j ®x j = ®0
e portanto α1 = · · · = αk = 0, logo T (®x1), . . . ,T (®xk) são
l.i.)
Em particular,T é bijetora se e somente seT (S) é base deW
para toda base S deV . Em outras palavras, o exemplo típico de
t.l.’s bijetoras ocorre ao efetuarmos uma mudança de base. SeV
tem dimensão �nita, ambos os fatos acima são casos particulares
de um resultado geral, conhecido como Teorema do Núcleo e da
Imagem. Dados espaços vetoriais (reais)V ,W eT ∈ L(V ,W ), o
posto (“rank” em inglês) deT é dado por
R(T ) = dim(Im(T )) ,
e a nulidade deT por
N (T ) = dim(ker(T )) .
Obviamente R(T ), N (T ) ≤ dim(V ) pois L(T (S)) = Im(T ) se S
é base deV e ker(T ) é subespaço vetorial deV .
I.13 Teorema (do Núcleo e da Imagem). SejamV ,W espaços veto-
riais (reais), n = dim(V ) < ∞, eT ∈ L(V ,W ). Então
N (T ) + R(T ) = dim(V ) = n .
Demonstração. De�namos k = N (T ), l = R(T ). Sejam S0 =
{®e1, . . . , ®ek} uma base de ker(T ) e S̃1 = { ®f1, . . . , ®fl} uma base
de Im (T ), de modo que ®fi = T®ek+i para algum ®ek+i ∈ V , i =
57
I. Conceitos Preliminares
1, . . . , l. Obviamente ®ek+i < ker(T ) para todo i = 1, . . . , l;
mostraremos agora que de�nindo S1 = {®ek+1, . . . , ®ek+l}, temos
que S = S0 ∪ S1 = {®e1, . . . , ®ek+l} é base de V . Primeiramente,
notar que S é l.i.: dados α1, . . . , αk+l ∈ R tais que
∑k+l
j=1 α j®e j = ®0,
temos que
T ©­«
k+l∑
j=1
α j®e j
ª®¬ = ®0 =
k+l∑
j=1
α jT®e j =
l∑
i=1
αk+i ®fi
e portanto αk+1 = · · · = αk+l = 0 pois S̃1 é l.i.. Logo,
∑k
j=1 α j®e j =
®0 e portanto α1 = · · · = αk = 0 pois S0 é l.i.. Falta apenas
concluir que L(S) =V – para tal, notar que dado ®x ∈ V , podemos
escrever
T ®x =
l∑
i=1
xk+i ®fi =
l∑
i=1
xk+iT®ek+i =T
(
l∑
i=1
xk+i®ek+i
)
para uma (única) escolha de xk+1, . . . , xk+l ∈ R. De�na
®x1 =
l∑
i=1
xk+i®ek+i , ®x0 = ®x − ®x1 .
Segue queT ®x1 =T ®x e portanto ®x0 ∈ ker(T ), pois
T ®x1 =
l∑
i=1
xk+i ®fi =T ®x , T ®x0 =T (®x − ®x1) =T ®x −T ®x = ®0 ,
logo podemos escrever ®x0 =
∑k
j=1 x j®e j para uma (única) escolha
de x1, . . . , xk ∈ R e portanto ®x =
∑k+l
j=1 x j®e j , como desejado. �
OTeorema do Núcleo e da Imagem possui várias consequên-
cias. No que se segue, V ,W são espaços vetoriais (reais) com
dim(V ) < ∞.
58
2. Revisão de Álgebra Linear
(i) T ∈ L(V ,W ) é sobrejetora se e somente seN (T ) = dim(V )−
dim(W ). Em particular, se dim(W ) > dim(V ), então T
não pode ser sobrejetora.
(ii) T ∈ L(V ,W ) é injetora se e somente se R(T ) = dim(V ).
(iii) T ∈ L(V ,W ) é bijetora se e somente se R(T ) = dim(V ) =
dim(W ).
(iv) Se T ∈ V ′, então N (T ) = dim(V ) − 1 ou dim(V ), e o
último caso ocorre se e somente seT = 0.
O fato (iv) acima fornece uma maneira alternativa de obter o
Lema de Riesz:
I.14 Lema (de Riesz). SejaV um espaço vetorial (real), dim(V ) < ∞.
DadoT ∈ V ′, existe um único vetor ®xT ∈ V tal queT ®x = 〈®xT , ®x〉
para todo ®x ∈ V – a saber,
®xT =

®0 (T = 0)
T®zT
‖®zT ‖2
®zT (T , 0)
,
onde 0 , ®zT é um vetor ortogonal a ker(T ). Notar que, pelo Teorema
do Núcleo e da Imagem, ®zT
é único a menos de ummúl-
tiplo escalar.
Demonstração. Comecemos com a questão da unicidade. Se ®z, ®z′ ∈
V são tais que 〈®z, ®x〉 = 〈®z′, ®x〉 =T ®x para todo ®x ∈ V , então
〈®z − ®z′, ®x〉 = 〈®z, ®x〉 − 〈®z′, ®z〉 =T®z −T®z = ®0
para todo ®x ∈ V . Em particular, tomando ®x = ®z − ®z′ obtemos
‖®z − ®z′‖2 = 0 e portanto ®z = ®z′. Passando agora à questão da
existência, seT = 0, obviamente não há outra escolha para ®xT a
não ser ®xT = ®0. SeT , 0, seja ®z ∈ T tal queT®z , ®0. Podemos
então construir uma base o.n. S0 = {®e1, . . . , ®en−1} de ker(T ) e
59
I. Conceitos Preliminares
portanto a projeção ortogonal Pker(T ) sobre ker(T ). De maneira
similar à adotada na ortonormalização de Gram-Schmidt, de�na
®zT = ®z − Pker(T )®z , ®en =
1
‖®zT ‖
®zT ,
de modo que S = {®e1, . . . , ®en} é base o.n. deV . Mostraremos
agora que se ®xT tem as propriedades listadas no enunciado do
Lema de Riesz, então
®xT = (T®en)®en =
T®zT
‖®zT ‖2
®zT .
De fato, dado ®x ∈ V qualquer, podemos escrever
®x = Pker(T ) ®x + (®x − Pker(T ) ®x) , ®x − Pker(T ) ®x = 〈®en, ®x〉®en
e portanto
T ®x =TPker(T ) ®x + 〈®en, ®x〉T®en = 〈(T®en)®en, ®x〉 ,
como desejado. �
Notar que ®xT1+T2 = ®xT1 + ®xT2 e ®xαT1 = α ®xT1 paraT1,T2 ∈ V
′,
α ∈ R quaisquer. Vamos agora estabelecer a relação da fórmula
obtida no Lema I.14 com a fórmula que já tínhamos obtido
anteriormente: seT ∈ V ′ e S = {®e1, . . . , ®en} é uma base o.n. de
V , então
V 3 ®x =
n∑
j=1
x j®e j ⇒ T ®x =
n∑
j=1
x jT®e j = 〈®xT , ®x〉
⇒ ®xT =
n∑
j=1
(T®e j)®e j .
Em particular, ®xT é ortogonal a ker(T ) e
T ®xT =
n∑
j=1
(T®e j)2 = ‖ ®xT ‖2 ,
60
3. Formasde volume e Álgebra Exterior
logoT ®xT = ®0 se e somente seT = 0.
Aproveitamos o momento para introduzir uma notação al-
ternativa para ®xT , que será a notação padrão daqui em diante.
Dados ®x ∈ V ,T ∈ V ′, de�nimos ®x[ ∈ V ′,T ] ∈ V como
®x[(®x′) = 〈®x, ®x′〉 (®x′ ∈ V ) , T ] = ®xT .
Fica claro que (®x[)] = ®x e (T ])[ = T para ®x ∈ V , T ∈ V ′
quaisquer. Além disso, as aplicações V 3 ®x 7→ ®x[ ∈ V ′, V ′ 3
T 7→T ] ∈ V são t.l.’s (exercício: veri�que!), portanto denotar-las-
emos por isomor�smos musicais.
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
Na Subseção 2.4 vimos como a noção de produto escalar
nos dá uma “régua e transferidor” para medir comprimentos e
ângulos num espaço vetorialV . Passaremos agora a abordar a
questão de como medir volumes emV em várias dimensões.
3.1. Motivação: áreas de paralelogramos. Comecemos nossa
discussão no caso de �guras bidimensionais. SejaV um espaço
vetorial (real), e ®0 , ®x1, ®x2 ∈ V . O paralelogramo gerado por
®x1, ®x2 é o subconjuntoQ(®x1, ®x2) deV dado por
Q(®x1, ®x2) = {®x = α1 ®x1 + α2 ®x2 | 0 ≤ α1, α2 ≤ 1} .
Ou seja,Q(®x1, ®x2) é o paralelogramo com dois lados adjacentes
dados pelo segmento de reta entre ®0 e ®x1 e pelo segmento de
reta entre ®0 e ®x2. Obviamente, se ®x1, ®x2 são l.d.,Q(®x1, ®x2) dege-
nera num segmento de reta cujos extremos podem ser ®x1, ®x2 ou
®0. De qualquer forma, a área |Q(®x1, ®x2)| de Q(®x1, ®x2) pode ser
calculada pela fórmula obtida “recortando” o triângulo retângulo
cuja hipotenusa é dada por (digamos) ®x2 e “encaixando-o” de
61
I. Conceitos Preliminares
modo a formar um retângulo com base ‖ ®x1‖ e altura ‖ ®x2‖sen(θ)
com a mesma área que Q(®x1, ®x2), onde θ ∈ [0, π] é o ângulo
entre ®x1 e ®x2 (lembrar que nesse caso sen(θ) ≥ 0). Ou seja,
|Q(®x1, ®x2)| = ‖ ®x1‖ · ‖ ®x2‖sen(θ) .
Essa fórmula tem um signi�cado geométrico direto, mas é pouco
conveniente para cálculos. Isso pode ser reti�cado relembrando-
se a de�nição de θ em termos do produto escalar:
cos(θ) =
〈®x1, ®x2〉
‖ ®x1‖ · ‖ ®x2‖
.
Segue que
|Q(®x1, ®x2)|2 = ‖ ®x1‖2‖ ®x2‖2sen2(θ) = ‖ ®x1‖2‖ ®x2‖2(1 − cos2(θ))
= ‖ ®x1‖2‖ ®x2‖2 − 〈®x1, ®x2〉2 .
(I.16)
A fórmula (I.16) é conhecida como identidade de Lagrange. Note
que ela permanece válida se ®x1, ®x2 são l.d. (em particular, se
®x1 = ®0 ou ®x2 = ®0), pois o caso de igualdade na desigualdade
de Cauchy-Schwarz garante que nesse (e somente nesse) caso
|Q(®x1, ®x2)| = 0.
A identidade de Lagrange (I.16) pode ser reescrita lembrando-
se ainda a de�nição da norma euclidiana em termos do produto
escalar:
‖ ®x‖2 = 〈®x, ®x〉 .
Segue que
|Q(®x1, ®x2)|2 = ‖ ®x1‖2‖ ®x2‖2 − 〈®x1, ®x2〉2
= 〈®x1 ®x1〉〈®x2, ®x2〉 − 〈®x1, ®x2〉2
= det(Gr(®x1, ®x2)) ,
(I.17)
62
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
onde Gr(®x1, ®x2) é a chamada matriz de Gram de ®x1, ®x2:
Gr(®x1, ®x2) =
[
〈®x1, ®x1〉 〈®x1, ®x2〉
〈®x2, ®x1〉 〈®x2, ®x2〉
]
.
Aqui vemos pela primeira vez a expressão da área deQ(®x1, ®x2)
como o determinante de uma matriz. Essa expressão, como ve-
remos mais adiante, se estende a dimensões mais altas. Por ora,
vamos reescrever o lado direito de (I.16) em termos de uma base
o.n. S = {®e1, ®e2} de um subespaço vetorialW = L(S) contendo
®x1, ®x2, de modo que ®x j = 〈®e1, ®x j〉®e1 + 〈®e2, ®x j〉®e2, j = 1, 2. Como
nesse caso
‖ ®x j ‖2 = 〈®e1, ®x j〉2 + 〈®e2, ®x j〉2 ( j = 1, 2) ,
〈®x1, ®x2〉 = 〈®e1, ®x1〉〈®e1, ®x2〉 + 〈®e2, ®x1〉〈®e2, ®x2〉 ,
vemos que
|Q(®x1, ®x2)|2 = ‖ ®x1‖2‖ ®x2‖2 − 〈®x1, ®x2〉2
= (〈®e1, ®x1〉2 + 〈®e2, ®x1〉2)(〈®e1, ®x2〉2 + 〈®e2, ®x2〉2)
− (〈®e1, ®x1〉〈®e1, ®x2〉 + 〈®e2, ®x1〉〈®e2, ®x2〉)2
=((((
((((
(
〈®e1, ®x1〉2〈®e1, ®x2〉2 + 〈®e1, ®x1〉2〈®e2, ®x2〉2
+ 〈®e2, ®x1〉2〈®e1, ®x2〉2 +
hhhhhhhhh〈®e2, ®x1〉
2〈®e2, ®x2〉2
−((((
((((
(
〈®e1, ®x1〉2〈®e1, ®x2〉2 −
hhhhhhhhh〈®e2, ®x1〉
2〈®e2, ®x2〉2
− 2〈®e1, ®x1〉〈®e1, ®x2〉〈®e2, ®x1〉〈®e2, ®x2〉
= 〈®e1, ®x1〉2〈®e2, ®x2〉2 + 〈®e2, ®x1〉2〈®e1, ®x2〉2
− 2〈®e1, ®x1〉〈®e1, ®x2〉〈®e2, ®x1〉〈®e2, ®x2〉
= (〈®e1, ®x1〉〈®e2, ®x2〉 − 〈®e1, ®x2〉〈®e2, ®x1〉)2 ,
ou seja,
(I.18) |Q(®x1, ®x2)|2 = det(Ω(®x1, ®x2))2 ,
63
I. Conceitos Preliminares
onde
(I.19) Ω(®x1, ®x2) =
[
〈®e1, ®x1〉 〈®e1, ®x2〉
〈®e2, ®x1〉 〈®e2, ®x2〉
]
.
A versão (I.18)-(I.19) da identidade de Lagrange (I.16) é ex-
tremamente importante, por vários motivos. Para vermos o
porquê, primeiramente sumarizemos os nossos cálculos acima
de�nindo
ω(®x1, ®x2) = det(Ω(®x1, ®x2)) = det
[
〈®e1, ®x1〉 〈®e1, ®x2〉
〈®e2, ®x1〉 〈®e2, ®x2〉
]
= 〈®e1, ®x1〉〈®e2, ®x2〉 − 〈®e1, ®x2〉〈®e2, ®x1〉 ,
(I.20)
de modo que
|Q(®x1, ®x2)| = |ω(®x1, ®x2)| .
Ou seja, ω(®x1, ®x2) é, a menos de um sinal, igual à área do parale-
logramoQ(®x1, ®x2) gerado por ®x1, ®x2, o que nos leva a perguntar
qual o signi�cado desse sinal. Para responder a essa pergunta,
examinemos as propriedades de ω(®x1, ®x2):
(i) A fórmula (I.20) na verdade de�ne ω(®x1, ®x2) para todo
®x1, ®x2 emV , não apenas emW ! Nesse caso mais geral, ob-
servamos que
ω(®x1, ®x2) = ω(PW ®x1, PW ®x2) ,
onde
PW ®x = 〈®e1, ®x〉®e1 + 〈®e2, ®x〉®e2
é a projeção ortogonal de ®x ∈ V sobreW . Logo, |ω(®x1, ®x2)|
é área do paralelogramoQ(PW ®x1, PW ®x2) gerado por PW ®x1,
PW ®x2. Como PW é uma t.l., segue da de�nição deQ(PW ®x1,
64
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
PW ®x2) que
Q(PW ®x1, PW ®x2) = {®x = α1PW ®x1 + α2PW ®x2 | 0 ≤ α1, α2 ≤ 1}
= {®x = PW (α1 ®x1 + α2 ®x2) | 0 ≤ α1, α2 ≤ 1}
= PWQ(®x1, ®x2) ,
ou seja, |ω(®x1, ®x2)| é a área da projeção ortogonal PWQ(®x1, ®x2)
deQ(®x1, ®x2) sobreW .
Note a similaridade com a interpretação geométrica do
produto escalar com um vetor unitário ®e ∈ V como a
componente ao longo de ®e!
(ii) Vimos em (i) que ω : V 2 → R. Segue de (I.20) e da
linearidade do produto escalar na segunda variável que, tal
como o produto escalar, ω é bilinear: dados ®x1, ®x′1, ®x2, ®x
′
2 ∈
V , α ∈ R quaisquer, temos que
ω(®x1 + ®x′1, ®x2) = ω(®x1, ®x2) + ω(®x
′
1, ®x2) ,
ω(α ®x1, ®x2) = αω(®x1, ®x2) ;
ω(®x1, ®x2 + ®x′2) = ω(®x1, ®x2) + ω(®x1, ®x
′
2) ,
ω(®x1, α ®x2) = αω(®x1, ®x2) .
(exercício: veri�que!)
65
I. Conceitos Preliminares
(iii) No entanto, ao contrário do produto escalar, ω é anti-
simétrica:
ω(®x2, ®x1) = 〈®e1, ®x2〉〈®e2, ®x1〉 − 〈®e1, ®x1〉〈®e2, ®x2〉
= −(〈®e1, ®x1〉〈®e2, ®x2〉 − 〈®e1, ®x2〉〈®e2, ®x1〉)
= −ω(®x1, ®x2) .
(iv) Dada uma outra base o.n. S̃ = {®e′1, ®e
′
2} deW = L(S), se
de�nirmos
ω′(®x1, ®x2) = 〈®e′1, ®x1〉〈®e
′
2, ®x2〉 − 〈®e
′
1, ®x2〉〈®e
′
2, ®x1〉
(i.e. trocando ®e1 por ®e′1 e ®e2 por ®e
′
2), temos que
|PWQ(®x1, ®x2)| = |ω(®x1, ®x2)| = |ω′(®x1, ®x2)|
para todo ®x1, ®x2 ∈ V . Ou seja, trocar S por qualquer
outra base o.n. deW não muda o valor absoluto de ω
(lembrar que PW não depende da escolha de base o.n. de
W ). Contudo, o mesmo não pode ser dito do sinal de ω:
se de�nirmos e.g. ®e′1 = ®e2, ®e
′
2 = ®e1, temos que ω
′(®x1, ®x2) =
−ω(®x1, ®x2). Em suma, trocar a ordem dos vetores de S na
de�nição de ω troca o sinal de ω.
Devido à propriedade (i), dizemos que ω é uma forma de vo-
lume (bidimensional) sobreW . Em analogia com o produto escalar,
(i)-(iv) sugerem que o sinal de ω está relacionado com o sentido
no qual ω “varre” áreas: se ω(®x1, ®x2) > 0, estamos “varrendo” a
área de Q(®x1, ®x2) com sinal positivo; se ω(®x1, ®x2) < 0, estamos
“varrendo” a área de Q(®x1, ®x2) com sinal negativo. Tais sinais
podem ser trocados não só trocando o sinal de ®x1 ou ®x2 (por
(ii)), mas também (por (iii)) trocando a ordem de ®x1 e ®x2 em ω.
Tal convenção de sinal está codi�cada não apenas na escolha de
66
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
S, mas também na ordem em que os vetores de S aparecem na
de�nição de ω (por (iv)). Portanto, chamamos a escolha dessa
ordem de orientação de ω.
I.15 Observação. Já encontramos antes a questão da convenção
de sinal de “varredura” de áreas ao discutirmos integrais de fun-
ções de uma variável. Lembrar que, se F : [a, b] → R é uma
função (digamos) contínua, a < b ∈ R, então∫ b
a
f (t)dt
é a área “com sinal” da região entre o grá�co de f e o eixo
horizontal, no sentido que tal área é positiva nas partes de [a, b]
onde f > 0 e negativa nas partes de [a, b] onde f < 0. Ou seja, a
área é “varrida” nosentido positivo de baixo para cima. Além
disso, ao trocar a e b na integral de f também trocamos de sinal
na integral: ∫ a
b
f (t)dt = −
∫ b
a
f (t)dt ,
o que implica que a área é “varrida” no sentido positivo da es-
querda para a direita.
3.2. p-formas, determinantes e p-vetores. Mostraremos agora
como estender o raciocínio da Subseção 3.1 para dimensões
maiores que dois. Para tal, vamos abstrair as propriedades al-
gébricas (ii) e (iii) das formas de volume sobre um subespaço
bidimensional. Veremos que o conceito de determinante emerge
naturalmente disso.
I.16 Definição. Seja V um espaço vetorial (real), e p ∈ N0 =
N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}. Uma p-forma em V é uma aplicação
ω : V p → R (com a convenção V 0 = {®0}) satisfazendo as
Observamos queV 0 = {®0}
não é a convenção usual
para a 0-ésima potência
cartesiana de um conjunto,
dado que
V p = {®x : {1, . . . , p} →V } .
Por essa de�nição, devería-
mos terV 0 = � pois
{1, . . . , p}
= { j ∈ N | 1 ≤ j ≤ p} = �
se p = 0. Contudo, é
conveniente adotarmos essa
mudança e faremos isso ao
longo de todo o texto.
seguintes propriedades:
67
I. Conceitos Preliminares
(a) Se p = 0, podemos identi�car ω com ω(®0). Ou seja, uma
0-forma é um escalar.
(b) Se p > 0, ω é p-linear: dados ®x j, ®x′j ∈ V , α ∈ R quaisquer,
j = 1, . . . , p, temos que
ω(®x1, . . . , ®x j + ®x′j, . . . , ®xp) = ω(®x1, . . . , ®x j, . . . , ®xp)
+ ω(®x1, . . . , ®x′j, . . . , ®xp) ,
ω(®x1, . . . , α ®x j, . . . , ®xp) = αω(®x1, . . . , ®x j, . . . , ®xp) .
Ou seja, ω é linear na j-ésima variável (se mantivermos as
outras variáveis �xas) para cada j = 1, . . . , p.
(c) Se p > 1, então ω é anti-simétrica: dados ®x j ∈ V quaisquer,
j = 1, . . . , p, temos que
ω(®x1, . . . , ®x j
↓
i
, . . . , ®xi
↓
j
, . . . , ®xp)
= −ω(®x1, . . . , ®xi
↓
i
, . . . , ®x j
↓
j
, . . . , ®xp)
para todo 1 ≤ i < j ≤ p. Ou seja, trocar duas variáveis de
ω troca o seu sinal.
Notar que a De�nição I.16 recupera para p = 1 a mesma
de�nição de 1-formas que demos anteriormente, i.e. 1-formas
emV são funcionais lineares emV . Para p = 2, as propriedades
(b) e (c) se reduzem respectivamente às propriedades (ii) e (iii) de
formas de volume sobre subespaços bidimensionais. O estudo de
p-formas e suas operações algébricas é conhecido como Álgebra
Exterior.
Existe uma maneira equivalente de de�nir p-formas para
p > 1:
68
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
I.17 Lema. Seja ω : V p → R uma aplicação p-linear, N 3 p > 1.
Então as seguintes a�rmações são equivalentes:
(i) ω é uma p-forma, i.e. p é anti-simétrica;
(ii) ω é alternante: dados ®x j ∈ V quaisquer, j = 1, . . . , p, temos
que
ω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®x j, . . . , ®xp) = 0
se ®xi = ®x j para algum i < j. Ou seja, igualar duas variáveis
anula ω.
(iii) ω(®x1, . . . , ®xp) = 0 se ®x1, . . . , ®xp ∈ V são l.d..
Demonstração. Provaremos que (i)⇔(ii) e (ii)⇔(iii).
• (i)⇔(ii): Suponha que ω é anti-simétrica, i.e. ω satisfaz (c).
Se ®xi = ®x j para algum i < j, obviamente
ω(®x1, . . . , ®x j, . . . , ®xi, . . . , ®xp)
= ω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®x j, . . . , ®xp)
(c)
= −ω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®x j, . . . , ®xp) = 0 .
Conversamente, suponha que ω é alternante. Dados ®x j ∈
V quaisquer, j = 1, . . . , p, temos por p-linearidade de ω
que
0 = ω(®x1, . . . , ®xi + ®x j, . . . , ®xi + ®x j, . . . , ®xp)
(b)
= ω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®xi + ®x j, . . . , ®xp)
+ ω(®x1, . . . , ®x j, . . . , ®xi + ®x j, . . . , ®xp)
(b)
=
((((
((((
(((
((((
ω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®xi, . . . , ®xp) =0
+ ω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®x j, . . . , ®xp)
+ ω(®x1, . . . , ®x j, . . . , ®xi, . . . , ®xp)
+
(((
((((
(((
((((
(
ω(®x1, . . . , ®x j, . . . , ®x j, . . . , ®xp) =0 ,
69
I. Conceitos Preliminares
logo ω é anti-simétrica.
• (ii)⇔(iii): lembrar que ®x1, . . . , ®xp serem l.d. é o mesmo
que dizer que ®x j é c.l. dos ®xi ’s com i , j para algum
j = 1, . . . , p, i.e.
®x j =
p∑
i=1,i, j
αi ®xi
=
j−1∑
i=1
αi ®xi +
p∑
i= j+1
αi ®xi
para alguma escolha de αi ∈ R, i = 1, . . . , p, i , j (por
quê?). Suponha então queω satisfaz (iii). Se ®x1, . . . , ®xp ∈ V
são tais que ®xi = ®x j para algum i < j, então ®x1, . . . , ®xp
são claramente l.d., logo (iii) implica que ω é alternante.
Conversamente, suponha que ω é alternante, e seja ®x j ∈ V
uma c.l. de ®xi ∈ V , i = 1, . . . , p, i , j tal como acima.
Temos por p-linearidade de ω que
ω(®x1, . . . , ®x j, . . . , ®xp)
(b)
=
j−1∑
i=1
αiω(®x1, . . . , ®xi
↓
i
, . . . , ®xi
↓
j
, . . . , ®xp)
+
p∑
i= j+1
αiω(®x1, . . . , ®xi
↓
j
, . . . , ®xi
↓
i
, . . . , ®xp) .
A alternância de ω implica, por sua vez, que todos os ter-
mos das duas somatórias acima são zero, portanto ω satis-
faz (iii).
�
Dada uma p-forma ω em V , p > 0, p-linearidade implica
que ω é totalmente determinada por seus valores em Sp, onde
70
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
S é uma base de V . Em particular, se dim(V ) = n < ∞ e
S = {®e1, . . . , ®en}, é uma base o.n. deV , aplicando linearidade
em cada uma das p variáveis de ω sucessivamente resulta em
®x j =
n∑
i j=1
〈®ei j , ®x j〉®ei j , j = 1, . . . , p
⇒ ω(®x1, . . . , ®xp) = ω
©­«
n∑
i1=1
〈®ei1, ®x1〉®ei1, . . . ,
n∑
ip=1
〈®eip , ®xp〉®eip
ª®¬
(b)
=
n∑
i1=1
©­«· · · ©­«
n∑
ip=1
〈®ei1, ®x1〉 · · · 〈®eip , ®xp〉ω(®ei1, . . . , ®eip)
ª®¬ · · · ª®¬ .
(I.21)
Até o momento, não usamos a anti-simetria de ω. Se �zermos
isso, concluímos do Lema I.17 que ω(®ei1, . . . , ®eip) = 0 se i j = ik
para algum j , k. Isso implica que
(I.22) ω(®x1, . . . , ®xp) = 0 se p > n ,
pois nesse caso sempre teremos i j = ik para algum 1 ≤ j < k ≤ p
já que temos apenas n < p valores distintos para i j e ik. Além
disso, se i1, . . . , ip são distintos, podemos por sucessivas trocas
de variáveis escrever
(I.23) ω(®ei1, . . . , ®eip) = ±ω(®e j1, . . . , ®e jp) ,
onde {i1, . . . , ip} = { j1, . . . , jp} e j1 < · · · < jp – ou seja, jk é o
k-ésimo menor valor de {i1, . . . , ip}, k = 1, . . . , p. Mais precisa-
mente, trocamos ®eik com ®e jk para cada k = 1, . . . , p (lembrando
que tal operação não faz nada se ik = jk). Para determinar o
sinal no lado direito de (I.23), precisamos fazer um pequeno
interlúdio a respeito de permutações.
71
I. Conceitos Preliminares
Uma permutação de {1, . . . , p} é uma bijeção
σ : {1, . . . , p} → {1, . . . , p} .
Denotamos o conjunto de todas as permutações de {1, . . . , p}
por Sp. Considerando que os elementos de {1, . . . , p} herdam
a relação de ordem de N, podemos pensar uma permutação
σ ∈ Sp como um reordenamento de 1, . . . , p, portanto Sp tem
p! elementos. Notar que:Lembrar que, dado p ∈ N0,
o fatorial p! de p (lê-se “p
fatorial”) é dado recursiva-
mente pelas fórmulas 0! =
1, (p + 1)! = (p + 1)p!.
• A identidade 1 de {1, . . . , p} (1(i) = i para todo i = 1, . . . , p)
é permutação de {1, . . . , p}, pois sua inversa é 1;
• Se σ, τ são permutações de {1, . . . , p}, então a composta
(que, neste caso, também chamamos de produto) στ =
σ ◦ τ também é permutação de {1, . . . , p}, pois a inversa
de στ é τ−1σ−1. Notar que o produto de permutações,
sendo nada mais que uma composição, é associativo (i.e.
(στ)υ = σ(τυ) para quaisquer permutações σ, τ, υ ∈ Sp)
mas não comutativo (i.e. στ , τσ para certas σ, τ ∈ Sp).
• Se σ é permutação de {1, . . . , p}, então sua inversa σ−1
também é permutação de {1, . . . , p}, pois (σ−1)−1 = σ.
Veremos agora como determinar o sinal no lado direito de
(I.23). O sinal de uma permutação σ de {1, . . . , p} é dado por
�σ = (−1)|inv (σ)| ,
onde |X | é o número de elementos de um conjunto �nito X e
inv(σ) é o conjunto das inversões de σ:
inv(σ) = {(i, j) ∈ {1, . . . , p}2 | i < j , σ(i) > σ( j)}
= {(i, j) ∈ {1, . . . , p}2 | i > j , σ(i) < σ( j)} .
Segue que:
72
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
• Obviamente a identidade 1 de {1, . . . , p} não tem inversões,
logo |inv(1)| = 0 e portanto �1 = 1.
• Se σ, τ são permutações de {1, . . . , p}, então �στ = �σ� τ .
Para ver isso, considere os seguintes conjuntos:
A = {(i, j) ∈ {1, . . . , p}2| i < j , τ(i) > τ( j) ,
στ(i) < στ( j)} ,
B = {(i, j) ∈ {1, . . . , p}2 | i < j , τ(i) > τ( j) ,
στ(i) > στ( j)} ,
C = {(i, j) ∈ {1, . . . , p}2 | i < j , τ(i) < τ( j) ,
στ(i) > στ( j)} .
Segue que A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = � e
inv(σ) = A ∪ C , inv(τ) = A ∪ B , inv(στ) = B ∪ C ,
de modo que
|inv(σ)| = |A| + |C | , |inv(τ)| = |A| + |B | ,
|inv(στ)| = |B| + |C | .
Logo,
�στ = (−1)|B|+|C | = (−1)|B|+|C |(−1)2|A|
= (−1)(|A|+|B|)(−1)(|A|+|C |)
= �σ� τ .
Notar que o conjunto A lista precisamente as inversões de
τ que são desfeitas por σ , por isso |inv(στ)| , |inv(σ)| +
|inv(τ)| em geral!
• Se σ é permutação de {1, . . . , p}, então σ−1σ = 1 e por-
tanto �1 = 1 = �σ�σ−1 , logo �σ−1 = �σ .
73
I. Conceitos Preliminares
Finalmente, dizemos que a transposição (i j) de i, j ∈ {1, . . . , p}
é a permutação de {1, . . . , p} dada por
(i j)(k) =

k (k , i, j)
j (k = i)
i (k = j)
,
de modo que (ii) = 1 para todo i = 1, . . . , p. Notar que sempre
temos (i j) = ( ji) e (i j)2 = 1. Mostraremos agora que se σ =
(i1 j1) · · · (ik jk) é produto de k transposições não-triviais (il, jl) (i.e.
il , jl ) para todo l = 1, . . . , k, então �σ = (−1)k. Para tal, basta
notar que se (i j) é uma transposição não-trivial, de modo que
i , j, então (i j) tem um número ímpar de inversões e portanto
� (i j) = −1. De fato, como (i j) = ( ji), podemos supor sem perda
de generalidade que i < j. Nesse caso, temos que
inv((i j)) = {(i, i + 1), . . . , (i, j), (i + 1, j), . . . , ( j − 1, j)}
e portanto
|inv((i j))| = ( j − i) + ( j − i − 1) = 2( j − i) − 1 .
A importância das transposições reside no seguinte fato:
I.18 Teorema. Se σ ∈ Sp, então σ pode ser escrita (de maneira
não-única) como um produto de transposições.
Demonstração. Primeiramente, notemos que o conceito de trans-
posição pode ser generalizado da seguinte maneira: dizemos que
τ ∈ Sp é um ciclo de comprimento k se existem i0, i1, . . . , ik ∈
{1, . . . , p} distintos tais que
τ(i j−1) = i j , j = 1, . . . , k − 1 , τ(ik) = i0 ,
τ(i) = i se i < {i0, i1, . . . , ik} ,
74
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
de modo que τk+1 = 1 (por quê?). Em particular, 1 é o único ciclo
de comprimento zero e uma transposição não-trivial nada mais
é do que um ciclo de comprimento 1. Como tal, denotamos o
ciclo τ de comprimento k > 0 descrito acima por τ = (i0i1 · · · ik).
Dizemos que dois ciclos τ1, τ2) são disjuntos se τ,1 ∩ τ
,
2 = �, onde
σ, = {i ∈ {1, . . . , p} | σ(i) , i} , σ ∈ Sp .
Nesse caso, temos que τ1τ2 = τ2τ1 pois τ1 não move os elemen-
tos movidos por τ2 e vice-versa (exercício: preencha os detalhes
usando a de�nição de ciclo). Provaremos agora os seguintes fatos:
(i) Um ciclo τ ∈ Sp de comprimento k > 0 é um produto de
k transposições não-triviais.
(ii) Toda permutação 1 , σ ∈ Sp pode ser escrita como um
produto de ciclos mutuamente disjuntos de comprimento
maior que zero. Os ciclos aparecendo na representação de
σ como tal produto são únicos a menos de sua ordem.
Para provar (i), seja τ = (i0i1 · · · ik) ∈ Sp é um ciclo de com-
primento k > 0 tal como de�nido acima, de modo que τ, =
{i0, i1, . . . , ik}. Podemos então escrever
τ = (ikik−1) · · · (iki1)(iki0) .
Mostremos a validade da identidade acima. Primeiramente,
notar que se i < τ,, então (ikik−1) · · · (iki1)(iki0)(i) = i. Segundo,
notar que
(ikik−1) · · · (iki1)(iki0)(i j−1) = (ikik−1) · · · (iki j−1)(i j−1)
= (ikik−1) · · · (iki j)(ik)
= (ikik−1) · · · (iki j+1)(i j)
= i j , j = 1, . . . , k − 1 .
75
I. Conceitos Preliminares
Finalmente,
(ikik−1) · · · (iki1)(iki0)(ik) = (ikik−1) · · · (iki1)(i0) = i0 ,
como desejado. Resta agora apenas provar (ii). Seja então
i0 ∈ {1, . . . , p} o menor elemento tal que σ(i0) = i1 , i0 (tal
i0 existe pois supomos que σ , 1), e de�na recursivamente
i j+1 = σ(i j), j ∈ N. Seja k ∈ N o menor natural tal que σ(ik) = i j
para algum j < k. Como {1, . . . , p} tem um número �nito
p de elementos, devemos ter k < p. Mostraremos que neces-
sariamente j = 0 – suponhamos que σ(ik) = i j com j > 0:
nesse caso, σ(ik) = i j = σ(i j−1) e portanto ik = σ(ik−1) = i j−1
pela injetividade de σ, o que contradiz a de�nição de k. De-
�nimos σ1 = (i0i1 . . . ik). O procedimento acima sugere o
seguinte algoritmo recursivo: sejam σ1, . . . , σm ciclos mutu-
amente disjuntos (i.e. σ,j ∩ σ
,
l = � se j , l) tais que σj(i) =
σ(i) se i ∈ σ,j , j = 1, . . . , m, e seja i
′
0 o menor elemento de
{1, . . . , m} r (σ,1 ∪ · · · ∪ σ
,
m ) tal que i
′
1 = σ(i
′
0) , i
′
0. Repita o
procedimento adotado na construção de σ1 acima para obter
um novo ciclo σm+1 = (i′0i
′
1 · · · i
′
k′) disjunto de σ1, . . . , σm. Re-
pita o algoritmo até que σ(i) = i para todo i < σ,1 ∪ · · · ∪ σ
,
m .
Por construção, σ = σm · · ·σ1 já que no máximo um dos ciclos
σ1, . . . , σm move o elemento i para cada i = 1, . . . , p. Como os
ciclos σ1, . . . , σm são disjuntos, o produto aparecendo no lado
direito dessa representação de σ é comutativo. �
Agora estamos em condições de determinar os sinais no lado
direito de (I.23). Para tal, notar que, dada uma função ω :V p →
R, podemos de�nir a ação de uma permutação σ ∈ Sp qualquer
sobre ω escrevendo a nova função σ∗ω :V n → R como
σ∗ω(®x1, . . . , ®xp) = ω(®xσ(1), . . . , ®xσ(p)) , ®x1, . . . , ®xp ∈ v .
76
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
Ou seja, σ permuta as variáveis de ω ao passarmos para σ∗ω.
Temos então que 1∗ω = ω e
(στ)∗ω(®x1, . . . , ®xp) = ω(®xστ(1), . . . , ®xστ(p))
= τ∗ω(®xσ(1), . . . , ®xσ(p))
= σ∗τ∗ω(®x1, . . . , ®xp) .
Em particular, se σ = (i j) com 1 ≤ i < j ≤ p, então
σ∗ω(®x1, . . . , ®xp) = ω(®x1, . . . , ®x j, . . . , ®xi, . . . , ®xp) .
Notar que se σ ∈ Sp e ω é p-linear, então σ∗ω também é (exercí-
cio: mostre isso!). Além disso, seω é uma p-forma emV e σ ∈ Sp
é um produto de k transposições não-triviais, a anti-simetria de
ω implica que
σ∗ω(®x1, . . . , ®xp) = (−1)kω(®x1, . . . , ®xp)
para ®x1, . . . , ®xp ∈ V quaisquer, logo o Teorema I.18 resulta na
seguinte versão mais precisa de (I.23):
(I.24)
σ∗ω(®x1, . . . , ®xp) = ω(®xσ(1), . . . , ®xσ(p)) = �σω(®x1, . . . , ®xp) .
Com isso, podemos completar o desenvolvimento de (I.21) no
caso em que p ≤ n (o caso p > n é sumarizado por (I.22)). Notar
que as somatórias múltiplas no lado direito de (I.21) percorrem
(após observarmos que ω(®ei1, . . . , ®eip) = 0 se i j = ik para algum
j , k) todos os arranjos de p elementos distintos de {1, . . . , n},
de forma que para cada escolha de 1 ≤ j1 < · · · < jp ≤ n
percorremos todas as permutações i1 = jσ(1), . . . , ip = jσ(p) de
j1, . . . , jp. Portanto, (I.21) combinado com (I.24) resulta em
ω(®x1, . . . , ®xp) =
∑
j1<···< jp∈{1, ...,n}
©­«
∑
σ∈Sp
�σ 〈®e jσ(1), ®x1〉 · · · 〈®e jσ(p), ®xp〉
ª®¬
· ω(®e j1, . . . , ®e jp) .
(I.25)
77
I. Conceitos Preliminares
Notar a expressão entre parênteses em (I.25) – se p = 2, en-
tão S2 = {1, (12)} e portanto ela se reduz a 〈®e j1, ®x1〉〈®x j2, ®x2〉 −
〈®e j2, ®x1〉〈®e j1, ®x2〉, que é nada mais, nada menos do que a forma de
volume sobre o subespaço vetorial gerado por {®e j1, ®e j2}. Vamos
investigar o que ocorre para p > 1 qualquer – para tal, clara-
mente não há perda de generalidade em tomar p = n. Nesse
caso, (I.25) �ca
(I.26)
ω(®x1, . . . , ®xn) =
( ∑
σ∈Sn
�σ 〈®e jσ(1), ®x1〉 · · · 〈®e jσ(n), ®xn〉
)
ω(®e1, . . . , ®en) .
Em suma, uma n-forma ω num espaço vetorialV com dim(V ) =
n é unicamente determinada porω(®e1, . . . , ®en), onde S = {®e1, . . . ,
®en} é uma base o.n. deV . Isso nos leva à seguinte
I.19 Definição. SejaV um espaço vetorial (real), dim(V ) = n <
∞. Uma base ordenada deV associada a S é dada por uma função
injetora ŝ : {1, . . . , n} → V tal que S = Im (ŝ) é uma base deV ,
chamada de base associada a ŝ. Nesse caso, dizemos analogamente
que ŝ é associada a S. Dizemos que uma base ordenada ŝ associada
a S é ortonormal (o.n.) se S for ortonormal. A função determinante
associada a uma base ordenada o.n. Ŝ é a única n-forma det ŝ
em V tal que det ŝ(ŝ) = det ŝ(®e1, . . . , ®en) = 1, onde ®ei = ŝ(i),
i = 1,. . . , n (lembrar que podemos identi�car V n com { f̂ :
{1, . . . , n} →V }).
Cabem aqui alguns comentários. Fica claro que uma base
ordenada ŝ associada a uma base S nada mais é do que uma
bijeção de {1, . . . , n} em S e portanto determina S. O que a
passagem de S para ŝ faz é escolher uma ordem para os elementos
de S, daí o nome. Podemos passar de uma base ordenada ŝ1
associada a S para qualquer outra (digamos, ŝ2) compondo ŝ1
78
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
com uma permutação σ ∈ Sn dada por
σ(i) = ji , ŝ1( ji) = ŝ2(i) , i = 1, . . . , n .
Fica claro pela bijetividade de ŝ1 e de ŝ2 que σ é unicamente de-
terminada por ŝ1 e ŝ2. Conversamente, dada uma base ordenada
ŝ1 e σ ∈ Sn, temos que ŝ2 = ŝ1 ◦σ é uma base ordenada também
associada a S = Im (ŝ1), e ŝ2 é o.n. se e somente se ŝ1 também
for o.n..
Como exemplo de base ordenada o.n., consideremos o caso
V = Rn. A chamada base ordenada canônica de Rn é a base
orientada ŝ dada pela ordem “natural” dos elementos da base
canônica S = {®e1, . . . , ®en} de Rn:
ŝ(i) = ®ei = (0, . . . , 0, 1
↓
i
, 0, . . . , 0) , i = 1, . . . , n ,
de modo que S = Im (ŝ). Como tal, ŝ é o.n. com respeito ao
produto escalar canônico de Rn.
Devido a (I.26), a função determinante det ŝ1 associada a
uma base ordenada o.n. ŝ1 tem a seguinte forma: escrevendo
®ei = ŝ1(i), i = 1, . . . , n, temos que
(I.27) det ŝ1(®x1, . . . , ®xn) =
∑
σ∈Sn
�σ 〈®eσ(1), ®x1〉 · · · 〈®eσ(n), ®xn〉 ,
de modo que podemos reescrever (I.26) como
(I.28) ω(®x1, . . . , ®xn) = det ŝ1(®x1, . . . , ®xn)ω(ŝ1)
para qualquer n-forma ω em V . Se ŝ2 = ŝ1 ◦ τ é outra base
ordenada o.n. associada a S = Im(ŝ1), segue da anti-simetria de
det ŝ1 que det ŝ1(ŝ2) = � τ . É possível estender essa comparação
para outros pares de bases ordenadas o.n. associadas a diferentes
bases o.n. deV – para tal, precisamos de�nir o determinante de
uma t.l. T :V →V .
79
I. Conceitos Preliminares
Seja entãoV um espaço vetorial (real) com dim(V ) = n < ∞
eT :V →V uma t.l.. Se ŝ1 é uma base ordenada o.n. deV , �ca
claro que
ωT (®x1, . . . , ®xn) =T ∗det ŝ1(®x1, . . . , ®xn) = det ŝ1(T ®x1, . . . ,T ®xn) ,
®x1, . . . , ®xn ∈ V quaisquer, de�ne uma n-forma ωT = T ∗det ŝ1
emV . Como tal, segue de (I.28) que
ωT (®x1, . . . , ®xn) = det ŝ1(®x1, . . . , ®xn)ωT (ŝ1)
para ®x1, . . . , ®xn ∈ V quaisquer se ®ei = ŝ1(i), i = 1, . . . , n. Mos-
traremos agora que ωT (ŝ1) = det ŝ1(T®e1, . . . ,T®en) não depende da
escolha de ŝ1: se ŝ2 é outra base ordenada o.n. deV , então det ŝ2 ,
sendo uma n-forma emV , pode ser escrita como
det ŝ2(®x1, . . . , ®xn) = det ŝ1(®x1, . . . , ®xn)det ŝ2(ŝ1)
Segue então que
det ŝ2(T ®x1, . . . ,T ®xn) = det ŝ1(T ®x1, . . . ,T ®xn)det ŝ2(ŝ1)
= det ŝ1(®x1, . . . , ®xn)det ŝ1(T®e1, . . . ,T®en)
· det ŝ2(ŝ1)
= det ŝ2(®x1, . . . , ®xn)det ŝ1(T®e1, . . . ,T®en)
para ®x1, . . . , ®xn ∈ V quaisquer. Em particular, tomando ®xi =
®e′i = ŝ2(i), i = 1, . . . , n, concluímos que det ŝ1(T®e1, . . . ,T®en) =
det ŝ2(T®e
′
1, . . . ,T®e
′
n) para quaisquer bases ordenadas o.n. ŝ1, ŝ2.
I.20 Definição. SejaV um espaço vetorial (real), dim(V ) = n <
∞, eT :V →V uma t.l.. O determinante deT é dado por
det(T ) = det ŝ(T®e1, . . . ,T®en)
=
∑
σ∈Sn
�σ 〈®eσ(1),T®e1〉 · · · 〈®eσ(n),T®en〉 ,
(I.29)
80
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
onde ŝ é uma base ordenada o.n. qualquer de V e ®ei = ŝ(i),
i = 1, . . . , n, de modo que
(I.30) det ŝ(T ®x1, . . . ,T ®xn) = det(T )det ŝ(®x1, . . . , ®xn)
para ®x1, . . . , ®xn ∈ V quaisquer.
O determinante det (T ) de uma transformação linear T :
V →V satisfaz as seguintes propriedades:
(a) Como 〈®ei,T®e j〉 = A
j
i é a entrada na i-ésima linha e j-ésima
coluna da matriz A de T na base o.n. S = {®e1, . . . , ®en}
para cada i, j = 1, . . . , n, recuperamos a partir de (I.29) a
de�nição usual det(A) = det(T ) do determinante de A.
(b) Escrevendo 〈®ei,T®e j〉 = 〈T ∗®ei, ®e j〉 = 〈®e j,T ∗®ei〉 para cada
i, j = 1, . . . , n, e notando que �σ = �σ−1 e
〈®eσ(1),T®e1〉 · · ·〈®eσ(n),T®en〉 = 〈®e1,T ∗®eσ(1)〉 · · · 〈®en,T ∗®eσ(n)〉
= 〈®eσ−1(1),T
∗®e1〉 · · · 〈®eσ−1(n),T
∗®en〉
para toda σ ∈ Sn, concluímos de (I.29) que det (T ) =
det(T ∗). Em particular, det(A) = det(AT ) se A é a matriz
deT em S = Im(ŝ), ®ei = ŝ(i), i = 1, . . . , n.
(c) SejamT1,T2 :V →V t.l.’s. Se ŝ é uma base ordenada o.n.
deV , ®ei = ŝ(i), i = 1, . . . , n, segue de (I.30) que
det(T1T2) = det ŝ(T1T2®e1, . . . ,T1T2®en)
= det(T1)det ŝ(T2®e1, . . . ,T2®en)
= det(T1)det(T2) .
Emparticular, se Aj é amatriz deTj em S = Im(ŝ), j = 1, 2,
temos que det(A1A2) = det(A1)det(A2). Além disso, como
81
I. Conceitos Preliminares
det (1) = det ŝ(ŝ) = 1, se T : V → V é uma t.l. invertí-
vel então det (1) = 1 = det (TT−1) = det (T )det (T−1) e
portanto det(T−1) = det(T )−1, com um resultado similar
para matrizes: se A é a matriz de T em S (e, portanto, é
invertível), então det(A−1) = det(A)−1.
(d) Se uma t.l. T :V →V que não é injetora e ŝ é uma base
ordenada o.n., ®ei = ŝ(i), i = 1, . . . , n, entãoT®e1, . . . ,T®en
são l.d., logo pelo Lema I.17 temos que det (T ) = 0. Em
particular,T é invertível se e somente se det(T ) , 0.
Dadas bases ordenadas o.n. ŝ1, ŝ2 deV , considere a t.l. U :
V → V tal queUŝ(i) = ŝ′(i) para cada i = 1, . . . , n. Vimos na
Subseção 2.5 que nesse casoU−1 =U ∗ – tais t.l.’s são chamadas
ortogonais justamente por levarem bases o.n. em bases o.n., já
que para talU e ®x, ®y ∈ V quaisquer temos
〈U ®x,U ®y〉 = 〈U ∗U ®x, ®y〉 = 〈®x, ®y〉 .
Logo, segue de (b) e (c) que det (U )−1 = det (U−1) = det (U ∗) =
det(U ) e portanto det(U )2 = 1, que por sua vez implicam
det ŝ1(ŝ2) = det(U ) = det ŝ2(ŝ1) = det(U
−1) = ±1 .
Podemos então dizer que ŝ1, ŝ2 tem a mesma orientação se det ŝ1(ŝ2)
= 1, e tem orientações opostas se det ŝ1(ŝ2) = −1. Analogamente,
dizemos que uma t.l. invertível T : V → V preserva orientação
se det (T ) > 0, e que T inverte orientação se det (T ) < 0 – em
particular, se U ∗ = U−1 e ŝ2(i) = Uŝ1(i), i = 1, . . . , n, então
det(U ) = det ŝ1(ŝ2) e portanto ŝ1, ŝ2 tema mesma orientação (resp.
orientações opostas) se e somente se det (U ) = 1 e portanto U
preserva orientação (resp. det (U ) = −1 e portanto U inverte
orientação).
82
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
Depois dessa longa discussão algébrica, retornemos ao nosso
contexto geométrico. Considere uma base ordenada o.n. ŝ deV .
Dados ®0 , ®x1, . . . , ®xn ∈ V , o paralelepípedo gerado por ®x1, . . . , ®xn
é o subconjuntoQ(®x1, . . . , ®xn) ⊂ V dado por
(I.31)
Q(®x1, . . . , ®xn) =
{
®x =
n∑
i=1
αi ®xi ∈ V
����� 0 ≤ α1, . . . , αn ≤ 1
}
.
O volume |Q(®x1, . . . , ®xn)| deQ(®x1, . . . , ®xn) é então dado por
(I.32) |Q(®x1, . . . , ®xn)| = |det ŝ(®x1, . . . , ®xn)| .
Obviamente, Q(®x1, . . . , ®xn) tem volume zero se ®x1, . . . , ®xn
são l.d.. Já vimos que (I.32) de fato reproduz a noção usual de
área de paralelogramos se n = 2. Veremos mais adiante que
o mesmo se dá se n = 3 – por ora, tomaremos (I.32) como a
de�nição de volume de um paralelepípedo n-dimensional. As-
sim, tal como �zemos em n = 2, é cabível chamarmos det ŝ de
forma de volume (n-dimensional) sobre V . Tal como discutido
na Observação I.15 no caso n = 2, o sinal de det ŝ denota uma
convenção de sentido positivo para a “varredura” de volumes
emV . Trocar a orientação de uma base ordenada o.n. signi�ca
precisamente trocar esse sentido de “varredura” de volumes.
Obteremos agora uma extensão para n dimensões da identi-
dade de Lagrange (I.17). Para tal, notar que se de�nirmos a t.l.
T :V →V como
T®ei = ®xi , ®ei = ŝ(i) , i = 1, . . . , n ,
temos que det ŝ(®x1, . . . , ®xn) = det (T ) – em particular, o sinal
de det ŝ(®x1, . . . , ®xn) é determinado por seT preserva ou inverte
orientação – e portanto
|Q(®x1, . . . , ®xn)|2 = det(T )2 = det(T )det(T ∗) = det(T ∗T )
83
I. Conceitos Preliminares
Notar agora que
〈®ei,T ∗T®e j〉 = 〈T®ei,T®e j〉 = 〈®xi, ®x j〉
para todo i, j = 1, . . . , n, logo obtemos de (I.29) a identidade de
Lagrangen-dimensional
(I.33)
|Q(®x1, . . . , ®xn)|2 = det ŝ(®x1, . . . , ®xn)2 = det(Gr(®x1, . . . , ®xn)) ,
onde
(I.34) Gr(®x1, . . . , ®xn) =

〈®x1, ®x1〉 · · · 〈®x1, ®xn〉
...
. . .
...
〈®xn, ®x1〉 · · · 〈®xn, ®xn〉

é a matriz de Gram dos vetores ®x1, . . . , ®xn ∈ V , cuja entrada na
i-ésima linha e j-ésima coluna é dada por Gr(®x1, . . . , ®xn)
j
i =
〈®xi, ®x j〉 para cada i, j = 1, . . . , n. Um argumento análogo ao
adotado acima nos permite obter uma generalização posterior de
(I.32)-(I.33) que será útil mais adiante. Sejam ®y1, . . . , ®yn ∈ V , e
T̃ :V →V a t.l. dada por
T̃®ei = ®yi , i = 1, . . . , n .
Segue que det ŝ(®y1, . . . , ®yn) = det(T̃ ) e portanto
det ŝ(®x1, . . . , ®xn)det ŝ(®y1, . . . , ®yn) = det(T )det(T̃ )
= det(T ∗)det(T̃ )
= det(T ∗T̃ ) .
Notando que
〈®ei,T ∗T̃®e j〉 = 〈T®ei, T̃®e j〉 = 〈®xi, ®y j〉
84
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
para todo i, j = 1, . . . , n, obtemos assim a identidade de Cauchy-
Binet
(I.35)
detŝ(®x1, . . . , ®xn)detŝ(®y1, . . . , ®yn) = det

〈®x1, ®y1〉 · · · 〈®x1, ®yn〉
...
. . .
...
〈®xn, ®y1〉 · · · 〈®xn, ®yn〉
 ,
que se reduz à identidade de Lagrange (I.33) se ®xi = ®yi para todo
i = 1, . . . , n.
I.21 Observação. A identidade de Lagrange (I.33) mostra de
maneira explícita que nossa noção de volume é intimamente atre-
lada à nossa noção de produto escalar, o que é geometricamente
natural pois usamos o produto escalar para medir comprimentos
e ângulos.
Mais em geral, seW é um subespaço vetorial de V com
dim(W ) = p > 0 e ŝ é uma base ordenada o.n. deW , �ca claro
que podemos calcular detŝ(®x1, . . . , ®xp) para quaisquer ®x1, . . . , ®xp ∈
V , pois novamente temos a partir de (I.27) que
det ŝ(®x1, . . . , ®xp) = det ŝ(PW ®x1, . . . , PW ®xp) ,
onde PW é a projeção ortogonal sobreW :
PW ®x =
p∑
i=1
〈®ei, ®x〉®ei , ®ei = ŝ(i) , i = 1, . . . , p .
Ou seja,
|det ŝ(®x1, . . . , ®xp)| = |Q(PW ®x1, . . . , PW ®xp)| .
Pela linearidade de PW , temos novamente que
p∑
i=1
αiPW ®xi = PW
( p∑
i=1
αi ®xi
)
85
I. Conceitos Preliminares
para ®x1, . . . , ®xp ∈ V , α1, . . . , αp ∈ R quaisquer, logo
Q(PW ®x1, . . . , PW ®xp) = PWQ(®x1, . . . , ®xp)
é a projeção ortogonal sobreW do paralelepípedo p-dimensional
Q(®x1, . . . , ®xp), tal como no caso p = 2. Ou seja, det ŝ(®x1, . . . , ®xp)
pode ser visto como uma “componente de volume” ao longo
deW , portanto é cabível dizer que det ŝ é uma forma de volume
p-dimensional emV . Desta forma, concluímos a partir de (I.25)
que toda p-forma em V é uma c.l. de formas de volume p-
dimensionais, se imbuirmos o espaço das p-formas em V das
operações vetoriais pontuais do espaço F (V p, R) das funções de
V p em R: se ω1, ω2 são p-formas emV e α ∈ R, escrevemos
(ω1 + ω2)(®x1, . . . , ®xp) = ω1(®x1, . . . , ®xp) + ω2(®x1, . . . , ®xp) ,
(αω1)(®x1, . . . , ®xp) = αω1(®x1, . . . , ®xp)
(I.36)
para ®x1, . . . , ®xp ∈ V quaisquer. Denotamos o espaço vetorial
das p-formas emV , munido das operações vetoriais (I.36), por
∧pV ′, de forma que ∧0V ′ = R, ∧1V ′ = V ′ e ∧pV ′ = {®0} se
p > n = dim(V ) por (I.22).
I.22Observação. O argumento que usamos para provar as iden-
tidades de Lagrange (I.33) e de Cauchy-Binet (I.35) se estende a
formas de volume p-dimensionais com p < n apenas no caso em
que ®x1, . . . , ®xp e ®y1, . . . , ®yp pertencem aW . O caso geral dessas
identidades é mais complicado e será discutido mais adiante.
Seja ŝ uma base ordenada o.n. do espaço vetorialV , dim(V ) =
n < ∞, ŝ(i) = ®ei , i = 1, . . . , n e S = Im (ŝ) = {®e1, . . . , ®en} a base
deV associada a ŝ. De�na para cada I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p,
i.e. I = {®ei1, . . . , ®eip } com 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n, a aplicação
86
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
ŝI : {1, . . . , p} →V dada por
(I.37) ŝI ( j) = ®ei j , j = 1, . . . , p ,
de modo que a fórmula (I.25) para uma p-forma ω emV �ca
(I.38) ω(®x1, . . . , ®xp) =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
det ŝI (®x1, . . . , ®xp)ω(ŝI ) .
Usaremos essa fórmula para mostrar que o subconjunto
(I.39) ∧p(ŝ)′ = {det ŝI | I ⊂ {1, . . . , n} , |I | = p} ⊂ ∧
pV ′
é l.i. e portanto é base de ∧pV ′. Se ω = 0, isso quer dizer que
ω(®x1, . . . , ®xp) = 0 para ®x1, . . . , ®xp ∈ V quaisquer. Em particular,
se (®x1, . . . , ®xp) = (®e j1, . . . , ®e jp) = ŝJ , J = { j1, . . . , jp} com 1 ≤
j1 < · · · < jp ≤ n, temos pela fórmula (I.27) que
(I.40) det ŝI (ŝJ ) =

0 (I , J )
1 (I = J )
,
pois
(I.41) det ŝI (ŝJ ) =
∑
σ∈Sp
�σ 〈®eiσ(1), ®e j1〉 · · · 〈®eiσ(p), ®e jp〉
e portanto no caso I , J todos os termos da somatória em (I.27)
temos pelo menos um produto escalar igual a zero e o caso I = J
é a de�nição de det ŝJ . Logo, ω(ŝJ ) = 0 para todo J ⊂ {1, . . . , n}
com | J | = p e portanto ∧p(ŝ)′ é l.i., como desejado.
3.1 Exercício. Mostre que dim(∧pV ′) =
(n
p
)
= n!p!(n−p)! = número
de combinações de p elementos distintos dentre n elementos distintos se
dim(V ) = n < ∞ e 0 ≤ p ≤ n.
87
I. Conceitos Preliminares
No caso p = 0, de�nimos ∧0(ŝ)′ = {1}. No caso p = 1, a base
∧p(ŝ)′ = S′ é a chamada base dual a S = Im(ŝ).
Notar agora que (I.36) asssocia a cada (®x1, . . . , ®xp) ∈ V p um
elemento ®x1 ∧ · · · ∧ ®xp ∈ (∧pV ′)′ se de�nirmos
(I.42) (®x1 ∧ · · · ∧ ®xp)(ω) = ω(®x1, . . . , ®xp) .
Notar que a aplicação
∧p :V p 3 (®x1, . . . , ®xp) 7→ ∧p(®x1, . . . , ®xp) = ®x1∧· · ·∧®xp ∈ (∧pV ′)′ ,
tal como uma p-forma, é p-linear e anti-simétrica, pois para
®x1, . . . , ®xp, ®x′1, . . . , ®x
′
p ∈ V , α ∈ R, ω ∈ ∧
pV ′ quaisquer segue da
De�nição I.16 (b) e (c), respectivamente, que
(®x1 ∧ · · · ∧ (®xi + ®x′i) ∧ · · · ∧ ®xp)(ω) = ω(®x1, . . . , ®xi + ®x
′
i , . . . , ®xp)
(b)
= ω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®xp)
+ ω(®x1, . . . , ®x′i , . . . , ®xp)
= (®x1 ∧ · · · ∧ ®xi ∧ · · · ∧ ®xp)(ω)
+ (®x1 ∧ · · · ∧ ®x′i ∧ · · · ∧ ®xp)(ω) ,
(®x1 ∧ · · · ∧ (α ®xi) ∧ · · · ∧ ®xp)(ω) = ω(®x1, . . . , α ®xi, . . . , ®xp)
(c)
= αω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®xp)
= α(®x1 ∧ · · · ∧ ®xi ∧ · · · ∧ ®xp)(ω)
para todo i = 1, . . . , p e
(®x1 ∧ · · · ∧ ®x j
↓
i
∧ · · · ∧ ®xi
↓
j
∧ · · · ∧ ®xp)(ω)
= −(®x1 ∧ · · · ∧ ®xi
↓
i
∧ · · · ∧ ®x j
↓
j
∧ · · · ∧ ®xp)(ω)
88
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
para todo 1 ≤ i < j ≤ p. Em particular, segue de (I.24) que para
toda p-forma ω emV temos
(®xσ(1) ∧ · · · ∧ ®xσ(p))(ω) = ω(®xσ(1), . . . , ®xσ(p))
= �σω(®x1, . . . , ®xp)
= �σ(®x1 ∧ · · · ∧ ®xp)(ω) .
De�namos então o subespaço vetorial ∧pV de (∧pV ′)′ como
∧pV = L({®x1 ∧ · · · ∧ ®xp | ®x1, . . . , ®xp ∈ V })
=
{
X =
k∑
j=1
α j ®x1, j ∧ · · · ∧ ®xp, j
����� ®xi, j ∈ V ,
i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , k ∈ N
}
.
Os vetores em ∧pV são chamados de p-vetores de V . Em par-
ticular, ∧0V = R e ∧1V = V , ou seja, um 0-vetor de V é um
escalar e um 1-vetor deV é simplesmente um vetor deV . Além
disso, como ∧pV ′ = {®0} se p > n = dim(V ), concluímos que
analogamente ∧pV = {®0} nesse caso.
Mostraremos que ∧pV ′ = (∧pV )′. De fato, dados ω ∈ ∧pV ′,
X ∈ ∧pV , escrevemos
ω(X) = X(ω) ,
de modo que
ω(X +Y ) = (X +Y )(ω) = X(ω) +Y (ω) = ω(X) + ω(Y ) ,
ω(αX) = (αX)(ω) = αX(ω) = αω(X) ,
logo realmente ω ∈ (∧pV )′. Conversamente, se ω ∈ (∧pV )′,
então segue respectivamente da p-linearidade e da anti-simetria
89
I. Conceitos Preliminares
da aplicação ∧p que, dados ®x1, . . . , ®xp, ®x′1, . . . , ®x
′
p ∈ V , α ∈ R
quaisquer, temos que
ω(®x1, . . . , ®xi + ®x′i , . . . , ®xp) = ω(®x1 ∧ · · · ∧ (®xi + ®x
′
i) ∧ · · · ∧ ®xp)
= ω(®x1 ∧ · · · ∧ ®xi ∧ · · · ∧ ®xp
+ ®x1 ∧ · · · ∧ ®x′i ∧ · · · ∧ ®xp)
= ω(®x1 ∧ · · · ∧ ®xi ∧ · · · ∧ ®xp)
+ ω(®x1 ∧ · · · ∧ ®x′i ∧ · · · ∧ ®xp)
= ω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®xp)
+ ω(®x1, . . . , ®x′i , . . . , ®xp) ,
ω(®x1, . . . , α ®xi, . . . , ®xp) = ω(®x1 ∧ · · · ∧ (α ®xi) ∧ · · · ∧ ®xp)
= αω(®x1 ∧ · · · ∧ ®xi ∧ · · · ∧ ®xp)
= ω(α ®x1 ∧ · · · ∧ ®xi ∧ · · · ∧ ®xp)
= αω(®x1, . . . , ®xi, . . . , ®xp)
para todo i = 1, . . . , p e
ω(®x1, . . . , ®x j
↓
i
, . . . , ®xi
↓
j
, . . . , ®xp)
= ω(®x1 ∧ · · · ∧ ®x j
↓
i
∧ · · · ∧ ®xi
↓
j
∧ · · · ∧ ®xp)
= −ω(®x1 ∧ · · · ∧ ®xi↓
i
∧ · · · ∧ ®x j
↓
j
∧ · · · ∧ ®xp)
= −ω(®x1, . . . , ®xi
↓
i
, . . . , ®x j
↓
j
, . . . , ®xp)
para todo 1 ≤ i < j ≤ p, portanto ω é uma p-forma emV . Ob-
servamos que a identi�cação de ∧pV ′ com (∧pV )′ que acabamos
de obter identi�ca também as operações vetoriais de ambos os
espaços vetoriais, pois ambas são de�nidas pontualmente – de
fato, as operações vetoriais de (∧pV )′
(ω1 + ω2)(X) = ω1(X) + ω2(X) , (αω1)(X) = αω1(X)
90
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
se reduzem às operações vetoriais (I.36) de p-formas no caso em
que X = ®x1 ∧ · · · ∧ ®xp, ®x1, . . . , ®xp ∈ V quaisquer. Notar que o
argumento acima não faz uso de bases, portanto continua válido
mesmo se dim(V ) = ∞.
Mostraremos agora que se dim(V ) = n < ∞ e ŝ é base or-
denada o.n. de V com ŝ(i) = ®ei , i = 1, . . . , n e S = Im (ŝ) =
{®e1, . . . , ®en} a base deV associada a ŝ, então o conjunto
(I.43)
∧p(ŝ) = {∧p ŝJ = ®e j1∧· · ·∧®e jp | J = { j1 < · · · < jp} ⊂ {1, . . . , n}}
é base de (∧pV ′)′. De fato, se X ∈ (∧pV ′)′ e ω ∈ ∧pV ′, então
(I.25) nos dá
X(ω) =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
X(det ŝI )ω(ŝI )
=
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
X(det ŝI )(∧
p ŝI )(ω) ,
(I.44)
de modo que realmente L(∧p(ŝ)) = (∧pV ′)′. Resta apenas mos-
trar que ∧p(ŝ) é l.i. – para tal, suponhamos que X = 0, i.e.
X(ω) = 0 para toda p-forma ω em V . Em particular, se ω =
det ŝJ para algum J ⊂ {1, . . . , n} com | J | = p, segue de (I.40)
que X(det ŝJ ) = 0 para todo tal J e portanto ∧
p(ŝ) é l.i.. Em
particular, concluímos que todo X ∈ (∧pV ′)′ é um p-vetor, ou A identi�cação de um
espaço vetorial V com
V ′′ = (V ′)′ só é possível
se dim(V ) < ∞, pois
precisamos explicitamente
de uma base �nita para tal.
seja, (∧pV ′)′ = ∧pV . Em particular, temos queV ′′ = (V ′)′ =V .
Vemos que há uma simetria entre ∧p(ŝ)′ e ∧p(ŝ) expressa por
(I.40), que podemos reescrever usando (I.42)-(I.43) como
(I.45) det ŝI (ŝJ ) = ∧
p ŝJ (det ŝI ) =

0 (I , J )
1 (I = J )
,
de modo que (I.44) �ca
(I.46) ω(X) =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
det ŝI (X)ω(®e j1 ∧ · · · ∧ ®e jp) .
91
I. Conceitos Preliminares
3.2 Exercício. Mostre que dim(∧pV ) = dim(∧pV ′) se dim(V ) <
∞ e 0 ≤ p ≤ n.
No caso em que X = ®x1 ∧ · · · ∧ ®xp, ®0 , ®x1, . . . , ®xp ∈ V e ω =
detŝ, onde ŝ é uma base ordenada o.n. de um subespaço vetorial p-
dimensionalW ⊂ V , temos queω(X) = det ŝ(®x1, . . . , ®xp) é, a me-
nos de um sinal, o volume da projeção ortogonalPWQ(®x1, . . . , ®xp)
sobreW do paralelepípedoQ(®x1, . . . , ®xp) gerado por ®x1, . . . , ®xp.
Se PW ®x1, . . . , PW ®xp são l.i., o sinal de ω(X) é positivo (resp. ne-
gativo) se a t.l. (invertível)T :W →W dada porT ŝ(i) = PW ®xi ,
i = 1, . . . , p preserva (resp. inverte) orientação.
3.3. Operações sobre p-formas: produto escalar, produto ex-
terior e o operador * de Hodge. Para nos aprofundarmos na
ideia geométrica por trás das formas de volume p-dimensionais,
precisamos interpretar a valoração de p-formas como um pro-
duto escalar, tal como feito pelo Lema de Riesz no caso p = 1.
Tal imagem é fortemente sugerida pela identidade de Cauchy-
Binet (I.35) no caso p = n e por (I.45). Reescrevemos a última
fórmula à luz de (I.41) e da identi�cação (∧pV )′ = ∧pV ′ como
det ŝI (∧
p ŝJ ) =
∑
σ∈Sp
�σ 〈®eiσ(1), ®e j1〉 · · · 〈®eiσ(p), ®e jp〉 =

0 (I , J )
1 (I = J )
,
I = {i1 < · · · < ip} , J = { j1 < · · · < jp} ⊂ {1, . . . , n} ,
(I.47)
onde ŝ é uma base ordenada o.n. deV , ŝ(i) = ®ei , i = 1, . . . , n, e
S = Im(ŝ) = {®e1, . . . , ®en} é a base deV associada a ŝ. A interpre-
tação de (I.47) em termos de um produto escalar em ∧pV ′ e em
∧pV é óbvia – trata-se dos produtos escalares associados às bases
∧p(ŝ)′ de ∧pV ′ e ∧p(ŝ) de ∧pV , respectivamente: se X,Y ∈ ∧pV
92
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
são p-vetores deV e ω, η ∈ ∧pV ′ são p-formas emV , respecti-
vamente dados por
X =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
XI ∧p ŝI , Y =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
YI ∧p ŝI
e
ω =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
ωIdet ŝI , η =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
ηIdet ŝI ,
então
(I.48)
〈X,Y 〉 =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
XIYI , 〈ω, η〉 =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
ωIηI ,
de modo que, devido a (I.47),
XI = 〈∧p ŝI , X〉 = det ŝI (X) , ωI = 〈ω, det ŝI 〉 = ω(∧
p ŝI ) = ω(ŝI )
para todo I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p. Se p = 1, recuperamos
o produto escalar �xo de V . Além disso, se ŝ1 e ŝ2 são bases
ordenadas o.n. de V e portanto ŝ1(i) = ®ei , ŝ2(i) = ®e′i = U®ei ,
i = 1, . . . , n para alguma t.l. ortogonal U : V → V , de modo
que 〈®e′i, ®e
′
j〉 = 〈®ei, ®e j〉 para todo i, j = 1, . . . , n, nota-se a partir de
(I.47) que ∧p(ŝ1) (resp. ∧p(ŝ1)′) é o.n. com respeito ao produto
escalar associado a ∧p(ŝ2) (resp. ∧p(ŝ2)′) e vice-versa. Em particu-
lar, os produtos escalares em (I.48) não dependem da ordem dos
vetores numa base ordenada o.n. ŝ: ∧p(ŝ ◦ σ) (resp. ∧p(ŝ ◦ σ)′)
é o.n. com respeito ao produto escalar associado a ∧p(ŝ) (resp.
∧p(ŝ)′) para toda permutação σ ∈ Sn, tal como ocorre no caso
p = 1. De agora em diante, assumimos que ∧pV e ∧pV ′ são
respectivamente dotados dos produtos escalares em (I.48).
Existe ainda uma outra operação de produto sobre p-formas
além do produto escalar, que pode envolver diferentes valores
93
I. Conceitos Preliminares
de p em cada um dos fatores. SejaV um espaço vetorial (real),
dim(V ) = n < ∞. Se ω ∈ ∧pV ′, τ ∈ ∧qV ′, de�nimos o produto
exterior de ω e η como a (p + q)-forma ω ∧ η ∈ ∧p+qV ′ dada por
(I.49) ω ∧ η =
1
p!q!
Alt(ω ⊗ η) ,
onde o produto tensorial de uma função p-linear ω : V p → R
e uma função q-linear η : V q → R é a função (p + q)-linear
ω ⊗ η :V p+q → R dada por
(I.50) (ω⊗η)(®x1, . . . , ®xp+q) = ω(®x1, . . . , ®xp)η(®xp+1, . . . , ®xp+q) ,
®x1, . . . , ®xp+q ∈ V quaisquer, e a alternação Alt(ρ) de uma função
r-linear ρ, r ∈ N é a r-forma Alt(ρ) emV dada por
(I.51) Alt(ρ)(®x1, . . . , ®xr) =
∑
σ∈Sr
�σ ρ(®xσ(1), . . . , ®xσ(r)) ,
®x1, . . . , ®xr ∈ V quaisquer. Em suma, o produto exterior ω ∧ ρ
da p-forma ω e da q-forma η é dado por
(ω∧η)(®x1, . . . , ®xp+q)
=
1
p!q!
∑
σ∈Sp+q
�σω(®xσ(1), . . . , ®xσ(p))η(®xσ(p+1), . . . , ®xσ(p+q)) ,
(I.52)
®x1, . . . , ®xp+q ∈ V quaisquer. Obviamente a expressão no lado
direito de (I.50) é (p + q)-linear em ®x1, . . . , ®xp+q. Mostraremos
agora que de fato Alt(ρ) é uma r-forma emV se ρ :V r → R for
r-linear. Com efeito, dados ®x1 . . . , ®xr , ®x′1, . . . , ®x
′
r ∈ V , α ∈ R,
94
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
i = 1, . . . , r quaisquer, temos
Alt(ρ)(®x1, . . . , ®xi + ®x′i
↓
i
, . . . , ®xr)
=
∑
σ∈Sr
�σ ρ(®xσ(1), . . . , ®xi + ®x′i
↓
σ−1(i)
, . . . , ®xσ(r))
=
∑
σ∈Sr
�σ ρ(®xσ(1), . . . , ®xi
↓
σ−1(i)
, . . . , ®xσ(r))
+
∑
σ∈Sr
�σ ρ(®xσ(1), . . . , ®x′i
↓
σ−1(i)
, . . . , ®xσ(r)) ,
Alt(ρ)(®x1, . . . , α ®xi
↓
i
, . . . , ®xr)
=
∑
σ∈Sr
�σ ρ(®xσ(1), . . . , α ®xi
↓
σ−1(i)
, . . . , ®xσ(r))
= α
∑
σ∈Sr
�σ ρ(®xσ(1), . . . , ®xi
↓
σ−1(i)
, . . . , ®xσ(r)) ,
logo Alt(ρ) é r-linear. Resta mostrar que Alt(ρ) é anti-simétrica:
para tal, observar que dados ®x1 . . . , ®xr ∈ V , 1 ≤ i < j ≤ r
quaisquer, temos que a somatória no lado direito de (I.51) satisfaz∑
σ∈Sr
�σ ρ®xσ(1), . . . , ®xσ(i)
↓
i
, . . . , ®xσ( j)
↓
j
, . . . , ®xσ(r))
=
∑
σ∈Sr
�σ(i j) ρ(®xσ(i j)(1), . . . , ®xσ(i j)(i)
↓
i
, . . . , ®xσ(i j)( j)
↓
j
, . . . , ®xσ(i j)(r))
= −
∑
σ∈Sr
�σ ρ(®xσ(1), . . . , ®xσ( j)
↓
i
, . . . , ®xσ(i)
↓
j
, . . . , ®xσ(r)) ,
donde concluímos que ω ∧ η é de fato uma (p + q)-forma em
V . Se p = 0 (i.e. ω ∈ R é um escalar) ou q = 0 (i.e. η ∈ R é um
escalar) em (I.52), então ω ∧ η é simplesmente a multiplicação
escalar.
95
I. Conceitos Preliminares
3.3 Exercício. Mostre que o produto tensorial é bilinear (em parti-
cular, distributivo) e associativo: se ω, ω′ :V p → R são p-lineares,
η, η ′ : V q → R são q-lineares, ρ : V r → R é r-linear e α ∈ R,
então
(ω + ω′) ⊗ η = ω ⊗ η + ω′ ⊗ η , ω ⊗ (η + η ′) = ω ⊗ η + ω ⊗ η ′ ,
(αω) ⊗ η = α(ω ⊗ η) = ω ⊗ (αη)
e
ω ⊗ (η ⊗ ρ) = (ω ⊗ η) ⊗ ρ .
3.4 Exercício. Mostre que se ®x1, . . . , ®xr ∈ V e as1-formas ®x[1, . . . ,
®x[r ∈ V
′ são dadas por ®x[i (®y) = 〈®xi, ®y〉, i = 1, . . . , r , então
Alt(®x[1 ⊗ · · · ⊗ ®x
[
r )(®y1, . . . , ®yr) = det

〈®x1, ®y1〉 · · · 〈®x1, ®yr〉
...
. . .
...
〈®xr , ®y1〉 · · · 〈®xr , ®yr〉
 .
Em particular, pelo Lema de Riesz, se S = {®e1, . . . , ®er } é um conjunto
o.n. e portanto ŝ(i) = ®ei , i = q, . . . , r de�ne uma base ordenada o.n.
para o subespaço vetorialW = L(S), temos que Alt(®e[1 ⊗ · · · ⊗ ®e
[
r ) =
det ŝ.
O fator 1p!q! em (I.49) e (I.52) visa compensar as repetições
que ocorrem devido à anti-simetria de ω e η para permutações
da forma
τ = σ(υσ2υ
−1)σ1 , σ1 ∈ Sp , σ2 ∈ Sq
para σ ∈ Sp+q dada, onde υ(i) = p+ i, υ(q+ j) = j e convenciona-
se que σ1(p + i) = p + i, σ2(q + j) = q + j para i = 1, . . . , q,
j = 1, . . . , p, de modo que
υσ2υ
−1( j) = j , υσ2υ−1(p + i) = p + σ2(i) ,
96
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
i = 1, . . . , q , j = 1, . . . , q . Fica claro que � τ = �σ2�σ1�σ e
ω(®xτ(1), . . . , ®xτ(p)) = �σ1ω(®xσ(1), . . . , ®xσ(p)) ,
η(®xτ(p+1), . . . , ®xτ(p+q)) = �σ2η(®xσ(p+1), . . . , ®xσ(p+q)) ,
logo
� τω(®xτ(1), . . . , ®xτ(p))η(®xτ(p+1), . . . , ®xτ(p+q))
= �σω(®xσ(1), . . . , ®xσ(p))η(®xσ(p+1), . . . , ®xσ(p+q)) .
3.5 Exercício. Mostre que se ρ é uma r-forma emV , então Alt(ρ) =
r!ρ.
Em particular, podemos escolher a única σ1 ∈ Sp e a única
σ2 ∈ Sq tais que τ(1) = σσ1(1) < · · · < τ(p) = σσ1(p) e
τ(p + 1) = σ(p + σ2(1)) < · · · < τ(p + q) = σ(p + σ2(q)).
Permutações τ com essa propriedade são chamadas de (p, q)-
embaralhamentos (“shu�es” em inglês), pois podem ser representa-
das pelo embaralhamento de duas pilhas de cartas distintas num
baralho – uma com p cartas e a outra com q cartas. Denotamos
o subconjunto de Sp+q dado pelos (p, q)-embaralhamentos por
Shp,q – como cada τ ∈ Shp,q é unicamente determinado pelo
subconjunto {τ(1) < · · · < τ(p)} ⊂ {1, . . . , p + q}, segue que
|Shp,q | =
(p+q
p
)
. Assim, podemos reescrever (I.52) como
(ω∧η)(®x1, . . . , ®xp+q)
=
∑
τ∈Shp,q
� τω(®xτ(1), . . . , ®xτ(p))η(®xτ(p+1), . . . , ®xτ(p+q)) ,
(I.53)
de modo que a somatória em (I.53) tem
(p+q
p
)
parcelas, contra as
(p + q)! parcelas da somatória em (I.52).
97
I. Conceitos Preliminares
O produto exterior é claramente distributivo com respeito aos
dois fatores. Mais que isso, ele é bilinear com respeito a ambos:
(ω + ω′) ∧ η = ω ∧ η + ω′ ∧ η , ω ∧ (η + η ′) = ω ∧ η + ω ∧ η ′ ,
(αω) ∧ η = αω ∧ η = ω ∧ (αη) ,
com ω, ω′ ∈ ∧pV ′, η, η ′ ∈ ∧qV ′, α ∈ R quaisquer (ver também
o Exercício 3.3 acima). No entanto, tal produto nem sempre é
comutativo! Dadas ω ∈ ∧pV ′, η ∈ ∧qV ′, temos que
(I.54) ω ∧ η = (−1)pqη ∧ ω .
A propriedade (I.54) é chamada de comutatividade graduada.
Para ver isso, notar que se υ ∈ Sp+q é a permutação conside-
rada acima na passagem de (I.52) para (I.53), i.e. υ(i) = p + i,
υ(q + j) = j para i = 1, . . . , q, j = 1, . . . , p, então �υ = pq
(exercício: veri�que!). Logo,
(ω∧η)(®x1, . . . , ®xp+q)
=
1
p!q!
∑
σ∈Sp+q
ω(®xσ(1), . . . , ®xσ(p))η(®xσ(p+1), . . . , ®xσ(p+q))
=
1
p!q!
∑
σ∈Sp+q
ω(®xσυ(q+1), . . . , ®xσυ(q+p))η(®xσυ(1), . . . , ®xσυ(q))
=
1
p!q!
∑
σ∈Sp+q
η(®xσυ(1), . . . , ®xσυ(q))ω(®xσυ(q+1), . . . , ®xσυ(q+p))
=
(−1)pq
p!q!
∑
σ∈Sp+q
η(®xσ(1), . . . , ®xσ(q))ω(®xσ(q+1), . . . , ®xσ(q+p))
= (−1)pq(η ∧ ω)(®x1, . . . , ®xp+q)
para ®x1, . . . , ®xp+q ∈ V quaisquer. Isso implica que o produto ex-
terior de uma p-forma e uma q-forma é comutativo se e somente
se p ou q for par. Se p e q são ímpares, então ω ∧ η = −η ∧ ω –
98
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
em particular, ω ∧ ω = −ω ∧ ω = 0 se ω é uma p-forma emV
com p ímpar.
Veremos a seguir que o fator 1p!q! em (I.52) é também absolu-
tamente crucial para garantir que o produto exterior é associativo:
se ω ∈ ∧pV ′, η ∈ ∧qV ′ e ρ ∈ ∧rV ′, então
(I.55) ω ∧ (η ∧ ρ) = (ω ∧ η) ∧ ρ .
Para tal, notar que se ω :V p → R é p-linear e η é q-linear, então
(I.56)
1
p!
Alt(Alt(ω) ⊗ η) =
1
q!
Alt(ω ⊗ Alt(η)) = Alt(ω ⊗ η) .
O argumento é similar ao usado para obter a representação
(I.53) do produto exterior (ver também o Exercício I.11): dados
®x1, . . . , ®xp+q ∈ V quaisquer, temos que
Alt(Alt(ω) ⊗ η)(®x1, . . . , ®xp+q)
=
∑
σ∈Sp+q
( ∑
τ∈Sp
�σ� τω(®xστ(1), . . . , ®xστ(p))
· η(®xστ(p+1), . . . , ®xστ(p+q))
)
,
com a convenção τ(p + i) = p + i para i = 1, . . . , q. Com isso,
podemos trocar a ordem das somatórias e deixar a somatória em
τ por último. Ao fazermos isso, notamos que passamos a contar
os elementos de Sp+q repetidamente – mais precisamente, para
cada τ ∈ Sp, µ ∈ Sp+q existe uma (única) σ = µτ−1 tal que στ =
µ, e portanto percorrendo os produtos στ para cada σ ∈ Sp+q,
τ ∈ Sp conta cada µ ∈ Sp+q p! vezes, pois esse é o número de
permutações em Sp. Logo, Alt(Alt(ω) ⊗ η) = p!Alt(ω ⊗ η). Um
argumento análogo nos dá Alt(ω ⊗ Alt(η)) = q!Alt(ω ⊗ η).
99
I. Conceitos Preliminares
Com (I.56) à nossa disposição, é fácil provar (I.55) usando a
fórmula (I.49):
ω ∧ (η ∧ ρ)
(I.49)
=
1
p!(q + r)!
Alt(ω ⊗ (η ∧ ρ))
(I.49)
=
1
p!q!r!(q + r)!
Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ ρ))
(I.56)
=
1
p!q!r!
Alt(ω ⊗ (η ⊗ ρ))
=
1
p!q!r!
Alt((ω ⊗ η) ⊗ ρ)
(I.56)
=
1
p!q!r!(p + q)!
Alt(Alt(ω ⊗ η) ⊗ ρ)
(I.49)
=
1
(p + q)!r!
Alt((ω ∧ η) ⊗ ρ)
(I.49)
= (ω ∧ η) ∧ ρ ,
onde na quarta identidade usamos a associatividade do produto
tensorial (ver Exercício 3.3).
A prova da associatividade (I.56) do produto exterior nos leva
a uma fórmula geral para o produto exterior com mais de dois
fatores (sem a necessidade de parênteses): se ωi é uma pi-forma
emV , i = 1, . . . , k, então o produto exterior ω1 ∧ · · · ∧ ωk de
ω1, . . . , ωk é a (p1 + · · · + pk)-forma emV dada por
(I.57) ω1 ∧ · · · ∧ ωk =
1
p1! · · · pk!
Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωk) .
A aplicação
∧p1V ′×· · ·×∧pkV ′ 3 (ω1, . . . , ωk) 7→ ω1∧· · ·∧ωk ∈ ∧
p1+···+pkV ′
dada por (I.57) é claramente k-linear.
Investigaremos agora a relação do produto exterior com o
produto escalar. Primeiramente notemos que (I.47) e o Exercício
100
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
I.10 nos dizem que se ŝ é uma base ordenada o.n. de V com
ŝ(i) = ®ei , i = 1, . . . , n, então
(I.58) ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
[
ip = det ŝI
para cada I = {i1 < · · · < ip} ⊂ {1, . . . , n}, 1 ≤ p ≤ n. Mais em
geral, dados ®x1, . . . , ®xp ∈ V quaisquer, temos que
(I.59) (®x1 ∧ · · · ∧ ®xp)[ = ®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
p ,
justi�cando a notação empregada para o p-vetor ®x1∧· · ·∧ ®xp. De
fato, dados ®y1, . . . , ®yp ∈ V quaisquer, temos pela fórmula (I.48)
para o produto escalar de que
(®x1 ∧ · · · ∧®xp)[(®y1 ∧ · · · ∧ ®yp) = 〈®x1 ∧ · · · ∧ ®xp, ®y1 ∧ · · · ∧ ®yp〉
=
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
det ŝI (®x1, . . . , ®xp)det ŝI (®y1, . . . , ®yp) ,
onde ŝ é uma base ordenada o.n. deV com ŝ(i) = ®ei , i = 1, . . . , n.
Em particular, (®x1 ∧ · · · ∧ ®xp)[(®eI ) = det ŝI (®x1, . . . , ®xp) para cada
I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p. Por outro lado, temos a partir de
(I.47) que
〈®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
p, det ŝI 〉 = (®x
[
1 ∧ · · · ∧ ®x
[
p)(®eI )
= (®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
p)(ŝI )
= det ŝI (®x1, . . . , ®xp)
para cada I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p, logo (®x1 ∧ · · · ∧ ®xp)[ =
®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
p como desejado. A fórmula (I.59) juntamente com
o resultado do exercício (I.10) resultam na forma geral da identi-
101
I. Conceitos Preliminares
dade de Cauchy-Binet, prometida na Observação I.22:
〈®x1 ∧ · · · ∧ ®xp, ®y1 ∧ · · · ∧ ®yp〉 = 〈®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
p, ®y
[
1 ∧ · · · ∧ ®y
[
p〉
= (®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
p)(®y1, . . . , ®yp)
=
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
det ŝI (®x1, . . . , ®xp)det ŝI (®y1, . . . , ®yp)
= det

〈®x1, ®y1〉 · · · 〈®x1, ®yp〉
...
. . .
...
〈®xp, ®y1〉 · · · 〈®xp, ®yp〉
 ,
(I.60)
onde a primeira identidade é consequência do Lema de Riesz. A
vantagem de (I.60) é a sua validade para qualquer base ordenada
o.n. ŝ de V . Em particular, se p ≤ n e ®x1, . . . , ®xp, ®y1, . . . , ®yp
pertencem ao mesmo subespaço vetorialW = L({®e1, . . . , ®ep}),
recuperamos o caso particular (I.35). Se, além disso, tomarmos
®yi = ®xi para cada i = 1, . . . , p, recuperamos (I.33).
Aidentidade geral de Cauchy-Binet (I.60) deixa claro em que
sentido devemos interpretar formas de volume p-dimensionais
como “componentes de volume” ao longo de subespaços vetoriais
p-dimensionais.
Para uso futuro, investigaremos agora como a t.l. de ∧pV ′
em ∧p+1V ′ dada por
∧pV ′ 3 ω 7→ ®x[ ∧ ω ∈ ∧p+1V ′ , ®x ∈ V
se relaciona com o produto escalar de p-formas. Para tal, notar
que
®x[ ∧ ω =
n∑
i=1
〈®ei, ®x〉®e[i ∧ ω ,
portanto podemos reduzir nosso estudo ao caso particular ®x = ®ei ,
ω = det ŝI , onde i = 1, . . . , n, I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p, e
102
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
ŝ : {1, . . . , n = dim(V )} → V é uma base orientada o.n. deV
com ®ei = ŝ(i), i = 1, . . . , n. Devido a (I.58), temos que
®e[i ∧ det ŝI =

0 (i ∈ I)
(−1) jdet ŝI∪{i } (i < I , |{i
′ ∈ I | i′ < i}| = j)
,
I ⊂ {1, . . . , n} , |I | = p
devido à comutatividade graduada (I.54) do produto exterior.
Por outro lado, dados ®x ∈ V , ω ∈ ∧pV ′, de�na a contração de ω
com ®x como a (p − 1)-forma i®xω emV dada por
(i®xω)(®x1, . . . , ®xp−1) =

0 (p = 0)
ω(®x) (p = 1)
ω(®x, ®x1, . . . , ®xp−1) (p > 1)
.
No caso ®x = ®ei , ω′ = det ŝJ , onde i = 1, . . . , n, I ⊂ {1, . . . , n}
com |I | = p, segue que
i®eidet ŝI =

0 (i < I)
(−1) j−1det ŝIr{i } (i = i j)
,
I = {i1 < · · · < ip} ⊂ {1, . . . , n}
Logo, a ortonormalidade (I.47) de ∧p+1(ŝ)′ implica
〈det ŝJ , ®e
[
i ∧ det ŝI 〉 = 〈i®eidet ŝJ , det ŝI 〉 = det ŝJ (®ei, ®ei1, . . . , ®eip)
=

0 (J , I ∪ {i})
(−1) j−1 (J = I ∪ {i} , |{i′ ∈ I | i′ < i}| = j)
,
I, J ⊂ {1, . . . , n} , |I | = p , | J | = p + 1 ,
donde segue que
〈i®xω, η〉 = 〈ω, ®x
[ ∧ η〉
103
I. Conceitos Preliminares
para ω ∈ ∧pV ′, η ∈ ∧p−1V ′, ®x ∈ V quaisquer. Em outras
palavras, a contração com ®x ∈ V é a adjunta do produto exterior
com ®x[.
A última operação algébrica a ser de�nida sobre p-formas
é ligada ao Lema de Riesz. Seja V um espaço vetorial (real)
com dim(V ) = n < ∞, ŝ uma base ordenada o.n. de V com
ŝ(i) = ®ei , i = 1, . . . , n, e p ∈ {0, 1, . . . , n}. Dada uma p-forma
ω em V , temos que ω ∧ η ∈ ∧nV ′ para toda (n − p)-forma η
em V . Lembrando que dim(∧nV ′) = 1 – em particular, toda
n-forma emV é um múltiplo escalar da forma de volume det ŝ =
®e[1 ∧ · · · ∧ ®e
[
n –, podemos de�nir o funcional linearTω em ∧
n−pV ′
pela fórmula
Tω(η) = 〈®e[1 ∧ · · · ®e
[
n, ω ∧ η〉 = (ω ∧ η)(®e1 ∧ · · · ∧ ®en)
= (ω ∧ η)(®e1, . . . , ®en) , η ∈ ∧n−pV ′ .
(I.61)
Pelo Lema de Riesz, existe uma única (n − p)-forma ∗ω emV
tal que
(I.62) Tω(η) = 〈∗ω, η〉 , η ∈ ∧n−pV ′ .
Dizemos que ∗ω é o dual de Hodge de ω com respeito à formaNotar que ∗ω depende não
só de det ŝ mas também do
produto escalar em V , ao
passo que o produto exte-
rior é independente desses
dois objetos.
de volume n-dimensional det ŝ = ®e[1 ∧ · · · ∧ ®e
[
n.
Segue de (I.61) e da bilinearidade do produto exterior que
a aplicação ∗ : ∧pV ′ → ∧n−pV ′ é linear: dados ω, ω′ ∈ ∧pV ′,
η ∈ ∧n−pV ′, α ∈ R quaisquer, temos que
〈∗(ω + ω′), η〉 = ((ω + ω′) ∧ η)(®e1, . . . , ®en)
= (ω ∧ η)(®e1, . . . , ®en) + (ω′ ∧ η)(®e1, . . . , ®en)
= 〈∗ω, η〉 + 〈∗ω′, η〉 ,
〈∗(αω), η〉 = ((αω) ∧ η)(®e1, . . . , ®en)
= α(ω ∧ η)(®e1, . . . , ®en)
= α〈∗ω, η〉 .
104
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
Chamamos ∗ de operador ∗ (“estrela”) de Hodge. Discutiremos
agora algumas de suas propriedades.
(a) ∗det ŝ = ∗(®e[1 ∧ · · · ∧ ®e
[
n) = 1 e ∗1 = det ŝ = ®e
[
1 ∧ · · · ∧ ®e
[
n.
(b) Se I = {i1 < · · · < ip}, J = { j1 < · · · < jn−p} ⊂
{1, . . . , n} com p ∈ {1, . . . , n − 1}, então a identidade
de Cauchy-Binet (I.60) e a de�nição (I.61)-(I.62) de ∗ nos
dão
〈∗det ŝI , det ŝJ 〉 = (det ŝI ∧ det ŝJ )(®e1, . . . , ®en)
= (®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
[
ip ∧ ®e
[
j1
∧ · · · ∧ ®e[jn−p)(®e1, . . . , ®en)
= det ŝ(®ei1, . . . , ®eip , ®e j1, . . . , ®e jn−p)
=

0 (I ∩ J , �)
σ∗ det ŝ(ŝ) = �σ (I ∩ J = �)
,
onde σ ∈ Sn é a permutação dada por
(I.63)
σ(k) = ik , k = 1, . . . , p ; σ(p + l) = jl , l = 1, . . . , n − p
se I ∩ J = �. Notar que nesse caso J = {1, . . . , n} r I e,
em particular, σ ∈ Shp,n−p. Portanto,
(I.64) ∗det ŝI = �σdet ŝJ , J = {1, . . . , n} r I ,
com σ ∈ Sn dada por (I.63). A fórmula (I.64) determina
o operador ∗ de Hodge completamente em termos da base
ordenada o.n. ŝ se 1 ≤ p ≤ n − 1 – os casos p = 0 e p = n
são determinados pela propriedade (a) acima.
(c) Segue de (I.64) que se I = {i1 < · · · < ip} ⊂ {1, . . . , n},
p ∈ {1, . . . , n − 1}, de modo que J = {1, . . . , n} r I =
{ j1 < · · · < jn−p} e portanto I = {1, . . . , n} r J , então
∗∗det ŝI = �σ∗det ŝJ = �σ� τdet ŝI ,
105
I. Conceitos Preliminares
onde σ ∈ Sn é dada por (I.63) e τ ∈ Sn, por sua vez, é
dada por
(I.65)
τ(l) = jl , l = 1, . . . , n−p ; σ(n−p+k) = ik , l = 1, . . . , p .
Lembrar agora que � τ = � τ−1 e portanto �σ� τ = � τ−1σ ,
onde
τ−1σ(k) = n − p + k , k = 1, . . . , p ,
τ−1σ(p + l) = l , l = 1, . . . , n − p ,
logo �σ� τ = � τ−1σ = (−1)
p(n−p), tal como na prova da
comutatividade graduada (I.54) do produto exterior. Con-
cluímos destarte que
(I.66) ∗∗ = (−1)p(n−p)1
como aplicação de ∧pV ′ em si mesmo. Em particular,
nesse caso ∗−1 = (−1)p(n−p)∗ . Notar que (I.66) permanece
válida se p = 0 ou p = n pela propriedade (a) acima, pois
(−1)p(n−p) = (−1)0 = 1 nesse caso.
(d) Se ω é uma p-forma emV e η é uma (n − p)-forma emV ,
p ∈ {0, 1, . . . , n}, então pela simetria do produto escalar,
pela de�nição de ∗ e pela comutatividade graduada (I.54)
do produto exterior
〈ω, ∗η〉 = 〈∗η, ω〉 = (η ∧ ω)(®e1, . . . , ®en)
= (−1)p(n−p)(ω ∧ η)(®e1, . . . , ®en)
= (−1)p(n−p)〈∗ω, η〉
= 〈∗−1ω, η〉 ,
(I.67)
onde a última identidade segue de (I.66). Em particular,
se η = ∗ ρ para uma p-forma ρ emV , (I.67) implica
(I.68) 〈∗ω, ∗ ρ〉 = (ω ∧ ∗η)(®e1, . . . , ®en) = 〈ω, ρ〉 .
106
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
O operador ∗ de Hodge nos dá uma forma alternativa para a
contração i®xω de uma p-forma ω emV com ®x ∈ V
(i®xω)(®x1, . . . , ®xp−1) =

0 (p = 0)
ω(®x) (p = 1)
ω(®x, ®x1, . . . , ®xp−1) (p > 1)
em termos do produto exterior – a saber,
i®xω = (−1)
p+1∗−1(®x[ ∧ ∗ω) = (−1)(p+1)(n−p)∗(®x[ ∧ ∗ω)
= (−1)n−p∗(®x[ ∧ ∗−1ω) .
Notar que basta mostrar a primeira identidade, pois a segunda e
terceira identidades seguem de (I.66) (por quê?). Não há perda
de generalidade se assumirmos p > 0 pois no caso p = 0 todas
as expressões acima dão zero. Sendo assim, temos para η ∈
∧p−1V ′ qualquer que, devido à comutatividade graduada (I.54)
do produto exterior, (I.68) e ao fato que 〈η, i®xω〉 = 〈®x[ ∧ η, ω〉,
〈η, i®xω〉 = 〈®x
[ ∧ η, ω〉 = (®x[ ∧ η ∧ ∗ω)(®e1, . . . , ®en)
= (−1)p−1(η ∧ ®x[ ∧ ∗ω)(®e1, . . . , ®en)
= (−1)p−1〈∗η, ®x[ ∧ ∗ω〉
= (−1)p+1〈η, ∗−1(®x[ ∧ ∗ω)〉 .
Retornemos agora ao nosso caminho. Denotando
®x[1 ∧ · · · ∧®x
[
i−1 ∧ ®x
[
i+1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n
= ®x[1 ∧ · · · ∧ ®̂x
[
i ∧ · · · ∧ ®x
[
n , i = 1, . . . , n
para ®x1, . . . , ®xn ∈ V quaisquer, os casos p = 1 e p = n − 1 de
(I.64) �cam respectivamente
∗®e[i = (−1)
i−1®e[1 ∧ · · · ∧ ®̂e
[
i ∧ · · · ∧ ®e
[
n , i = 1, . . . , n(I.69)
107
I. Conceitos Preliminares
e, devido a (I.66),
∗(®e[1 ∧ · · · ∧ ®̂e
[
i ∧ · · · ∧ ®e
[
n)
= (−1)n−1∗−1(®e[1 ∧ · · · ∧ ®̂e
[
i ∧ · · · ∧ ®e
[
n)
= (−1)n−i®e[i .
(I.70)
De fato, pela comutatividade graduada (I.54) e associatividade
(I.56) do produto exterior,
〈∗®e[i , ®e
[
1 ∧ · · · ∧ ®̂e
[
i ∧ · · · ∧ ®e
[
n〉
= (®e[i ∧ ®e
[
1 ∧ · · · ∧ ®e
[
i−1 ∧ ®e
[
i+1 ∧ · · · ∧ ®e
[
n)(®e1, . . . , ®en)
= (−1)i−1(®e[1 ∧ · · · ∧ · · · ∧ ®e
[
n)(®e1, . . . , ®en)
= (−1)i−1 .
A fórmula (I.69) é particularmente útil no cálculo de deter-
minantes de t.l.’s T : V → V . Se T®ei = ®xi , i = 1, . . . , n, de
modo que pela de�nição de det(T ) e pelo Lema de Riesz,
det(T ) = det ŝ(®x1, . . . , ®xn) = (®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n)(®e1, . . . , ®en) ,
segue de (I.69) aplicada ao cálculo de ∗ ®x[j que
∗ ®x j =
n∑
i=1
〈®ei, ®x j〉∗®e[j =
n∑
i=1
(−1)i−1〈®ei, ®x j〉(®e[1 ∧ · · · ∧ ®̂e
[
i ∧ · · · ∧ ®e
[
n)
j = 1, . . . , n, e da identidade de Cauchy-Binet (I.60) a fórmula
1083. Formas de volume e Álgebra Exterior
de Laplace para det(T ):
det(T ) = 〈∗ ®x[1, ®x2 ∧ · · · ∧ ®x
[
n〉
= (−1) j−1〈∗ ®x[j , ®x
[
1 ∧ · · · ∧ ®̂x
[
j ∧ · · · ∧ ®x
[
n〉
=
n∑
i=1
(−1)i+ j 〈®ei, ®x j〉
=
n∑
i=1
(−1)i+ j · 〈®e[1 ∧ · · · ∧ ®̂e
[
i ∧ · · · ∧ ®e
[
n, ®x
[
1 ∧ · · · ∧ ®̂x
[
j ∧ · · · ∧ ®x
[
n〉
=
n∑
i=1
Cof (A) jiA
j
i ,
onde a segunda identidade segue da comutatividade graduada
(I.54) e da associatividade (I.56) do produto exterior, e o fator
Cof (A) ji multiplicando A
j
i = 〈®ei,T®e j〉 = 〈®ei, ®x j〉 na somatória
acima é o chamado cofator da matriz A de T em S na i-ésima
linha e na j-ésima coluna, que basicamente é (−1)i+ j vezes o
determinante da matriz (n − 1) × (n − 1) obtida a partir de A
excluindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna: Amatriz obtida dessa forma
é conhecida como o menor
de A na i-ésima linha e j-
ésima coluna.
Cof (A) ji
= (−1)i+ jdet

〈®e1,T®e1 〉 · · · 〈®e1,T®e j−1 〉 〈®e1,T®e j+1 〉 · · · 〈®e1,T®en 〉
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
〈®ei−1,T®e1 〉 · · · 〈®ei−1,T®e j−1 〉 〈®ei−1,T®e j+1 〉 · · · 〈®ei−1,T®en 〉
〈®ei+1,T®e1 〉 · · · 〈®ei+1,T®e j−1 〉 〈®ei+1,T®e j+1 〉 · · · 〈®ei+1,T®en 〉
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
〈®en,T®e1 〉 · · · 〈®en,T®e j−1 〉 〈®en,T®e j+1 〉 · · · 〈®en,T®en 〉

.
A importância dessa fórmula reside no fato que a tarefa de calcu-
lar determinantes de matrizes n × n se reduz à tarefa de calcular
determinantes de matrizes (n−1)×(n−1). Além disso, a fórmula
de Laplace para det(A) também nos fornece um algoritmo para
o cálculo de A−1 se det(A) , 0. Observando agora que
Notar que det (A) =
det (T ) , 0 se e somente
se T®e1, . . . ,T®en são l.i. e
portantoT é invertível.
n∑
i=1
Cof (A) jiA
k
i = (−1)
j−1〈∗ ®x[k, ®x
[
1 ∧ · · · ∧ ®̂x
[
j ∧ · · · ∧ ®x
[
n〉 = 0
109
I. Conceitos Preliminares
para todo k , j e de�nindo a adjunta de A como a transpostaNão confundir a adjunta de
uma matriz com a adjunta
de uma t.l.!
Cof (A)T = [Cof (A)ij] da matriz de cofatores Cof (A) = [Cof (A)
j
i ]
de A, vemos que
n∑
i=1
Cof (A) jiA
k
i = (Cof (A)
TA)kj =

0 (k , j)
det(A) (k = j)
,
ou seja,
Cof (A)TA = ACof (A)T = det(A)1 ,
onde na primeira identidade usamos os fatos det(AT ) = det(A),
(AB)T = BTAT e Cof (A)T = Cof (AT ) (Exercício: prove os
dois últimos fatos). A fórmula de Laplace é mais comumente
empregada tal como ela aparece na segunda identidade:
det(A) = (ACof (A)T ) jj =
n∑
i=1
Cof (A)ijA
i
j .
Segue da fórmula acima que se det(A) , 0, então
A−1 =
1
det(A)
Cof (A)T .
Com a fórmula de Laplace, o determinante de uma matriz 3× 3
A �ca, tomando-se (digamos) j = 1:
det(A) = det

A11 A
2
1 A
3
1
A12 A
2
2 A
3
2
A13 A
2
3 A
3
3

= det
[
A22 A
3
2
A23 A
3
3
]
A11 − det
[
A12 A
3
2
A13 A
3
3
]
A21
+ det
[
A12 A
1
2
A13 A
2
3
]
A31 .
110
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação das fórmulas
(I.69) e (I.70) para o operador ∗ de Hodge no caso da base orien-
tada canônica ŝ = (®e1 = (1, 0), ®e2 = (0, 1)) de R2
(I.71) ∗®e[1 = ®e
[
2 , ∗®e
[
2 = −®e
[
1
e da base orientada canônica ŝ = (®e1 = (1, 0, 0), ®e2 = (0, 1, 0), ®e3 =
(0, 0, 1)) de R3
∗®e[1 = ®e
[
2 ∧ ®e
[
3 , ∗®e
[
2 = −®e
[
1 ∧ ®e
[
3 , ∗®e
[
3 = ®e
[
1 ∧ ®e
[
2 ,
∗(®e[1 ∧ ®e
[
2) = ®e
[
3 , ∗(®e
[
1 ∧ ®e
[
3) = −®e
[
2 , ∗(®e
[
2 ∧ ®e
[
3) = ®e
[
1 ,
(I.72)
de modo que, dados ®x = (x1, x2, x3), ®y = (y1, y2, y3), ®z = (z1, z2,
z3) ∈ R3 quaisquer, temos pela linearidade de ∗ que
∗ ®x[ = ∗(x1®e[1 + x2®e
[
2 + x3®e
[
3)
= x1(®e[2 ∧ ®e
[
3) − x2(®e
[
1 ∧ ®e
[
3) + x3(®e
[
1 ∧ ®e
[
2) ,
∗(®x[ ∧ ®y[) = ∗((x1®e[1 + x2®e
[
2 + x3®e
[
3) ∧ (y1®e
[
1 + y2®e
[
2 + y3®e
[
3))
= ∗((x1y2 − x2y1)(®e[1 ∧ ®e
[
2) + (x1y3 − x3y1)(®e
[
1 ∧ ®e
[
3)
+ (x2y3 − x3y2)(®e[2 ∧ ®e
[
3))
= (x1y2 − x2y1)®e[3 + (x3y1 − x1y3)®e
[
2 + (x2y3 − x3y2)®e
[
1 .
(I.73)
Esse cálculo, como veremos na Subseção 3.4 abaixo, está
ligado ao conceito de produto vetorial em R3.
3.6 Exercício. Sejam ŝ1 e ŝ2 bases ordenadas o.n. de V , cujos res-
pectivos operadores de Hodge são denotados por ∗1 e ∗2. Mostre que
∗1 = ∗2 se e somente se ŝ1 e ŝ2 tem a mesma orientação, e ∗1 = −∗2
se e somente se ŝ1 e ŝ2 tem orientações opostas.
3.4. Identidades vetoriais: o produto vetorial e o produtomisto.
Encerraremos este Capítulo com uma derivação particularmente
111
I. Conceitos Preliminares
rápida e elegante das fórmulas algébricas principais da análise
vetorial em R3 (por vezes denominadas coletivamente de iden-
tidades vetoriais) usando o maquinário de Álgebra Exterior de-
senvolvido nas Subseções 3.2 e 3.3. Nosso método também nos
permitirá ver de que modo tais fórmulas, que serão de grande
utilidade nos Capítulos subsequentes, se generalizam para di-
mensões maiores que 3.
SejaV um espaço vetorial (real), 2 < dim(V ) = n < ∞, e ŝ
uma base ordenada o.n. deV . Se ∗ é o operador ∗ de Hodge
associado a ŝ, dizemos que o produto vetorial (ou produto cruzado)
dos n − 1 vetores ®x1, . . . , ®xn−1 ∈ V é o vetor ®x1 × · · · × ®xn−1 ∈ V
dado por
(I.74)
®x1 × · · · × ®xn−1 = (∗(®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1))
] = (∗((®x1 ∧ · · · ∧ ®xn−1)[))] .
De particular interesse, claro, é o caso n = 3, de modo que
n − 1 = 2 e portanto possamos falar do produto vetorial ®x × ®y
de dois vetores ®x, ®y ∈ V . A fórmula (I.74) nos permite isolar as
principais propriedades de ®x1 × · · · × ®xn−1:
(a) Obviamente
®xσ(1) × · · · × ®xσ(n−1) = �σ ®x1 × · · · × ®xn−1
para todo σ ∈ Sn−1, ®x1, . . . , ®xn−1 ∈ V quaisquer. Em
particular, se n = 3, ®y× ®x = −®x×®y para ®x, ®y ∈ V quaisquer;
(b) Pela linearidade de ∗ e dos isomor�smos musicais e pela
(n − 1)-linearidade do produto exterior de n − 1 1-formas,
112
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
temos que o produto vetorial é (n − 1)-linear:
®x1 × · · · × (®xi + ®x′i) × · · · × ®xn−1
= ®x1 × · · · × ®xi × · · · × ®xn−1
+ ®x1 × · · · × ®x′i × · · · × ®xn−1 ,
®x1 × · · · × (α ®xi) × · · · × ®xn−1
= α ®x1 × · · · × ®xi × · · · × ®xn−1 ,
®x1, . . . , ®xn−1, ®x′1, . . . , ®x
′
n−1 ∈ V , α ∈ R quaisquer. Em
particular, ®x1 × · · · × ®xn−1 = ®0 se ®xi = ®0 para algum i =
1, . . . , n − 1;
(c) Seja ŝ1 uma base ordenada o.n. de V com a mesma ori-
entação de ŝ tal que ®x1, . . . , ®xn ∈ L({ŝ1(1), . . . , ŝ1(n − 1)})
(isso sempre pode ser conseguido mudando o sinal de ŝ1(n)
se necessário), de modo que se ∗1 é o operador de Hodge
associado a ŝ1, então ∗1 = ∗ :
®x j =
n−1∑
i=1
〈ŝ1(i), ®x j〉 ŝ1(i) , j = 1, . . . , n − 1 .
Como
®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1
= det (ŝ1){1, ...,n−1}(®x1, . . . , ®xn−1)ŝ1(1)
[ ∧ · · · ∧ ŝ1(n − 1)[ ,
segue que
®x1 × · · · × ®xn−1 = det (ŝ1){1, ...,n−1}(®x1, . . . , ®xn−1)ŝ1(n)
é ortogonal a L({ŝ1(1), . . . , ŝ1(n − 1)}) – em particular,
〈®xi, ®x1 × · · · × ®xn−1〉 = 0 , i = 1, . . . , n − 1 .
113
I. Conceitos Preliminares
(d) A norma de ®x1 × · · · × ®xn−1 segue imediatamente de (I.68)
e da identidade de Cauchy-Binet I.60:
‖ ®x1 × · · · × ®xn−1‖2 = 〈®x1 × · · · × ®xn−1, ®x1 × · · · × ®xn−1〉
= 〈∗(®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1), ∗(®x
[
1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1)〉
= 〈®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1, ®x
[
1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1〉
= det

〈®x1, ®x1〉 · · · 〈®x1, ®xn−1〉
...
. . .
...
〈®xn−1, ®x1〉 · · · 〈®xn−1, ®xn−1〉

= |Q(®x1, . . . , ®xn−1)|2 .
Ou seja, a norma de ®x1 × · · · × ®xn−1 é a área do parale-
pípedo (n − 1)-dimensional Q(®x1, . . . , ®xn−1) gerado por
®x1, . . . , ®xn−1. Além disso, se ®x1, . . . , ®xn−1 são l.i. (de modo
que |Q(®x1, . . . , ®xn−1)| , 0), então o sinal da componente
de ®x1 × · · · × ®xn−1 ao longo de ŝ1(n), onde ŝ1 é a base orien-
tada o.n. considerada em (c) acima, é tal que a t.l. invertível
T :V →V dada por
T ŝ1( j) = ®x j , j = 1, . . . , n − 1 , T ŝ1(n) = ®x1 × · · · × ®xn−1
preserva orientação.
As propriedades (a)-(d) acima determinam ®x1 × · · · × ®xn−1
completamente, sem a necessidade da fórmula geral (I.74): dados
®x1, . . . , ®xn−1 ∈ V , temos que ®x1 × · · · × ®xn−1 é o único vetor em
V tal que:
• ®x1 × · · · × ®xn−1= ®0 se ®x j = ®0 para algum j = 1, . . . , n − 1;
• Se ®x1, . . . , ®xn−1 , ®0, então 〈®x j, ®x1 × · · · × ®xn−1〉 = 0 para
todo j = 1, . . . , n−1 e ‖ ®x1×· · ·×®xn−1‖ = |Q(®x1, . . . , ®xn−1)|;
114
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
• Se ®x1, . . . , ®xn−1 são l.i., então a t.l. invertívelT : V → V
dada por
T®e j = ®x j , j = 1, . . . , n − 1 , T®en = ®x1 × · · · × ®xn−1
preserva orientação.
De fato, pelas duas primeiras propriedades concluímos que
®x1 × · · · × ®xn−1 = ®0 se ®x1, . . . , ®xn−1 são l.d., portanto não há
perda de generalidade se assumirmos de agora em diante que
®x1, . . . , ®xn−1 são l.i.. Nesse caso, a segunda propriedade deter-
mina a norma e a direção de ®x1 × · · · × ®xn−1, portanto determina
®x1 × · · · × ®xn−1 a menos de um sinal. Esse sinal, por sua vez, é
determinado pela terceira propriedade. Contudo, é razoavel-
mente trabalhoso determinar a fórmula de ®x1 × · · · × ®xn−1 em
termos das componentes de ®x1, . . . , ®xn−1 na base o.n. S = Im(ŝ)
usando apenas essas propriedades. Fazer isso por meio da fór-
mula (I.74) é bemmais simples – basta usar a fórmula de Laplace
para det(Tj), ondeTj :V →V é a t.l. dada por
Tj®ei = ®xi , i = 1, . . . , n − 1 , Tj®en = ®e j .
De fato:
〈®e j, ®x1 × · · · × ®xn−1〉 = 〈∗(®x[1 ∧ ®x
[
n−1), ®e
[
j 〉
= det ŝ(®x1, . . . , ®xn−1, ®ei)
=
n∑
i=1
〈®ei, ®e j〉Cof (Aj)ni = Cof (Aj)
n
j ,
115
I. Conceitos Preliminares
onde Aj é a matriz deTj na base S. Logo,
〈®e j, ®x1 × · · · × ®xn−1〉 = Cof (Aj)nj
= (−1)n+ jdet

〈®e1, ®x1〉 · · · 〈®e1, ®xn−1〉
...
. . .
...
〈®e j−1, ®x1〉 · · · 〈®e j−1, ®xn−1〉
〈®e j+1, ®x1〉 · · · 〈®e j+1, ®xn−1〉
...
. . .
...
〈®en, ®x1〉 · · · 〈®en, ®xn−1〉

e portanto
(I.75)
®x1 × · · · × ®xn−1 =
n∑
j=1
〈®e j, ®x1 × · · · × ®xn−1〉®e j =
n∑
j=1
Cof (Aj)nj ®e j .
A fórmula (I.75) é frequentemente escrita de maneira mais con-
densada (e ligeiramente abusiva) em termos do “determinante”
(I.76) ®x1 × · · · × ®xn−1 = det

〈®e1, ®x1〉 · · · 〈®en, ®x1〉
...
. . .
...
〈®e1, ®xn−1〉 · · · 〈®en, ®xn−1〉
®e1 · · · ®en

.
No caso n = 3, a fórmula (I.76) �ca
®x1 × ®x2 = det

〈®e1, ®x1〉 〈®e2, ®x1〉 〈®e3, ®x1〉
〈®e1, ®x2〉 〈®e2, ®x2〉 〈®e3, ®x2〉
®e1 ®e2 ®e3

e justi�ca nossa identi�cação de |det ŝ(®x1, ®x2, ®x3)| com o volume
do paralelepípedo tridimensionalQ(®x1, ®x2, ®x3) gerado por veto-
res l.i. ®x1, ®x2, ®x3 ∈ V . Dado que ®x1 × ®x2 é ortogonal a ®x1 e ®x2,
e sua norma é igual à área da baseQ(®x1, ®x2) do paralelepípedo
Q(®x1, ®x2, ®x3), a altura h do último é claramente dada pelo mó-
dulo da componente de ®x3 normal ao subespaço vetorial gerado
116
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
por {®x1, ®x2} na base ordenada o.n. ŝ, ou seja, h = ‖ ®x3‖ · | cos(φ)|,
onde φ é o ângulo entre ®x1 × ®x2 e ®x3. Logo,
|Q(®x1, ®x2, ®x3)| = |Q(®x1, ®x2)|h = ‖ ®x1 × ®x2‖ · ‖ ®x3‖ · | cos(φ)|
= |〈®x1 × ®x2, ®x3〉| = |〈∗(®x[1 ∧ ®x
[
2), ®x
[
3〉|
= |(®x[1 ∧ ®x
[
2 ∧ ®x
[
3)(®e1, ®e2, ®e3)|
= |det ŝ(®x1, ®x2, ®x3)| .
(I.77)
A expressão 〈®x1 × ®x2, ®x3〉 é conhecida como produto misto de
®x1, ®x2, ®x3. Podemos reescrevê-lo ainda usando a penúltima iden-
tidade em (I.77) como
(I.78) 〈®x1 × ®x2, ®x3〉 = ∗(®x[1 ∧ ®x
[
2 ∧ ®x
[
3) .
O lado direito obviamente faz sentido em qualquer dimensão
n, mas é um escalar somente se n = 3. Para n > 3 qualquer, o
produto misto é substituído por
det ŝ(®x1, . . . , ®xn) = 〈∗(®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1), ®x
[
n〉
= 〈(∗(®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1))
], ®xn〉
= 〈®x1 × · · · × ®xn−1, ®xn〉
= ∗(®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n) .
(I.79)
Pensando em termos da fórmula de Laplace, podemos usar
(I.79) para justi�car de maneira recursiva nossa identi�cação
de |det ŝ(®x1, . . . , ®xn)| com o volume do paralelepípedo n-dimen-
sionalQ(®x1, . . . , ®xn) para n > 3, analogamente ao caso tridimen-
sional.
Encerramos nossa discussão com uma identidade curiosa.
Dados ®x1, ®x2, ®x3 ∈ V , de�nimos o produto vetorial duplo à esquerda
de ®x1, ®x2, ®x3 como o vetor
(I.80) ®x1 × (®x2 × ®x3) = (∗(®x[1 ∧ ∗(®x
[
2 ∧ ®x
[
3)))
]
117
I. Conceitos Preliminares
e o produto vetorial duplo à direita de ®x1, ®x2, ®x3 como o vetor
(I.81) (®x1 × ®x2) × ®x3 = (∗(∗(®x[1 ∧ ®x
[
2) ∧ ®x
[
3)))
] .
De fato, temos que
∗(®x[1 ∧ ®x
[
2), ∗(®x
[
2 ∧ ®x
[
3) ∈ ∧
n−2V ′
e portanto
®x1 × (®x2 × ®x3) , (®x1 × ®x2) × ®x3 ∈ V
para todo n ∈ N – diferentemente do produto vetorial, que
precisa ser de�nido para n − 1 vetores deV de modo que que o
resultado esteja emV . Pela comutatividade graduada (I.54) do
produto exterior, temos que
®x[1 ∧ ∗(®x
[
2 ∧ ®x
[
3) = (−1)
n−2∗(®x[2 ∧ ®x
[
3) ∧ ®x
[
1
e
®x[1 ∧ ∗(®x
[
2 ∧ ®x
[
3) = −®x
[
1 ∧ ∗(®x
[
3 ∧ ®x
[
2) ,
de modo que
(I.82) ®x1 × (®x2 × ®x3) = (−1)n(®x2 × ®x3) × ®x1 = −®x1 × (®x3 × ®x2) .
Essa propriedade é consistente com o fato de que para n = 3
ambas as operações se reduzem à sucessão de dois produtos
vetoriais – (I.80) à esquerda e (I.81) à direita, daí a notação.
A distinção entre ambos os produtos vetoriais duplos (I.80)
e (I.81) é necessária não apenas pelo fato que eles não são iguais,
mas também porque nenhum deles coincide com ®x1×®x2×®x3 se n =
4! Em particular, o produto vetorial para n = 3 não é associativo!
Para ver isso, calculemos as componentes de (®x1 × ®x2) × ®x3 em
118
3. Formas de volume e Álgebra Exterior
S = Im(ŝ) com o auxílio da identidade de Cauchy-Binet (I.60):
〈®ei, (®x1 × ®x2) × ®x3〉 = 〈∗(∗(®x[1 ∧ ®x
[
2) ∧ ®x
[
3), ®e
[
i 〉
= (∗(®x[1 ∧ ®x
[
2) ∧ ®x
[
3 ∧ ®e
[
i )(®e1, . . . , ®en)
= 〈®x[1 ∧ ®x
[
2, ®x
[
3 ∧ ®e
[
i 〉
= det
[
〈®x1, ®x3〉 〈®x1, ®ei〉
〈®x2, ®x3〉 〈®x2, ®ei〉
]
= 〈®x1, ®x3〉〈®ei, ®x2〉 − 〈®x2, ®x3〉〈®ei, ®x1〉 ,
i = 1, . . . , n, de modo que
(I.83) (®x1 × ®x2) × ®x3 = 〈®x1, ®x3〉 ®x2 − 〈®x2, ®x3〉 ®x1 .
Intuitivamente, esperávamos que, para n = 3, (®x1 × ®x2) × ®x3
deveria ser uma c.l. de ®x1 e ®x2. A�nal, sabemos que nesse caso
(®x1×®x2)×®x3 é ortogonal a ®x1×®x2, portanto pertence ao subespaço
vetorialW = L({®x1, ®x2}) já que (1 − PW )(®x1 × ®x2) × ®x3 = ®0
(exercício: mostre isso). O surpreendente é concluir que o mesmo
continua válido para n > 3. O mesmo não pode ser dito de
®x1 × ®x2 × ®x3 para n = 4: nesse caso, sabemos que tal vetor deve
ser ortogonal a ®x1, ®x2 e ®x3, portanto não pode ser c.l. deles a
menos que um deles seja ®0 pois nesse caso ®x1× ®x2× ®x3 = ®0. Logo,
(®x1 × ®x2) × ®x3 e ®x1 × ®x2 × ®x3 para n = 4 são fundamentalmente
diferentes. Devido a (I.82), ®x1 × (®x2 × ®x3) e ®x1 × ®x2 × ®x3 também
são fundamentalmente diferentes para n = 4. Também segue
de (I.83) a não-associatividade do produto vetorial em n = 3:
temos devido a essa fórmula e a (I.82) que
®x1 × (®x2 × ®x3) = −(®x2 × ®x3) × ®x1
= 〈®x1, ®x3〉 ®x2 − 〈®x1, ®x2〉 ®x3
, (®x1 × ®x2) × ®x3 .
119
I. Conceitos Preliminares
Sumarizamos a identidades vetoriais encontradas e as res-
pectivas expressões em termos de Álgebra Exterior nas tabelas
abaixo.
n = 3
®a × ®b = (∗(®a[ ∧ ®b[))] = det

〈®e1, ®a〉 〈®e2, ®a〉 〈®e3, ®a〉
〈®e1, ®b〉 〈®e2, ®b〉 〈®e3, ®b〉
®e1 ®e2 ®e3

〈®a × ®b, ®c〉 = ∗(®a[ ∧ ®b[ ∧ ®c[) = det

〈®e1, ®a〉 〈®e1, ®b〉 〈®e1, ®c〉
〈®e2, ®a〉 〈®e2, ®b〉 〈®e2, ®c〉
〈®e3, ®a〉 〈®e3, ®b〉 〈®e3, ®c〉

Álgebra Vetorial
〈®a × ®b, ®c × ®d〉 = 〈®a, ®c〉〈®b, ®d〉 − 〈®a, ®d〉〈®b, ®c〉
(®a × ®b) × ®c = −®c × (®a × ®b) = 〈®a, ®c〉 ®b − 〈®b, ®c〉®a
Álgebra Exterior
〈®a[ ∧ ®b[, ®c[ ∧ ®d[〉 = 〈®a, ®c〉〈®b, ®d〉 − 〈®a, ®d〉〈®b, ®c〉
∗(®a[ ∧ ®b[) ∧ ®c[ = −®c[ ∧ ∗(®a[ ∧ ®b[) = 〈®a, ®c〉∗ ®b[ − 〈®b, ®c〉∗ ®a[
n qualquer
®x1 × · · · × ®xn−1 = (∗(®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1))
]
〈®x1 × · · · × ®xn−1, ®xn〉 = ∗(®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n) = det ŝ(®x1, . . . , ®xn)
Álgebra Vetorial
〈®x1 × · · · × ®xn−1, ®y1 × · · · × ®yn−1〉 = det

〈®x1, ®y1〉 · · · 〈®x1, ®yn−1〉
...
. . .
...
〈®xn−1, ®y1〉 · · · 〈®xn−1, ®yn−1〉

(®a × ®b) × ®c = (−1)n®c × (®a × ®b) = 〈®a, ®c〉 ®b − 〈®b, ®c〉®a
Álgebra Exterior
〈®x[1 ∧ · · · ∧ ®x
[
n−1, ®y
[
1 ∧ · · · ∧ ®y
[
n−1〉 = det

〈®x1, ®y1〉 · · · 〈®x1, ®yn−1〉
...
. . .
...
〈®xn−1, ®y1〉 · · · 〈®xn−1, ®yn−1〉

∗(®a[∧ ®b[) ∧ ®c[ = (−1)n−2®c[ ∧ ∗(®a[ ∧ ®b[) = 〈®a, ®c〉∗ ®b[ − 〈®b, ®c〉∗ ®a[
Isso encerra nossos preparativos algébricos. Agora �nalmente
podemos retornar ao desenvolvimento do Cálculo Vetorial.
120
IIAnálise Vetorial: Campos Vetoriais
e Formas Diferenciais
Este Capítulo tem como objetivo o desenvolvimento do
cálculo diferencial de campos vetoriais e formas diferenciais.
Grosso modo, um campo vetorial m-dimensional é simplemente
uma aplicação a valores num espaço vetorial m-dimensional,
que identi�camos de agora em diante com Rm, enquanto que
uma p-forma diferencial é um campo de p-formas, ou seja, uma
aplicação a valores no espaço de p-formas num espaço vetorial.
Exige-se que tais objetos sejam diferenciáveis, num sentido que
será tornado preciso mais adiante.
Estudaremos também certas operações sobre campos vetori-
ais e formas diferenciais relacionadas com derivadas (parciais),
que chamamos genericamente de operadores diferenciais. Mais
precisamente, estamos interessados em operadores diferenciais
lineares, que agem como t.l.’s nos espaços vetoriais de campos
vetoriais e formas diferenciais.
1. Campos vetoriais e operadores diferenciais
Os conceitos a seguir podem ser formulados de maneira
análoga para qualquer espaço vetorial (real) V munido de um
produto escalar, mas restrigir-nos-emos a Rn. Para uma revi-
são das noções necessárias de Cálculo Diferencial de funções e
aplicações de várias variáveis, reportamo-nos ao Apêndice A.
1.1. Aplicações diferenciáveis e campos vetoriais. Dado � ,
U ⊂ Rn aberto, lembrar que dizemos que uma função (ou apli-
cação) em U é continuamente diferenciável ou C1 (em U ) se as
derivadas parciais dessa função (ou das componentes dessa apli-
121
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
cação) são todas contínuas (emU ), de forma que uma aplicação
X :U 3 ®x 7→ X(®x) = (X1(®x), . . . , Xm(®x)) ∈ Rm
é C1 se e somente se a i-ésima componente de X (na base canônica
de Rm) Xi for C1 (emU ) para todo i = 1, . . . , m. Notar que as
derivadas parciais de X
∂jX(®x) = lim
t→0
1
t
(
X(x1, . . . , x j + t
↓
j
, . . . , xn)
−X(x1, . . . , x j
↓
j
, . . . , xn)
)
= (∂jX1(®x), . . . , ∂jXm(®x))
são contínuas (em U ) se e somente se as derivadas parciais da
i-ésima componente de X
∂jXi(®x) =
∂Xi(®x)
∂x j
= lim
t→0
1
t
(
X j(x1, . . . , x j + t
↓
j
, . . . , xn)
− X j(x1, . . . , x j
↓
j
, . . . , xn)
)
, j = 1, . . . , n
são contínuas (emU ) para todo i = 1, . . . , m. É importante notar
que tal de�nição não depende da escolha de bases, pois derivadas
parciais de campos vetoriais constantes (i.e. vetores) são sempre
zero e portanto se S̃ = { ®f1, . . . , ®fm} é base o.n. de Rm então pela
linearidade das derivadas parciais temos
X(®x) =
m∑
i=1
X̃i(®x) ®fi ⇒ ∂jX(®x) =
m∑
i=1
∂jX̃i(®x) ®fi .
122
1. Campos vetoriais e operadores diferenciais
Da mesma forma, poderíamos usar um produto escalar �xo
num espaço vetorialW de dimensão m e de�nir continuidade e
diferenciabilidade de aplicações X :U →W – a escolha de uma
base o.n. particular nos reduz ao casoW = Rm, e o raciocínio
acima mostra que tais de�nições não dependem da escolha de
base.
As considerações acima nos levam à seguinte
II.1Definição. Seja � ,U ⊂ Rn aberto. Um campo escalar emU
é uma função C1 f :U → R, e um campo vetorial m-dimensional
emU é uma aplicação contínuaX :U → Rm. Sem = n, dizemos
apenas que talX é um campo vetorial emU (i.e. se não há menção
à dimensão de X subentende-se que esta seja a dimensão do seu
domínio). Denotamos respectivamente por
C0(U , R) = C0(U ) = { f :U → R | f contínua} ,
C0(U , Rm) = {X :U → Rm | X contínua}
o espaço dos campos escalares em U e dos campos vetoriais
m-dimensionais em U . Dizemos que X ∈ C0(U , Rm) é r vezes
continuamente diferenciável ou Cr (emU ) se as derivadas parciais
até ordem r ∈ N de X (ou, equivalentemente, de suas com-
ponentes) são contínuas (em U ). Se tal X for Cr (em U ) para
todo r ∈ N, dizemos que X é suave ou C∞ (emU ). Denotamos
respectivamente por
Cr(U , R) = Cr(U ) = { f :U → R | f é Cr } ,
Cr(U , Rm) = {X :U → Rm | X é Cr } , r = 1, 2, . . . ,∞
o espaço dos campos escalares Cr emU e o espaço dos campos
vetoriais m-dimensionais Cr emU .
Devido à linearidade das derivadas parciais, segue queCr(U , Rm)
é um espaço vetorial (real) se munido das operações vetoriais
123
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
pontuais do espaço das aplicações deU em Rn:
(X + Y)(®x) = X(®x) + Y(®x) , (αX)(®x) = αX(®x) ,
X, Y ∈ Cr(U , Rm), α ∈ R, ®x ∈ U quaisquer.
Como tais operações vetoriais são, por sua vez, herdadas do
contradomínio Rm, podemos estender pontualmente a campos
escalares e vetoriais Cr quaisquer operações de�nidas no espaço
vetorial Rm – a propriedade Cr é preservada graças à linearidade
das derivadas parciais e à regra de Leibniz para estas. Esse tema
foi explorado no Apêndice A: podemos de�nir a multiplicação
escalar pontual de um campo vetorial m-dimensional Cr X emU
por um campo escalar Cr f emU
( fX)(®x) = f (®x)X(®x) , ®x ∈ U
e o produto escalar pontual de dois campos vetoriaism-dimensionais
X, Y emU
〈X, Y〉(®x) = 〈X(®x), Y(®y)〉 , ®x ∈ U ,
de modo que fX é um novo campo vetorial m-dimensional Cr
emU e 〈X, Y〉 é um novo campo escalar Cr emU . O mesmo
pode ser feito com as operações estudadas na Subseção 3.4 – as
de�nições correspondentes serão dadas quando necessário.
Finalmente, observamos que ao identi�carmos L(Rm, Rp)
com Rmp por meio das matrizes de t.l.’s de Rm em Rp nas res-
pectivas bases canônicas, podemos obviamente falar de aplica-
ções Cr a valores em L(Rm, Rp): dizemos que uma aplicação
T : U → L(Rn, Rm) é r vezes continuamente diferenciável ou Cr
(emU ), r ∈ N ∪ {∞}, se seus elementos de matriz nas bases canô-
nicas de Rm e Rp
T ji (®x) = 〈®ei,T®e j〉(®x) = 〈®ei,T (®x)®e j〉 , i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , m
124
1. Campos vetoriais e operadores diferenciais
são funções Cr (emU ), dado queT ji (®x) é a componente deT (®x)
ao longo de Eij ∈ L(R
m, Rp) dada por
Eij®y = 〈®e j, ®y〉®ei , ®y ∈ R
m
na base {Eij | i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , m} de L(R
m, Rp). Assim,
podemos de�nir a ação pontual TX de tal T sobre um campo
vetorial m-dimensional Cr X emU como
(TX)(®x) =T (®x)X(®x) , ®x ∈ U .
Da mesma forma que o produto de dois campos vetoriais em
U é um campo escalar emU , podemos mostrar queTX é um
campo vetorial p-dimensional Cr emU , dado que
〈®ei, (TX)(®x)〉 =
m∑
j=1
T ji (®x)X j(®x) , i = 1, . . . , p .
Consideremos o caso r = 1 – obtemos pela linearidade das
derivadas parciais e pela regra de Leibniz para estas a seguinte
extensão da regra de Leibniz:
∂j 〈®ei, (TX)(®x)〉 =
m∑
k=1
∂j(T ki (®x)Xk(®x))
=
m∑
k=1
((∂jT ki (®x))Xk(®x) +T
k
i (®x)∂jXk(®x)
= 〈®ei, (∂jT )X +T∂jX〉 , i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , n ,
(II.1)
de modo que ∂j(TX) = (∂jT )X +T∂jX para todo j = 1, . . . , n.
Em particular, se T é constante (i.e. T é só uma t.l. de Rm em
Rp) então ∂j(TX) =T∂jX para todo j = 1, . . . , n.
125
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
1.2. Operadores diferenciais lineares.
II.2 Definição. Seja � ,U ⊂ Rn aberto. Um operador diferencial
linear de ordem ≤ 1 com coe�cientes Ck−1, k ∈ N ∪ {∞} é uma
aplicação linear D : Ck(U , Rm) → Ck−1(U , Rp), m, p ∈ N da
forma
(DX)(®x) =
n∑
j=1
Tj(®x)∂jX(®x) +T0(®x)X(®x) ,
onde Tj : U → L(Rm, Rp) é uma aplicação Ck−1 para cada j =
0, 1, . . . , n. As aplicaçõesTj : U → L(Rm, Rp), j = 0, 1, . . . , n
acima são chamadas de coe�cientes de P – T0 é o coe�ciente de
ordem 0 de P eTj , j = 1, . . . , n são os coe�cientes de ordem 1 de P .
SeTj , 0 para algum j = 1, . . . , n dizemos que P é de ordem 1,
caso contrário de ordem 0.
Pela linearidade das derivadas parciais e pela regra de Leib-
niz para estas, o produto D1D2 = D1 ◦ D2 de dois operadores
diferenciais lineares D1 : C1(U , Rp) → C0(U , Rq) de ordem
r1 ∈ {0, 1}
D1 =
n∑
j=1
Tj∂j +T0(®x)
e D2 : C1(U , Rm) → C0(U , Rp) de ordem r2 ∈ {0, 1}
D2 =
n∑
j=1
T̃j∂j + T̃0 ,
ambos com coe�cientes C2, é um operador diferenciallinear
de ordem r1 + r2 de C1(U , Rm) em C0(U , Rq) se r1 = 0 (i.e.
Tj = 0 para todo j = 1, . . . , n) ou r2 = 0 (i.e. T̃j = 0 para todo
j = 1, . . . , n). De fato, se r1 = r2 = 0 então
(D1D2X)(®x) =T0(®x)T̃0(®x)X(®x) .
126
1. Campos vetoriais e operadores diferenciais
Se r1 = 0 e r2 = 1 temos analogamente que
(D1D2X)(®x) =
n∑
j=1
T0(®x)T̃j(®x)∂jX(®x) +T0(®x)T̃0(®x)X(®x) .
Finalmente, se r1 = 1 e r2 = 0, segue de (II.1) que
(D1D2X)(®x) =
n∑
j=1
Tj(®x)∂j(T̃0(®x)X(®x)) + T̃0(®x)T0(®x)X(®x)
=
n∑
j=1
Tj(®x)T̃0(®x)∂jX(®x))
+
©­«
n∑
j=1
Tj(®x)∂jT̃0(®x) + T̃0(®x)T0(®x)
ª®¬X(®x) .
(II.2)
Mais em geral, operadores diferenciais lineares de ordem ≤ r e
coe�cientes C1 para r > 1 podem ser obtidos pelo produto de
r operadores diferenciais lineares de ordem ≤ 1 e coe�cientes
Cr , e portanto em princípio só devem ser aplicados a campos
vetoriais Cr . Mais em geral, pode-se provar por indução em r
usando (II.2) que um operador diferencial linear de ordem ≤ r
e coe�cientes Ck tem a seguinte forma:
(DX)(®x) =
r∑
l=1
©­«
∑
j1, ..., jl∈{1, ...,n}
Tj1, ..., jl (®x)∂j1 · · · ∂jlX(®x)
ª®¬
+T0(®x)X(®x) ,
Tj1, ..., jl ∈ C
k(U , L(Rm, Rp) , l = 1, . . . , r .
(II.3)
Como antes, a aplicaçãoT0 ∈ C1(U , L(Rm, Rp)) é chamada de
coe�ciente de ordem 0 de D, e as aplicaçõesTj1, ..., jl são chamadas
de coe�cientes de ordem l de D. Se algum coe�ciente de ordem
l = r de D não for identicamente zero emU , dizemos que D é
de ordem r. A fórmula (II.3) pode ser reescrita usando a simetria
127
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
das l derivadas parciais mistas ao agir em campos vetoriais Cr se
2 ≤ l ≤ r : se X ∈ Cr(U , Rm), então
∂j1 · · · ∂jlX(®x) = ∂
α1
1 · · · ∂
αn
n X(®x) = ∂αX(®x) ,
onde α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0
com α j = |{i ∈ {1, . . . , l} | ji = j}|
(lembrar que N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}) e
∂lj =

1 (l = 0)
∂j (l = 1)
∂j(∂
l−1
j ) (l > 1)
.
Com isso, (II.3) �ca
(DX)(®x) =
r∑
k=1
©­­«
∑
α∈Nk0, |α |=k
Tα(®x)∂αX(®x)
ª®®¬ +T0(®x)X(®x) ,
|α | =
n∑
j=1
α j ,
Tα(®x) =
∑
|{i∈{1, ..., |α |} | ji= j}|=α j , j=1, ...,n
Tj1, ..., j |α | (®x) .
(II.4)
Fica claro a partir de (II.3) ou (II.4) que a restrição de D a
Cr+s(U , Rm) assume valores em Cmin(k, s)(U , Rp) se seus coe�-
cientes são Ck, para todo s ∈ N. Em particular, a restrição de P
a Cr+s(U , Rm) assume valores em C s(U , Rp) se seus coe�cientes
são C∞, para todo s ∈ N.
Vamos nos concentrar na maior parte do tempo em operado-
res diferenciais lineares de ordem 1 e, em menor grau, de ordem
2. Destes, podemos citar os seguintes exemplos (no que se segue,
� ,U ⊂ Rn é aberto):
128
1. Campos vetoriais e operadores diferenciais
(a) Obviamente, toda derivada parcial é um operador diferen-
cial linear de ordem 1. Mais em geral, a derivada direcional
d®hX(®x) = dX(®x)
®h ao longo de ®h ∈ Rn é o operador diferen-
cial linear de ordem 1 cujos coe�cientes de ordem 1 são
as componentes de ®h (multiplicando 1) e cujo coe�ciente
de ordem 0 é zero. Como tais coe�cientes são constantes,
eles são C∞.
(b) O gradiente ∇ f (®x) = grad f (®x) = (∂1 f (®x), . . . , ∂n f (®x)) de
f ∈ C1(U ) em ®x é um operador diferencial linear de ordem
1 e coe�cientes constantes (logoC∞, como em (a)) deC1(U )
em C1(U , Rn), cujos coe�cientes de ordem 1 são dados
pelas t.l.’s Tj : R 3 x 7→ Tj(x) = x®e j ∈ Rn, onde ®e j é o
j-ésimo vetor da base canônica de Rn, j = 1, . . . , n, e com
coe�ciente de ordem 0 igual a zero.
(c) SeY ∈ C1(U , Rn) é um campo vetorial (C1), podemos de�-
nir a derivada ∇YX de outro campo vetorialX ∈ C1(U , Rm)
ao longo de Y escrevendo
(∇YX)(®x) =
n∑
j=1
Y j(®x)∂jX(®x) , Y(®x) = (Y1(®x), . . . ,Yn(®x)) .
Novamente temos que o operador diferencial ∇Y tem or-
dem 1, coe�ciente de ordem 0 igual a zero e coe�cientes
de ordem 1 dados pelas componentes de Y (multiplicando
1). Notar que se Y ≡ ®h ∈ Rn é constante, esse exemplo se
reduz à derivada direcional (a) ao longo de ®h. Como
∇YX = (∇YX1, . . . , ∇YXm)
e no caso m = 1 podemos escrever (para f ∈ C1(U ))
∇Y f (®x) =
n∑
j=1
Y j(®x)∂j f (®x) = 〈Y(®x), ∇ f (®x)〉 = 〈Y, ∇ f 〉(®x) ,
129
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
é costume usar a notação alternativa ∇YX = 〈Y, ∇〉X
mesmo se m > 1. Derivadas ao longo de campos ve-
toriais satisfazem uma versão da regra de Leibniz: se X ∈
C1(U , Rm), Y ∈ C1(U , Rn) e f ∈ C1(U ), então segue de
(II.2) que
∇Y( fX)(®x) =
n∑
j=1
Y j(®x)∂j( f (®x)X(®x))
=
©­«
n∑
j=1
Y j(®x)∂j f (®x)
ª®¬X(®x) + f (®x)
n∑
j=1
Y j(®x)∂jX(®x)
= ((∇Y f )X)(®x) + ( f ∇YX)(®x) .
(II.5)
(d) O divergente de um campo vetorial n-dimensional X ∈
C1(U , Rn) é o campo escalar divX = ∇ · X dado por
(II.6) ∇ · X(®x) = divX(®x) =
n∑
j=1
∂jX j(®x) = Tr(dX(®x)) ,
onde Tr(A) é o traço da matriz A ∈ Mn×n(R):
Tr(A) =
n∑
j=1
A jj .
Tal como os exemplos (a)–(c), div é um operador diferen-
cial linear de ordem 1, com coe�cientes constantes tal como
em (a), (b). O coe�ciente de ordem 0 é igual a zero e os
coe�cientes de ordem 1 são dados porTj®y = 〈®e j, ®y〉, onde
®e j é o j-ésimo vetor da base canônica de Rn, j = 1, . . . , n.
(e) O rotacional (“curl” em inglês) de um campo vetorial tridi-
mensional X ∈ C1(U , R3 é o campo vetorial tridimensio-
130
1. Campos vetoriais e operadores diferenciais
nal ∇ ×X = rotX = curlX dado por
∇ ×X = rotX = curlX
= (∂2X3 − ∂3X2)®e1 + (∂3X1 − ∂1X3)®e2
+ (∂1X2 − ∂2X1)®e3
= det

∂1 ∂2 ∂3
X1 X2 X3
®e1 ®e2 ®e3
 ,
(II.7)
onde a última expressão é apenas um dispositivo pictórico
para memorizar a expressão anterior, de maneira similar à
notação (I.76) para o produto vetorial de dois vetores em
R3, e ®e1, ®e2, ®e3 são os vetores da base canônica de R3. Tal
como os exemplos anteriores, rot é um operador diferen-
cial linear de ordem 1, com coe�cientes constantes tal como
(a), (b) e (d). Seu coe�ciente de ordem 0 é igual a zero e
seus coe�cientes de ordem 1 são as t.l.’s Tj : R3 → R3,
j = 1, 2, 3 dadas por
T1®y = 〈®e2, ®y〉®e3 − 〈®e3, ®y〉®e2 , T2®y = 〈®e3, ®y〉®e1 − 〈®e1, ®y〉®e3 ,
T3®y = 〈®e1, ®y〉®e2 − 〈®e2, ®y〉®e1 .
(e) Nosso último exemplo é um operador diferencial de ordem
2. O laplaciano de um campo vetorial X ∈ C2(U , Rm) é o
campo vetorial m-dimensional ∆X dado por
(II.8)
∆X(®x) =
n∑
j=1
∂2j X(®x) =
©­«
n∑
j=1
∂2j X1(®x), . . . ,
n∑
j=1
∂2j Xm(®x)
ª®¬ .
No caso m = 1, vemos que (para f ∈ C2(U ))
(II.9) ∆ f (®x) = ∇ · (∇ f )(®x) = divgrad f (®x) .
131
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
Os coe�cientes de ∆ são constantes, mas apenas os coe�-
cientes de ordem 2 são diferentes de zero – mais precisa-
mente,
Ti, j =

0 (i , j)
1 (i = j)
.
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
Todos os operadores diferenciais lineares introduzidos na
Seção 1 acima tem um signi�cado geométrico. Além disso, há
uma clara analogia entre o divergente e o produto escalar, bem
como entre o rotacional e o produto vetorial, baseadas na analogia
que existe do gradiente com um “vetor de derivadas parciais”,
que nos levará a certas identidades relacionando o gradiente, o
divergente e o rotacional. Há uma razão profunda para isso –
todos esses operadores podem ser obtidos a partir de um único
operador diferencial linear que será precisamente a noção de
“derivada” que entra na versão de várias variáveis do Teorema
Fundamental do Cálculo que buscamos. Contudo, tal operador
diferencial linear necessariamente age sobre campos vetoriais
que assumem valores em p-formas em Rn, portanto torna-se
imperativo estudar tais campos a partir de agora.
No restante desta Seção,� ,U ⊂ Rn é aberto e ŝ = (®e1, . . . , ®en)
é a base orientada canônica de Rn.
2.1. Formas diferenciais.
II.3Definição. Sejam p ∈ N0 = N∪{0}. Uma p-forma diferencial
emU é uma aplicação ω :U → ∧p(Rn)′
ω(®x) =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
〈det ŝI , ω(®x)〉det ŝI
132
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
tal que a componente ωI (®x) = 〈det ŝI , ω(®x)〉 é contínua em U
para todo I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p. Se ωI é Cr para todo
I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p, dizemosque ω é Cr , r = 1, . . . ,∞.
Se ω é C∞, dizemos que ω é suave. Denotamos o espaço das
p-formas diferenciais emU por Ωp0(U ), e o espaço das p-formas
diferenciais Cr emU por Ωpr (U ). Se r = ∞, escrevemos simples-
mente Ωp∞(U ) = Ωp(U ).
Ou seja, p-formas diferenciais nada mais são do que campos
de p-formas – em particular, uma 0-forma diferencial nada mais
é do que um campo escalar, e p-formas são identicamente zero
se p > n. Obviamente, podemos de�nir campos de p-vetores
Cr emU de maneira análoga, mas isso não será necessário pois
far-lo-emos de outra maneira logo adiante.
Tal como �zemos com campos vetoriais, podemos estender
as operações algébricas em p-formas para formas diferenciais
de�nindo-as pontualmente. Ou seja, para � ,U ⊂ Rn é aberto,
e ω, ω′ são p-formas diferenciais em U , η é uma q-forma di-
ferencial emU , α ∈ R quaisquer, temos que (no que se segue,
®x ∈ U qualquer):
• A soma (ω + ω′)(®x) = ω(®x) + ω′(®x) de ω e ω′ é uma p-
forma diferencial emU . Obviamente, ω + ω′ é Cr se ω e
ω′ também forem, para todo r = 1, . . . ,∞;
• Amultiplicação (ω+ω′)(®x) = ω(®x)+ω′(®x) deω pelo escalar α
é uma p-forma diferencial emU . Obviamente, αω é Cr se
ω também for, para todo r = 1, . . . ,∞. Em suma, Ωpr (U )
é um espaço vetorial para todo p ∈ N0, r = 0, 1, . . . ,∞.
• O produto escalar 〈ω, ω′〉(®x) = 〈ω(®x), ω′〉(®x) de ω e ω′ é
um campo escalar emU . Obviamente, 〈ω, ω′〉 é Cr se ω
e ω′ também forem, para todo r = 1, . . . ,∞;
133
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
• O produto exterior (ω ∧ η)(®x) = ω(®x) ∧ η(®x) de ω e η é uma
(p + q)-forma diferencial emU Obviamente, ω + ω′ é Cr
se ω e η também forem, para todo r = 1, . . . ,∞.
Mais importante, podemos colocar p campos vetoriais como
argumentos de uma p-forma diferencial. Mais precisamente, se
ω é uma p-forma emU e X1, . . . , Xr são campos vetoriais em
U , então
(II.10) (ω(X1, . . . , Xp))(®x) = ω(®x)(X1(®x), . . . , Xp(®x))
é um campo escalar emU . Finalmente, podemos também aplicar
t.l.’s pontualmente a p-formas diferenciais. Em particular, se ω
é uma p-forma diferencial emU , então (no que se segue, ®x ∈ U
qualquer):
• Podemos de�nir um campo de p-vetores emU por meio do
lema de Riesz:
(ω])(®x) = ω](®x) =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
ωI (®x) ∧p ŝI ,
de modo que ω] é Cr se ω também for, para todo r =
1, . . . ,∞. Isso implica que se X1, . . . , Xp são campos ve-
toriais emU , então a expressão
(X1 ∧ · · · ∧Xp)(ω)(®x) = (X1(®x) ∧ · · · ∧Xp(®x))(ω(®x))
= (ω(X1, . . . , Xp))(®x)
de�ne o campo de p-vetores X1 ∧ · · · ∧Xp emU ;
• Conversamente, se
X(®x) =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
XI (®x) ∧p ŝI
134
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
é um campo de p-vetores emU , então
(X[)(®x) = X[(®x) =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
XI (®x)det ŝI
é uma p-forma diferencial emU , de modo que X[ é Cr se
X também for, para todo r = 1, . . . ,∞;
• Podemos de�nir o dual de Hodge deω como a (n−p)-forma
diferencial
(∗ω)(®x) = ∗ω(®x) =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
ωI (®x) ∗ det ŝI ,
de modo que ∗ω é Cr se ω também for, para todo r =
1, . . . ,∞.
2.2. Derivada exterior e coderivada exterior. Gradiente, di-
vergente, rotacional e laplaciano revisitados. O operador dife-
rencial linear “universal” que buscamos na verdade é uma família
de operadores diferenciais lineares agindo sobre p-formas dife-
renciais para cada p, estendendo a estas a noção de diferencial de
um campo escalar. Tal família é unicamente determinada pelo
seguinte resultado:
II.4 Teorema. Existe apenas uma aplicação linear D : Ωp1(U ) →
Ω
p+1
0 (U ) para cada p ∈ N0 (denotamos todas essas aplicações coletiva-
mente por D) satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) Df = d f para toda f ∈ Ω01(U ) = C
r(U ), r ∈ N0 ∪ {∞}. Ou
seja, D age como a diferencial em 0-formas diferenciais ( =
campos escalares) emU e portanto estende a sua ação a p-formas
diferenciais;
(ii) D2 = DD = 0, i.e. D(Dω) = 0 para toda ω ∈ Ωp2(U ),
p ∈ N0, r ∈ N0∪{∞}. Nesse caso, dizemos queD é nilpotente;
135
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
(iii) D satisfaz a regra de Leibniz graduada: se ω ∈ Ωp1(U ) e
η ∈ Ω
q
1(U ), p, q ∈ N0, então
D(ω ∧ η) = (Dω) ∧ η + (−1)pω ∧Dη .
Demonstração. Primeiramente, notar que se f (®x) = 〈®ei, ®x〉, então
(i) implica queDf (®x) = d f (®x) = ®e[i para todo i = 1, . . . , n. Segue
da linearidade de D que a ação de D numa p-forma diferencial
ω ∈ Ω
p
1(U ) é unicamente determinada pela ação de D em p-
formas diferenciais da forma
ω(®x) = f (®x)det ŝI = f (®x)®e
[
i1
∧ · · · ∧ ®e[ip ,
f ∈ C1(U ) , I = {i1 < · · · < ip} ⊂ {1, . . . , n} , ®x ∈ U ,
posto que toda ω ∈ Ωp1(U ) é uma soma de p-formas diferenciais
do tipo acima. Notar agora que se ω1, . . . , ωp ∈ Ω11(U ), então
segue de (iii) que
D(ω1∧ · · · ∧ωp) = (Dω1) ∧ω2∧ · · · ∧ωp −ω1∧D(ω2∧ · · · ∧p) ,
portanto segue por indução em p que
D(ω1 ∧ · · · ∧ ωp) =
p∑
j=1
(−1) j−1ω1 ∧ · · · ∧ (Dω j) ∧ · · · ∧ ωp .
Logo, por (iii) e (ii), vemos que se ω é como na fórmula acima
então
Dω
(iii)
= (d f ) ∧ ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
[
ip
+ f
p∑
j=1
(−1) j−1®e[i1 ∧ · · · ∧ (D®e
[
i j ) ∧ · · · ∧
®e[ip
(ii)
= (d f ) ∧ ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
[
ip .
�
136
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
Conversamente, seja d : Ωp1(U ) → Ω
p+1
0 (U ) tal como encon-
trado na prova do Teorema II.4:
dω =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
(dωI ) ∧ det ŝI
=
∑
{i1<···ip}⊂{1, ...,n}
(
n∑
i=1
∂iωI®e[i ∧ ®e
[
i1
∧ · · · ∧ ®e[ip
)
.
(II.11)
Claramente d é linear; mostraremos que d satisfaz as proprieda-
des (i)–(iii) listadas no enunciado do Teorema II.4. A proprie-
dade (i) é claramente satisfeita; para veri�carmos a propriedade
(ii), exploramos o fato que se ω ∈ Ωp2(U ) então ∂i∂jωI = ∂j∂iωI
mas ®e[i ∧ ®e
[
j = −®e
[
j ∧ ®e
[
i para i, j = 1, . . . , n, I ⊂ {1, . . . , n} com
|I | = p quaisquer, logo
d2ω =
∑
{i1<···ip}⊂{1, ...,n}
©­«
n∑
i=1
©­«
n∑
j=1
∂i∂jωI®e[i ∧ ®e
[
j ∧ ®e
[
i1
∧ · · · ∧ ®e[ip
ª®¬ª®¬
= −
∑
{i1<···ip}⊂{1, ...,n}
©­«
n∑
j=1
(
n∑
i=1
∂j∂iωI®e[j ∧ ®e
[
i ∧ ®e
[
i1
∧ · · · ∧ ®e[ip
)ª®¬
= 0 .
Finalmente, para obtermos (iii), notar que pela bilinearidade do
produto exterior basta provar (iii) no caso
ω = f ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
∧
ip , η = g®e
[
j1
∧ · · · ∧ ®e[jq
com f , g ∈ C1(U ), de modo que
ω∧η = ( f ®e[i1∧· · ·∧®e
∧
ip)∧(g®e
[
j1
∧· · ·∧®e[jq ) = f g®e
[
i1
∧· · ·∧®e∧ip∧®e
[
j1
∧· · ·∧®e[jq
137
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
e portanto
d(ω ∧ η) = d( f g) ∧ ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
∧
ip ∧ ®e
[
j1
∧ · · · ∧ ®e[jq
= (g · d f + f · dg) ∧ ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
∧
ip ∧ ®e
[
j1
∧ · · · ∧ ®e[jq
= (d f ∧ ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
∧
ip) ∧ (g®e
[
j1
∧ · · · ∧ ®e[jq )
+ f · dg ∧ ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
∧
ip ∧ ®e
[
j1
∧ · · · ∧ ®e[jq
= (d f ∧ ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
∧
ip) ∧ (g®e
[
j1
∧ · · · ∧ ®e[jq )
+ (−1)p( f ∧ ®e[i1 ∧ · · · ∧ ®e
∧
ip) ∧ (dg ∧ ®e
[
j1
∧ · · · ∧ ®e[jq )
= (dω) ∧ η + (−1)pω ∧ dη
como desejado, onde na penúltima identidade usamos a comu-
tatividade graduada (I.54) do produto exterior.
II.5 Definição. O operador diferencial linear d de ordem 1 de�-
nido por (II.11) é chamado de derivada exterior.
Como vimos na prova do Teorema (II.4) que
d〈®ei, ®x〉 = ®e[i , i = 1, . . . , n ,
de agora em diante passaremos a denotar os elementos da base
dual ∧1(ŝ)′ = S′ à base canônica S = Im(ŝ) de Rn por
®e[i = dxi , i = 1, . . . , n
e, por conseguinte, os elementos da base ∧p(ŝ)′ de ∧pV ′, 1 < p ≤
n por
det ŝI = ®e
[
i1
∧ · · · ∧ ®e[ip = dxi1 ∧ · · · ∧ dxip = dxI ,
I = {i1 < · · · < ip} ⊂ {1, . . . , n} .
A regra de Leibniz graduada para d nos leva naturalmente
a perguntar qual forma a regra de Leibniz de d assume para o
138
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
produto escalar de p-formas. Isso nos levará a outro operador
diferencial linear agindo sobre p-formas diferenciais – a chamada
coderivada exterior. Para tal, considere ω ∈ Ωp1(U ), ω
′ ∈ Ω
p−1
1 (U ).
Nesse caso, podemos explorar o operador ∗ de Hodge para obter
〈ω, dω′〉 = (∗−1ω ∧ dω′)(∧n ŝ)
= d((∗−1ω) ∧ ω′)(∧n ŝ) − (−1)n−p((d∗−1ω) ∧ ω′)(∧n ŝ)= d((∗−1ω) ∧ ω′)(∧n ŝ) − (−1)n−p〈∗d∗−1ω, ω′〉
= ∗d((∗−1ω) ∧ ω′) − (−1)n−p〈∗d∗−1ω, ω′〉 .
(II.12)
De�nindo
d∗ω = (−1)n−p∗d∗−1ω = (−1)(n−p)(p+1)∗d∗ω
= (−1)p+1∗−1d∗ω , ω ∈ Ωp1(U )
(II.13)
vemos que (II.12) assume a forma
(II.14)
∗d((∗−1ω) ∧ω′) = d((∗−1ω) ∧ω′)(∧n ŝ) = 〈ω, dω′〉 + 〈d∗ω, ω′〉 .
O operador diferencial linear d∗ : Ωp1(U ) → Ω
p−1
0 (U ) de ordem
1 (p ∈ N0) dado por (II.13) é chamado de coderivada exterior. Em
termos da base ∧p(ŝ)′, d∗ assume a forma
d∗ω =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
(
n∑
i=1
∂iωI i®eidxI
)
.(II.15)
devido à identidade
i®xω = (−1)
n−p∗(®x[ ∧ ∗−1ω) ,
válida para ®x ∈ Rn, ω ∈ ∧p(Rn)′ quaisquer. Listemos a seguir
algumas outras propriedades de d∗.
139
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
• Notar que a derivada exterior de uma n-forma diferencial
C1 emU , por ser uma (n + 1)-forma, é necessariamente
zero. Portanto, a coderivada exterior de uma 0-forma C1
emU é zero.
• Tal como d, d∗ é nilpotente: se ω ∈ Ωp2(U ), então
(d∗)2ω = (−1)2(n−p)−1∗d∗−1(∗d∗−1ω) = −∗d2∗−1ω = 0 .
• Diferentemente de d, d∗ não possui uma regra de Leibniz
ou variante graduada.
Mostraremos agora como reescrever o gradiente, o diver-
gente, o rotacional e o laplaciano em termos da derivada exterior.
No que se segue, f ∈ ω01(U ) = C
1(U ) eX ∈ C1(U , Rn), de modo
que X[ é uma 1-forma diferencial C1 emU .
• Já sabemos que (veja, por exemplo, a fórmula (A.7) na
página 210)
(II.16) ∇ f = grad f = (d f )] .
• Segue de (II.13) e (II.15) que
(II.17) ∇ · X = divX = d∗(X[) = ∗d∗(X[) .
140
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
• Se n = 3, segue de (I.72) e (II.7) que
∇ ×X = rotX
= (∂2X3 − ∂3X2)®e1 − (∂1X3 − ∂3X1)®e2
+ (∂1X2 − ∂2X1)®e3
= (∂2X3 − ∂3X2)(∗(dx2 ∧ dx3))]
− (∂1X3 − ∂3X1)(∗(dx1 ∧ dx3))]
+ (∂1X2 − ∂2X1)(∗(dx1 ∧ dx2))]
= ∗
©­«
3∑
i=1
©­«
3∑
j=1
∂jXidx j ∧ dxi
ª®¬ª®¬
]
= (∗d(X[))] .
(II.18)
• Se f ∈ C2(U ), então segue de (II.11) e (II.15) que
(II.19) d∗d f = ∆ f = (d∗d + dd∗) f ,
onde a segunda identidade vem do fato que d∗ f = 0. Essa
identidade nos permite estender a ação do laplaciano ∆ a
p-formas com p > 0: se ω ∈ Ωp2(U ), p = 1, . . . , n, então
(II.20)
∆ω = (d∗d + dd∗)ω =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
(
n∑
i=1
∂2i ωIdxI
)
.
Para veri�carmos a segunda identidade em (II.20), notar
141
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
que
(d∗d + dd∗)ω =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
(
n∑
i=1
(
n∑
j=1
∂i∂jωI
(
dxi ∧ i®e jdxI
+ i®eidx j ∧ dxI
)))
=
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
(
n∑
i=1
(
n∑
j=1
∂i∂jωI
(
dxi ∧ i®e jdxI
+ i®e j (dxi ∧ dxI )
)))
,
onde na segunda identidade acima exploramos a simetria
das derivadas parciais de segunda ordem ∂i∂jωI = ∂j∂iωI
para i, j = 1, . . . , n, I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p quaisquer.
Notar agora que
dxi ∧ i®e jdxI , 0⇒

i = j ∈ I ou
i < I, j ∈ I ,
e
i®e j (dxi ∧ dxI ) , 0⇒

i = j < I ou
i < I, j ∈ I .
para i, j ∈ {1, . . . , n}, I ⊂ {1, . . . , n} com |I | = p quais-
quer. Se i < I e j ∈ I , temos que
dxi ∧ i®e jdxI = (−1)
k−1dxi ∧ dxIr{ j} ,
i®e j (dxi ∧ dxI ) = (−1)
kdxi ∧ dxI
para I = {i1 < · · · < ip} e j = ik para algum k =
1, . . . , p, logo nesse caso dxi ∧ i®e jdxI + i®e j (dxi ∧ dxI ) = 0.
Se i = j ∈ I , i.e. I = {i1 < · · · < ip} e i = j = ik
para algum k = 1, . . . , p, temos que dxi ∧ dxI = 0 mas
142
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
i®eidxI = (−1)
k−1dxIr{i}, portanto dxi ∧ i®eidxI = dxI nesse
caso. Finalmente, se i = j < I então i®eidxI = 0 mas no-
vamente temos i®ei (dxi ∧ dxI ) = dxI . Notar que os três
casos são mutuamente excludentes, e nos demais temos
dxi ∧ i®e jdxI = i®e j (dxi ∧ dxI ) = 0. Sumarizando, temos:
dxi ∧ i®eidxI =

0 (i < I)
dxI (i ∈ I)
i®ei (dxi ∧ dxI ) =

dxI (i < I)
0 (i ∈ I)
⇒ dxi ∧ i®e jdxI + i®e j (dxi ∧ dxI ) =

0 (i , j)
dxI (i = j)
.
(II.21)
Aplicando (II.21) à expressão obtida acima para (d∗d +
dd∗)ω resulta na fórmula (II.20). O caso p = 1 resulta
na fórmula usual para o laplaciano de um campo vetorial
n-dimensional X ∈ C2(U , Rn):
(II.22) ∆X = (∆(X[))] = ((d∗d + dd∗)(X[))] .
As fórmulas acima combinadas com a nilpotência da derivada
exterior levam facilmente às identidades conhecidas envolvendo
o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano em R3:
• ∇ × (∇ f ) = (∗d2 f )] = 0 – notar a semelhança com a
identidade vetorial ®a × (α ®a) = 0, onde ®a exerce o papel de
“vetor de derivadas parciais”;
• ∇ · (∇ × X) = ∗d∗2d(X[) = ∗d2(X[) = 0 – notar a seme-
lhança com a identidade vetorial 〈®a, ®a × ®b〉 = 0, onde ®a
exerce o papel de “vetor de derivadas parciais”;
143
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
• ∇ × (∇ × X) = (∗d∗d(X[))] = −(d∗d(X[))] e ∇(∇ · X) =
(dd∗(VX[))] = (d∗d∗(X[))], logo
∇×(∇×X) = (dd∗(X[))]−(d∗d+dd∗(X[))] = ∇(∇·X)−∆X
– notar a semelhança com a identidade vetorial ®a × (®a ×
®b) = 〈®a, ®b〉®a − 〈®a, ®a〉 ®b, onde ®a exerce o papel de “vetor de
derivadas parciais”.
A reinterpretação das 1-formas ®e[i = dxi = d〈®ei, ®x〉 como
diferenciais nos permite escrever uma versão particularmente
útil da regra da cadeia para a derivada exterior, que basicamente
expressa a sua invariância por mudanças de coordenadas. Dados � ,
U ⊂ Rn, � , Ũ ⊂ Rm abertos e uma aplicação Φ ∈ C1(U , Rm)
satisfazendo Φ(U ) ⊂ Ũ , de�nimos o pullback de
ω =
∑
I⊂{1, ...,m}, |I |=p
ωIdxI ∈ Ω
p
0(Ũ )
como a p-forma diferencial Φ∗ω ∈ Ωp0 ∗ (U ) dada por
(II.23) Φ∗ω(®x) =
∑
I⊂{1, ...,m}, |I |=p
ωI (Φ(®x))Φ∗dxI (®x) ,
onde
Φ
∗dxI = (dxi1 ◦ dΦ(®x)) ∧ · · · ∧ (dxip ◦ dΦ(®x)) ,
I = {i1 < · · · < ip} ⊂ {1, . . . , m} , ®x ∈ U .
(II.24)
Notar que pela regra da cadeia usual temos
dxi ◦ dΦ(®x) = d〈®ei, Φ(®x)〉
144
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
para cada i = 1, . . . , m. Aplicando d aos dois lados de (II.23)
resulta, graças à nilpotência de d e à observação acima, em
dΦ∗ω(®x) =
∑
I⊂{1, ...,m}, |I |=p
d(ωI (Φ(®x))) ∧ Φ∗dxI (®x)
=
∑
I⊂{1, ...,m}, |I |=p
(
m∑
i=1
(∂iωI )(Φ(®x))(dxi ◦ dΦ(®x)) ∧ Φ∗dxI (®x)
)
= Φ∗(dω)(®x) , ®x ∈ U .
(II.25)
A importância da noção de pullback de formas diferenciais tornar-
se-á evidente quando discutirmos integrais.
Concluímos com uma pequena discussão sobre formas dife-
renciais fechadas e formas diferenciais exatas. Dado � , U ⊂ Rn
aberto, dizemos que ω ∈ Ωp1(U ) é fechada se dω = 0, e exata se
ω = dη para alguma η ∈ Ωp−12 (U ). Segue de (I.25) que pullbacks
de formas diferenciais fechadas (resp. exatas) por aplicações C1
(resp. C2) são fechadas (resp. exatas). Além disso, pela nilpotên-
cia de d, claramente p-formas diferenciais exatas são fechadas
se p > 0 – o caso p = 0 é especial pois toda função constante é
uma 0-forma diferencial fechada mas não existem 0-formas di- Por analogia com (n + 1)-
formas emU , que são neces-
sariamente zero, é costume
de�nir f = 0 como a única
0-forma diferencial exata.
ferenciais f exatas. A recíproca, contudo, nem sempre é verdadeira
exceto para certos tipos de domínioU .
Considere, por exemplo, a 1-forma diferencial C∞ emU =
R2 r {®0} dada por
ω(x, y) = −
y
x2 + y2
dx +
x
x2 + y2
dy , (x, y) , (0, 0) .
Mostraremos que ω é fechada mas não exata. De fato,
dω(x, y) =
(
∂
∂y
(
y
x2 + y2
)
+
∂
∂x
(
x
x2 + y2
))
dx ∧ dy
=
(
x2 − y2
x2 + y2
+
y2 − x2
x2 + y2
)
dx ∧ dy = 0 .
145
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
Suponhamos agora que existe f ∈ C1(U ) tal que ω = d f , ou seja,
∂ f (x, y)
∂x
−
y
x2 + y2
= ,
∂ f (x, y)
∂y
=
x
x2 + y2
.
Passando para coordenadas polares x = r cos(θ), y = rsen (θ)
com r > 0, θ ∈ [0, 2π] temos pelo Teorema Fundamental do
Cálculo em uma variável que∫ 2π
0
∂
∂θ
f (r cos(θ), rsen(θ))dθ = f (r, 0) − f (r, 0) = 0
para todo r > 0, mas
∂ f (x = r cos(θ), y = rsen(θ))
∂x
= −
y
x2 + y2
= −sen(θ) ,
∂ f (x = r cos(θ), y = rsen(θ))
∂y
=
x
x2 + y2
= cos(θ) ,
logo pela regra da cadeia
∂
∂θ
f (r cos(θ), rsen(θ)) =
∂x(r, θ)
∂θ
∂ f (x = r cos(θ), y = rsen(θ))
∂x
+
∂y(r, θ)
∂θ
∂ f (x = r cos(θ), y = rsen(θ))
∂y
= r > 0
e portanto a integral acima deveria ser igual a 2πr> 0, o que é
absurdo. Notar que o argumento acima depende crucialmente
do fato que ω não é a restrição aU de uma 1-forma fechada em
R2.
Uma classe de domínios para os quais toda p-forma diferen-
cial fechada é exata se p > 0 e constante se p = 0 são os chamados
abertos estrelados – esse resultado é conhecido como Lema de Poin-
caré. Dizemos que um aberto � , U ⊂ Rn é estrelado se existe
®x0 ∈ U tal que para todo ®x ∈ U temos que
®xt = ®x0 + t(®x − ®x0) = t ®x + (1 − t)®x0 ⇒ ®xt=0 = ®x0 , ®xt=1 = ®x1 = ®x
146
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
pertence a U para todo t ∈ [0, 1]. Todo aberto convexo não-
vazio (e.g. Rn, bolas abertas, retângulos abertos) é estrelado,
enquanto queU = R2r {®0} claramente não é (tome e.g. ®x = −®x0
para ®x0 ∈ U dado, de modo que ®x1/2 = ®0 <U ).
Para provar o Lema de Poincaré, consideremos inicialmente
o caso p = 0 – o argumento é essencialmente o mesmo empre-
gado para funções de uma variável. Suponha que f ∈ Ω01(U ) =
C1(U ) é fechada. Dado ®x ∈ U , temos que
g(t) = f (®xt) = f (®x0 + t(®x − ®x0)) , t ∈ [0, 1]
é contínua em [0, 1] e derivável em (0, 1), logo pelo Teorema
do Valor Médio existe s ∈ (0, 1) tal que
g(1) − g(0) = f (®x) − f (®x0) = g′(s) = d f (®xs)(®x − ®x0) = 0 ,
de modo que o valor de f em qualquer ®x ∈ U é igual a f (®x0) e
portanto f é de fato constante. Já no caso p > 0, (II.25) mostra
que podemos assumir ®x0 = ®0 – o resultado geral segue após
composição com a translação Φ(®x) = ®x + ®x0 (que é C2), dado que
U − ®x0 = {®x − ®x0 | ®x ∈ U } = Φ−1(U )
é estrelado seU também for. De fato, se ®x ∈ U − ®x0, temos que
®x+ ®x0 ∈ U e portanto ®x0+ t((®x+ ®x0)− ®x0) = ®x0+ t ®x ∈ U para todo
t ∈ [0, 1], logo t ®x = t ®x + (1 − t)®0 ∈ U − ®x0 para todo t ∈ [0, 1].
Consideremos agora a aplicação Φt : U → U ⊂ Rn, t ∈ [0, 1]
dada por
Φt(®x) = t ®x .
Como dΦt(®x)®h = t ®h, ®h ∈ Rn qualquer, vemos que dxi ◦ dΦt(®x) =
tdxi para todo i = 1, . . . , n e portanto
ω =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
ωIdxI 7→ Φ∗tω =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
tpωI ◦ ΦtdxI .
147
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
De�nimos a partir daí
Hω(®x) =
∫ 1
0
1
t
Φ
∗
tω(®x)dt ,
onde a expressão acima signi�ca que integramos em t cada com-
ponente de 1tΦ
∗
tω(®x) para cada ®x ∈ U �xo:
Hω(®x) =
∑
I⊂{1, ...,n}, |I |=p
(∫ 1
0
tp−1ωI (t ®x)dt
)
dxI .
A aplicação H : Ωp1(U ) → Ω
p
1(U ) é linear – sabemos que Hω é
C1 pois podemos diferenciar cada componente deHω dentro do
sinal de integração, dado que ωI é C1 para todo I ⊂ {1, . . . , n}
com |I | = p. Mostraremos agora que
(i) H (di®x+i®xd)ω(®x) = ω(®x) para ω ∈ Ω
p
1(U ), ®x ∈ U quaisquer;
(ii) dHω(®x) = H (dω)(®x) para ω ∈ Ωp1(U ), ®x ∈ U quaisquer.
Em particular, se ω é fechada (i) e (ii) implicam
ω
(i)
= H (di®x + i®xd)ω
dω=0
= H (di®xω) = dH (i®xω)
e portanto ω é exata.
Como todas as operações envolvidas em (i) e (ii) são lineares,
os cálculos a seguir poderão ser feitos assumindo
ω = ωIdxI , I ⊂ {1, . . . , n} , |I | = p .
e estendendo o resultado para ω ∈ Ωp1(U ) qualquer por lineari-
dade.
A prova de (i) usa um cálculo similar ao empregado acima
para provar que d∗d + dd∗ = ∆, particularmente (II.21). De fato,
148
2. Formas diferenciais e a derivada exterior
(i) segue de
H (di®x + i®xd)ω(®x) = H
(
d
(
n∑
i=1
ωI (®x)xi i®eidxI
)
+ i®x
©­«
n∑
j=1
∂jωI (®x)dxi ∧ dxI
ª®¬ª®¬
= H ©­«
n∑
i=1
©­«
n∑
j=1
((∂jxi)ωI (®x) + xi∂jωI (®x))dx j ∧ i®eidxI
ª®¬
+
n∑
i=1
©­«
n∑
j=1
xi∂jωI (®x)i®ei (dx j ∧ dxI )
ª®¬ª®¬
(II.21)
= H
(
pωI (®x)dxI +
n∑
i=1
xi∂iωI (®x)dxI
)
=
(∫ 1
0
(
ptp−1ωI (t ®x) + tp
n∑
i=1
xi∂iωI (t ®x)
)
dt
)
dxI
=
(∫ 1
0
d
dt
(tpωI (t ®x))dt
)
dxI = ωI (®x)dxI
= ω(®x) .
A a�rmação (ii), por sua vez, segue de
H (dω)(®x) = H
(
n∑
i=1
∂iωI (®x)dxi ∧ dxI
)
=
n∑
i=1
(∫ 1
0
tp(∂iωI )(t ®x)dt
)
dxi ∧ dxI
=
n∑
i=1
(
∂i
∫ 1
0
tp−1ωI (t ®x)dt
)
dxi ∧ dxI
= d
(∫ 1
0
tp−1ωI (t ®x)dt
)
∧ dxI
= d
((∫ 1
0
tp−1ωI (t ®x)dt
)
dxI
)
= d(Hω)(®x) ,
149
II. Análise Vetorial: Campos Vetoriais e Formas Diferenciais
onde na terceira igualdade usamos o fato que podemos derivar
parcialmente ωI (t ®x) em relação a ®x sob o sinal de integração.
150
IIICurvas, Superfícies e Subvariedades
em Rn
1. Caso parametrizado. Espaço tangente e bases
adaptadas
2. Descrição implícita e cartas locais. Mudança de
parametrização
3. Parametrizações especiais. Coordenadas polares,
cilíndricas e esféricas
151
IVIntegrais em Subvariedades
1. Caso parametrizado. Integrais de linha e de
superfície
2. Caso geral. Mudança de variáveis e partições de
unidade
153
VO Teorema Fundamental do
Cálculo
1. O teorema geral de Stokes para formas
diferenciais
2. Casos particulares em duas e três dimensões.
Os teoremas de Green, Gauss e Stokes clássico
3. Interpretação geométrica da derivada exterior e
de operadores diferenciais associados
3.1. Fluxo e circulação de campos vetoriais.
3.2. Interpretação geométrica do laplaciano. Potencial deNew-
ton e decomposição de Helmholtz de campos vetoriais.
155
VITópicos Suplementares. Aplicações
à Física
1. Derivada covariante em subvariedades.
Geodésicas e curvatura
2. Aplicações à mecânica de fluidos
3. Aplicações ao Eletromagnetismo
4. Aplicações à Relatividade
157
ACálculo Diferencial e Integral em
Várias Variáveis
Este Apêndice visa fazer uma breve revisão dos conceitos
necessários de Cálculo em Várias Variáveis para estas notas. O
conteúdo em questão é tipicamente visto num curso como a
disciplina BCN0407 – Funções de Várias Variáveis. Reitero
que este Apêndice não é substituto para um livro-texto sobre o
asssunto (ver, por exemplo, [1] ou [4]), e busca apenas servir de
material de consulta rápida.
1. Abertos e fechados de Rn. Interior, exterior,
fronteira e fecho
Seja U ⊂ Rn. Dizemos que U é aberto se para todo ®x ∈ U
existe � > 0 (dependendo de ®x) tal que a bola aberta de raio � e
centro ®x
B� (®x) =

� (� = 0)
{®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ < � } (� > 0)
está contida emU . Em outras palavras, para todo ®x ∈ U existe
uma distância mínima � > 0 tal que qualquer ®x′ ∈ Rn a uma
distância até ®x menor que � continua dentro deU :
®x′ ∈ Rn , ‖ ®x′ − ®x‖ < � ⇒ ®x′ ∈ U .
Em contrapartida, dizemos queU é fechado se, dado ®x ∈ Rn tal
que
B� (®x) ∩U , � para todo � > 0 ,
temos que ®x ∈ U . Ou seja, qualquer ®x ∈ Rn tal que exista
®x′ ∈ U a uma distância menor que � para qualquer � > 0 dado
necessariamente pertence aU .
159
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
Dado qualquer subconjunto U ⊂ Rn, podemos decompor
Rn em três partes mutuamente disjuntas:
• O interior deU , dado pelo conjunto int(U ) = Ů de todos
os vetores ®x ∈ Rn para os quais existe um � > 0 tal que
®x′ ∈ Rn , ‖ ®x′ − ®x‖ < � ⇒ ®x′ ∈ U .
Em outras palavras, para tal � temos que B� (®x) ⊂ U , de
modo que qualquer ponto ®x′ a uma distância de ®x menor
que � necessariamente está dentro deU . Obviamente, nesse
caso ®x ∈ U – dizemos então que ®x é um ponto interior de
U .
• O exterior de U , dado pelo conjunto ext (U ) de todos os
vetores ®x ∈ Rn para os quais existe � > 0 tal que
®x′ ∈ Rn , ‖ ®x′ − ®x‖ < � ⇒ ®x′ <U .
Em outras palavras, para tal � temos que B� (®x)∩U = �, de
modo que qualquer ponto ®x′ a uma distância de ®x menor
que � necessariamente está fora deU . Obviamente, nesse
caso ®x <U – dizemos então que ®x é um ponto exterior aU .
• A fronteira de U , dada pelo conjunto ∂(U ) de todos os
vetores ®x ∈ Rn que não pertencem a int (U ) ou a ext (U ),
ou seja, para os quais e para todo � > 0 existem ®x+ ∈ U ,
®x− <U tais que
‖ ®x+ − ®x‖ , ‖ ®x− − ®x‖ < � ,
ou seja, B� (®x) ∩ U , � e B� (®x) ∩ (Rn r U ) , �. Em
outras palavras, existem pontos tanto em U como fora de
U arbitrariamente próximos de ®x. Nesse caso, ®x pode ou
não pertencer a U – dizemos então que ®x é um ponto de
fronteira deU .
160
1. Abertos e fechados de Rn
Os conceitos acima deixam claro que int (U ) ∩ ext (U ) =
int (U ) ∩ ∂U = ext (U ) ∩ ∂U = � e int (U ) ∪ ext (U ) ∪ ∂U = Rn.
Além disso, obviamente int(U ) ⊂ U eext(U ) ∩U = �, de modo
que, denotandoU c = Rn rU :
• U ⊂ Rn é aberto se e somente se U = int (U ), o que por
sua vez ocorre se e somente se ∂U ∩ U = �. Mais em
geral, int (U ) é o maior subconjunto aberto de U , pois
dados ®x ∈ int (U ) e � > 0 tais que B� (®x) ⊂ U , temos
pela desigualdade triangular que se ®x′, ®x′′ ∈ Rn satisfazem
‖ ®x′ − ®x‖ < �2 e ‖ ®x
′′ − ®x′‖ < �2 , temos que
‖ ®x′′− ®x‖ = ‖(®x′′− ®x′)+ (®x′− ®x)‖ ≤ ‖ ®x′′− ®x′‖ + ‖ ®x′− ®x‖ < �
e portanto ®x′ ∈ int(U ), logo int(U ) é aberto e, em particular,
int(int(U )) = int(U ). Como vimos, pontos de fronteira de
U não podem ser pontos interiores deU , logo tampouco
podem sê-lo de qualquer aberto contido emU .
• U ⊂ Rn é fechado se e somente seU = int(U ) ∪ ∂U , o que
por sua vez ocorre se e somente se ∂U ⊂ U .
• ∂U = ∂(U c) e ext(U ) = int(U c), portantoU é aberto (resp.
fechado) se e somente seU c e fechado (resp. aberto).
Se ®x ∈ Rn é ponto interior ou ponto de fronteira deU , dize-
mos que ®x é ponto de aderência deU . Em outras palavras, ®x ∈ Rn
é ponto de aderência deU se dado � > 0 qualquer existe ®x′ ∈ U
tal que ‖ ®x′ − ®x‖ < � , i.e. B� (®x) ∩U , �. Ou seja, existem nesse
caso pontos ®x′ ∈ U arbitrariamente próximos de ®x (que podem
ou não ser iguais a ®x), daí o nome. O fecho de U é dado pelo
conjuntoU = U ∪ ∂U = int (U ) ∪ ∂U dos pontos de aderência
deU . Notar que
U c = ext(U ) ∪ ∂U = int(U )c , int(U c) = ext(U ) = (U )c ,
161
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
em particular
U = int((U )c)c = int(int(U c))c = int(U c)c =U .
Além disso, U é o menor fechado que contém U , pois (U )c =
int(U c) = ext(U ) é o maior aberto contido emU c.
Se existem pontos de U distintos de ®x mas arbitrariamente
próximos de ®x, dizemos que ®x é ponto de acumulação deU . Ou seja,
para todo � > 0 temos
®x′ ∈ U , ®x′ , ®x , ‖ ®x′ − ®x‖ < � .
Nesse caso, ®x pode ou não pertencer aU – por exemplo,U pode
ser aberto e ®x pode ser um ponto de fronteira deU . Se ®x ∈ U
não é ponto de fronteira deU , ou seja, se existe � > 0 tais que
B� (®x) ∩U = {®x}, dizemos que ®x é ponto isolado de U . Se todo
®x ∈ U é ponto isolado deU , dizemos queU é discreto. Se todo
®x ∈ U é ponto de acumulação de U , dizemos que U é perfeito.
Notar que todo aberto de Rn é perfeito.
Mostraremos agora que toda bola aberta em Rn é aberta (daí
o nome). Mais precisamente, mostraremos que para todo r > 0,
®x ∈ Rn temos
int(Br(®x)) = Br(®x) = {®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ < r} ,
ext(Br(®x)) = {®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ > r} ,
∂Br(®x) = {®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ = r} ,
logo é apropriado denominar bola fechada de raio r > 0 e centro
®x ∈ Rn o fecho
Br(®x) = {®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ ≤ r}
de Br(®x). A fronteira ∂Br(®x), por sua vez, é denominada esfera
(n-dimensional) de raio r e centro ®x.
162
1. Abertos e fechados de Rn
Para tal, notar que, pelas desigualdades triangular e triangular
reversa, temos para ®x, ®y, ®z ∈ Rn quaisquer que
|‖ ®x−®y‖−‖ ®x−®z‖| ≤ ‖(®x−®z)−(®y−®z)‖ = ‖ ®x−®y‖ ≤ ‖ ®x−®z‖+‖®y−®z‖ ,
logo dados ®x, ®x′′ ∈ Rn tais que ‖ ®x′− ®x‖ = s < r e ‖ ®x′′− ®x′‖ < r− s,
temos que ‖ ®x′′ − ®x‖ ≤ ‖ ®x′ − ®x‖ + ‖ ®x′′ − ®x′‖ < s + (r − s) = r e
portanto ®x′′ ∈ Br(®x). Ou seja, podemos tomar � = r − s para tal
®x′ na de�nição de ponto interior de Br(®x). Logo,
int(Br(®x)) ⊂ Br(®x) ⊂ int(Br(®x)) ⇒ int(Br(®x)) = Br(®x) .
Analogamente, dados ®x, ®x′′ ∈ Rn tais que ‖ ®x′ − ®x‖ = s > r e
‖ ®x′′ − ®x′‖ < s − r , temos que ‖ ®x′′ − ®x‖ ≥ ‖ ®x′ − ®x‖ − ‖ ®x′′ − ®x′‖ >
s − (s − r) = r e portanto ®x′′ < Br(®x). Ou seja, podemos tomar
� = s − r para tal ®x′ na de�nição de ponto exterior a Br(®x). Logo,
{®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ > r} ⊂ ext(Br(®x)) ⊂ Br(®x)c .
Resta apenas mostrar que todo ®x′ ∈ {®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ = r} é
ponto de fronteira de Br(®x). Se isso é verdade, então concluímos
que
{®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ > r} = ext(Br(®x))
e portanto
{®x′ ∈ Rn | ‖ ®x′ − ®x‖ = r} = ∂Br(®x) ,
como desejado. Para tal, dado ®x′ ∈ Rn tal que ‖ ®x′− ®x‖ = r , de�na
®xt = ®x + t(®x′ − ®x) = t ®x′ + (1 − t)®x ,
de modo que ®x0 = ®x, ®x1 = ®x′ e
®xt − ®xs = (t − s)(®x′ − ®x) ⇒ ‖®xt − ®xs‖ = |t − s |r ,
163
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
portanto ‖ ®xt − ®x‖ = tr e ‖ ®xt − ®x′‖ = |t − 1|r. Assim, dado � > 0,
podemos tomar ®x+ = ®x1− �2r , ®x− = ®x1+ �2r , de modo que
‖ ®x± − ®x′‖ =
�
2r
r =
�
2
< � ,
logo ®x′ ∈ ∂Br(®x). Um subproduto do nosso argumento é que
todo ponto de fronteira de Br(®x) é ponto de acumulação de Br(®x).
A noção de bolas abertas extende para n > 1 dimensões a noção
de intervalo aberto I = (a, b) ⊂ R, a < b ∈ R – com efeito, dado
que
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
e
a =
b + a
2
−
b − a
2
, b =
b + a
2
+
b − a
2
,
temos que
a < x < b ⇔ −
b − a
2
< x −
b + a
2
<
b − a
2
⇔
����x − b + a2 ���� < b − a2
e portanto (a, b) = B b−a
2
(b+a2 ). Em particular, ∂(a, b) = {a, b} e
(a, b) = [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.
Outra família de subconjuntos U ⊂ Rn para os quais é re-
lativamente simples calcular int (U ), ext (U ) e ∂U é a família
dos retângulos abertos n-dimensionais, que nada mais são do que
produtos cartesianos de n intervalos abertos de R:
U = (a1, b1) × · · · × (an, bn)
= {®x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn | ai < xi < bi , i = 1, . . . , n} ,
onde ai, bi ∈ R, i = 1, . . . , n. Notar queU = � se ai ≥ bi para
algum i = 1, . . . , n. Com efeito, mostraremos agora que talU é
aberto (daí o nome) e que
ext(U ) = {®x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn |
xi < [ai, bi] para algum i = 1, . . . , n} ,
164
1. Abertos e fechados de Rn
de modo que
U = [a1, b1] × · · · × [an, bn]
= {®x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn | ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, . . . , n}
é um produto cartesiano de n intervalos fechados de R, logo
denominado um retângulo fechado n-dimensional. Notar queU =
� se ai > bipara algum i = 1, . . . , n. Em particular,
∂U = {®x = (x1, . . . , xn) ∈ U |
xi ∈ {ai, bi} para algum i = 1, . . . , n} .
Provemos as a�rmações acima. Não há perda de generalidade em
assumir ai < bi para todo i = 1, . . . , n. Claramente é su�ciente
provar queU é aberto (de modo queU = int(U )) e que ext(U )
tem a forma acima. De fato, se ®x ∈ U , seja
� = min{x1 − a1, . . . , xn − an, b1 − x1, . . . , bn − xn} > 0 ,
de modo que se ®x′ = (x′1, . . . , x
′
n) ∈ R
n satisfaz ‖ ®x′ − ®x‖ < �
então |x′i − xi | ≤ ‖ ®x
′ − ®x‖ < � para todo i = 1, . . . , n e portanto
x′i − ai = (x
′
i − xi) + (xi − ai) > −� + � = 0 ,
bi − x′i = (bi − xi) + (xi − x
′
i) > � − � = 0
para todo i = 1, . . . , n. Concluímos daí que ®x′ ∈ U e portanto
®x ∈ int(U ), logoU é aberto. Seja agora ®x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn tal
que xi < [ai, bi] para algum i = 1, . . . , n. Isso signi�ca que para
tal i temos xi < ai ou xi > bi . Seja então � = min(ai − xi, xi − bi)
– se ®x′ = (x′1, . . . , x
′
n) ∈ R
n for tal que ‖ ®x′ − ®x‖ < � , de modo
que |x′i − xi | ≤ ‖ ®x
′ − ®x‖ < � , temos que
x′i − ai = (x
′
i − xi) + (xi − ai) < � − � = 0 ,
bi − x′i = (bi − xi) + (xi − xi) < −� + � = 0 ,
165
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
logo ®x′ <U e portanto ®x ∈ ext(U ). Finalmente, sejam
®x = (x1, . . . , xn) ∈ [a1, b1] × · · · × [an, bn] , ®x′ ∈ U ,
e de�na
®xt = ®x′ + t(®x − ®x′) = t ®x + (1 − t)®x′ , t ∈ R ,
de modo que ®x0 = ®x′, ®x1 = ®x e
‖ ®xt − ®xs‖ = |t − s | · ‖ ®x − ®x′‖ , t, s ∈ R .
Notar que se ®xt = (xt1, . . . , x
t
n), então
xti = x
′
i + t(xi − x
′
i) = txi + (1 − t)x
′
i , i = 1, . . . , n , t ∈ R ,
de modo que se t ∈ (0, 1) temos que 1 − t ∈ (0, 1) também e
portanto
ai ≤ xi ≤ b ⇒ tai ≤ txi ≤ tbi ,
ai < x′i < bi ⇒ (1 − t)ai < (1 − t)x
′
i < (1 − t)bi ,
i = 1, . . . , n .
Somando as duas linhas, concluímos que
ai < txi + (1 − t)x′i = x
t
i < bi , i = 1, . . . , n , t ∈ (0, 1) .
Além disso, se t > 1 e xi = ai temos que xti −ai = (1−t)(x
′
i−ai) <
0, e se t > 1 e xi = bi temos que bi − xti = (1 − t)(bi − x
′
i) < 0,
portanto em ambos os casos concluímos que ®xt < U se t > 1 e
xi = ai ou xi = bi para algum i = 1, . . . , n. Tal como na nossa
análise da fronteira de bolas abertas, queremos encontrar para
cada � > 0 umpar t+, t− ∈ R tais que ®xt+ ∈ U , ®xt− <U e
‖ ®xt± − ®x‖ = |t± − 1| · ‖ ®x′ − ®x‖ < � .
166
1. Abertos e fechados de Rn
A fórmula acima deixa claro que tais t+, t− devem satisfazer
|t± − 1| <
�
‖ ®x′ − ®x‖
⇔ 1 −
�
‖ ®x′ − ®x‖
< t± < 1 +
�
‖ ®x′ − ®x‖
,
de modo que, em vista do fato que ®xt ∈ U para 0 < t < 1 e
®xt <U se t > 1 assumindo ®x′ ∈ U e xi = ai ou xi = bi para algum
i = 1, . . . , n, tomando
t± = 1 ∓
�
2‖ ®x′ − ®x‖
atingimos nossso objetivo. Concluímos daí que se ®x = (x1, . . . ,
xn) ∈ [a1, b1] × · · · × [an, bn] for tal que xi = ai ou xi = bi para
algum i = 1, . . . , n, então ®x ∈ ∂U e portanto ®x < ext(U ). Logo,
ext(U ),U e ∂U são da forma acima – em particular, retângulos
fechados n-dimensionais são fechados.
Mais em geral, podemos mostrar que seU1 ⊂ Rn é um aberto
(resp. fechado) de Rn eU2 ⊂ Rm é um aberto (resp. fechado) de
Rm, então o produto cartesianoU1×U2 ⊂ Rn ×Rm = Rn+m é um
aberto (resp. fechado) deRn+m (notar queU1×U2 = � seU1 = �
ou U2 = �). Com efeito, se U1,U2 são abertos, sejam ®x ∈ U1,
®y ∈ U2, de modo que existem �1, �2 > 0 tais que B�1(®x) ⊂ U1 e
B�2(®y) ⊂ U2. Se ®x
′ ∈ Rn) e ®y′ ∈ Rm, notar que
‖(®x′, ®y′) − (®x, ®y)‖2 = ‖(®x′ − ®x, ®y′ − ®y)‖2 = ‖ ®x′ − ®x‖2 + ‖®y′ − ®y‖2 .
Em particular, tomando � = min(�1, �2) temos que se (®x′, ®y′) ∈
B� (®x, ®y) então
‖ ®x′ − ®x‖ ≤ ‖(®x′, ®y′) − (®x, ®y)‖ < � ≤ �1 ,
‖®y′ − ®y‖ ≤ ‖(®x′, ®y′) − (®x, ®y)‖ < � ≤ �2 ,
logo B� (®x, ®y) ⊂ B�1(®x) × B�2(®y) ⊂ U1 ×U2 e daí concluímos que
U1 ×U2 é aberto. Se, por outro lado,U1,U2 são fechados, notar
que
(U1 ×U2)c = (U c1 ×R
m) ∪ (Rn ×U c2) .
167
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
Como U c1 × R
m, Rn × U c2 são abertos, temos que sua união é
aberta – uma prova geral dessa a�rmação será dada mais adiante,
mas o caso da união de dois abertos é simples o bastante para
apresentarmos o argumento aqui. Se (®x, ®y) ∈ (U c1 ×R
m) ∪ (Rn ×
U c2), então (®x, ®y) ∈ U
c
1 × R
m ou (®x, ®y) ∈ Rn × U c2, logo existe
� > 0 tal que no primeiro caso temos B� (®x, ®y) ⊂ U c1 × R
m e no
segundo caso temos B� (®x, ®y) ⊂ Rn ×U c2. Em ambos os casos,
temos B� (®x, ®y) ⊂ (U c1×R
m)∪(Rn×U c2), logo (U
c
1×R
m)∪(Rn×U c2)
é aberto e portantoU1 ×U2 é fechado. Claramente o argumento
acima pode ser estendido por indução a produtos cartesianos de
mais de dois abertos (resp. fechados) – em particular, obtemos
uma prova diferente de que retângulos abertos (resp. fechados)
n-dimensionais são abertos (resp. fechados).
Como exemplos de subconjuntos fechados de Rn, além das
bolas fechadas e retângulos fechados podemos citar:
• O conjunto vazio, pois int(�) = � e ext(�) = Rn, portanto
∂� = � e assim � = �. Em particular, � também é aberto.
• Qualquer subconjunto unitário {®x}. De fato, ext ({®x}) =
{®x}c e portanto int({®x}) = �, logo ({®x}) = ∂{®x} = {®x};
• Qualquer subconjunto discretoU ⊂ Rn. De fato, nesse caso
para todo ®x ∈ U existe � > 0 tal que B� (®x) ∩U = {®x}, logo
∂U =U =U ;
• Qualquer subespaço vetorialW ⊂ Rn – em particular,
W = Rn. O caso dim(W ) = 0 corresponde aW = {®0} e
no casoW = Rn vimos que (Rn)c = � é aberto, logoW
é fechado nos dois casos. No caso 0 < dim(W ) < n, seja
PW a projeção ortogonal sobreW . Se ®x <W , temos que
PW ®x , ®x e portanto ‖ ®x − PW ®x‖ = s > 0. Lembrando que
168
1. Abertos e fechados de Rn
para todo ®y ∈W temos que
‖ ®x − ®y‖2 = ‖PW ®x − ®y‖2 + ‖ ®x −PW ®x‖2 ≥ ‖ ®x −PW ®x‖2 = s2 ,
se ®x′ ∈ Rn for tal que ‖ ®x′− ®x‖ < s2 , temos para todo ®y ∈W
pela desigualdade triangular reversa que
‖ ®x′ − ®y‖ ≥ ‖ ®x − ®y‖ − ‖ ®x′ − ®x‖ > s −
s
2
=
s
2
> 0 ,
logo ‖ ®x′ < W ‖ e portantoW c = ext (W ) = int (W c) é
aberto.
Notar que U ⊂ Rn é simultaneamente aberto e fechado
se e somente se ∂U = �. Os únicos subconjuntos de Rn que
satisfazem essa condição são U = � e U = Rn. A prova desse
fato é similar à prova dada acima de que a esfera de raio r > 0
e centro ®x ∈ Rn é a fronteira de Br(®x): se � , U ⊂ Rn e
U c , �, i.e. existem ®x ∈ U e ®x′ <U (em particular, ®x′ , ®x), seja
®xt = ®x + t(®x′ − ®x) = t ®x′ + (1− t)®x, t ∈ [0, 1], de modo que ®x0 = ®x
e ®x1 = ®x′. Além disso,
®xt − ®xs = (t − s)(®x′ − ®x) ⇒ ‖®xt − ®xs‖ = |t − s | · ‖ ®x′ − ®x‖ .
Seja então
t0 = inf{t ∈ [0, 1] | ®xt <U } .
Obviamente t0 ∈ [0, 1]; mostraremos que ®xt0 ∈ ∂U . De fato, se
[0, 1] 3 t− < t0, então necessariamente ®xt− ∈ U , do contrário
contradiríamos a de�nição de t0. Por outro lado, se [0, 1] 3
t+ > t0, então existe t′ ∈ (t0, t+) tal que ®xt′ < U . Em particular,
tomando |t0 − t± | < �‖ ®x′−®x‖ encontramos ®xt− ∈ U e ®xt′ < U tais
que
‖ ®xt−− ®xt0 ‖ = |t0−t− | · ‖ ®x
′− ®x‖ , ‖ ®xt′− ®xt0 ‖ < |t0−t+ | · ‖ ®x
′− ®x‖ < � .
Finalmente, notar que:
169
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
• Dada uma família {U j | j ∈ J } de abertosU j ⊂ Rn, temos
que a união desses abertos
U =
⋃
j∈J
U j = {®x ∈ Rn | ®x ∈ U j para algum j ∈ J }
é aberta: dado ®x ∈ U , temos que ®x ∈ U j para algum j ∈ J
por de�nição. Seja então � > 0 tal que B� (®x) ⊂ U j ⊂ U .
Em particular, todo aberto de Rn é uma união de bolas
abertas.
• Dada uma coleção �nita de abertosUi , i = 1, . . . , k, temos
que a interseção desses abertos
U =
n⋂
i=1
Ui = {®x ∈ Rn | ®x ∈ Ui para todo i = 1, . . . , k}
é aberta: ®x ∈ U , temos que ®x ∈ Ui para todo i = 1, . . . , k
por de�nição. Seja então � i > 0 tal que B� i (®x) ⊂ i j , e tome
� = min{� i | i = 1, . . . , k}, de modo que B� (®x) ⊂ B� i (®x) ⊂
Ui para todo i = 1, . . . , k.
• Como para qualquer família de subconjuntos {U j | j ∈ J }
temos as leis de de Morgan
©­«
⋃
j∈J
U j
ª®¬
c
= {®x ∈ Rn | ®x <U j para todo j ∈ J } =
⋂
j∈J
U cj ,
©­«
⋂
j∈J
U j
ª®¬
c
= {®x ∈ Rn | ®x <U j para algum j ∈ J } =
⋃
j∈J
U cj ,
concluímos que a interseção de uma família {U j | j ∈ J } de
fechados e a união de uma família �nitaUi , i = 1, . . . , k de
fechados também são fechados.
170
1. Abertos e fechados de Rn
• Como exemplo de aplicação das regras acima, concluímos
que ∂U = U ∩U c é fechado. Notar, contudo, que tanto o
interior como a fronteira de ∂U podem ser vazios ou não
– por exemplo, se U = Br(®x) com r > 0, ®x ∈ Rn vimos
que int(∂U ) = �. Por outro lado, se n = 1 eU = Q temos
que ∂U = U = R pois todo intervalo aberto de R possui
tanto racionais como irracionais, e portanto ∂(∂U ) = �. O
mesmo exemplo mostra que podemos ter int(U ) , int(U )
ou int(U ) ,U , posto que int(Q) = �.
• DadosU1,U2 ⊂ Rn, temos que int (U1 ∩U2) = int (U1) ∩
int(U2). Com efeito, int(U1)∩ int(U2) é um aberto contido
emU1 ∩U2, logo int (U1) ∩ int (U2) ⊂ int (U1 ∩U2). Con-
versamente, se ®x ∈ int(U1 ∩U2 então existe � > 0 tal que
B� (®x) ⊂ U1∩U2, logo ®x ∈ int(U1)∩int(U2). Analogamente,
como vimos acima que U = int (U c)c para todo U ⊂ Rn,
temos que
U1 ∪U2 = int((U1 ∪U2)c)c = int(U c1 ∩U
c
2)
c
= (int(U c1) ∩ int(U
c
2))
c = int(U c1)
c ∪ int(U c2)
c
=U1 ∪U2 .
Temos também que int (U1) ∪ int (U2) ⊂ int (U1 ∪U2) e
portanto U1 ∩ U2 ⊃ U1 ∩U2, mas as inclusões reversas
não são necessariamente verdadeiras – mais precisamente,
dado que
U1 ∩U2 = (int(U1) ∪ ∂U1) ∩ (int(U2) ∪ ∂U2)
= (int(U1) ∩ int(U2)) ∪ (int(U1) ∩ ∂U2)
∪ (∂U1 ∩ int(U2)) ∪ (∂U1 ∩ ∂U2)
= int(U1 ∩U2) ∪ (int(U1) ∩ ∂U2)
∪ (∂U1 ∩ int(U2)) ∪ (∂U1 ∩ ∂U2)
⊃ U1 ∩U2 = int(U1 ∩U2) ∪ ∂(U1 ∩U2) ,
171
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
portanto (dado que todos os conjuntos nas uniões acima
são mutuamente disjuntos)
∂(U1∩U2) ⊂ (int(U1)∩∂U2)∪(∂U1∩int(U2))∪(∂U1∩∂U2) ,
e que int(U1) ∩ ∂U2, ∂U1 ∩ int(U2) ⊂ ∂(U1 ∩U2) (exercício:
veri�que as duas últimas a�rmações acima), vemos que
há a possibilidade de ∂U1 ∩ ∂U2 conter pontos fora de
∂(U1 ∩U2). Um exemplo em que isso ocorre é o seguinte:
sejamU1,U2 ∈ R2 abertos dados por
U1 = B1(0) ∪ ((−2, 2) × (0, 2)) ,
U2 = B1(0) ∪ ((−2, 2) × (−2, 0)) ,
de modo que
U1 = B1(0) ∪ ([−2, 2] × [0, 2]) ,
U2 = B1(0) ∪ ([−2, 2] × [−2, 0])
e portanto
U1 ∩U2 = B1(0)
⇒U1 ∩U2 = B1(0) $ U1 ∩U2
= B1(0) ∪ ([−2, 2] × {0}) .
Notar que ∂U1 ∩ ∂U2 = ([−2, −1] ∪ [1, 2]) × {0} contém
justamente os pontos que não pertencem a B1(0).
2.Funções e aplicações de n variáveis. Limites e
continuidade
Uma aplicação m-dimensional (de n variáveis (reais)) em � ,
U ⊂ Rn é simplesmente uma função X :U → Rm. Omitiremos
o adjetivo “m-dimensional” quando a dimensão do contrado-
mínio de X for evidente. Se m = 1, dizemos simplemente que
172
2. Funções e aplicações de n variáveis
X = f é uma função (de n variáveis reais) (a valores reais) em
U . Dada uma aplicação m-dimensional X :U → Rm, podemos
escrever
X(®x) = (X1(®x), . . . , Xm(®x)) =
m∑
i=1
Xi(®x)®ei ,
de modo que Xi(®x) é a i-ésima componente de X(®x) na base
canônica S = {®e1, . . . , ®em} de Rm. Isso nos permite de�nir a
função Xi :U → R emU denominada a i-ésima componente de
X, i = 1, . . . , m. Obviamente, toda aplicação m-dimensional
emU é completamente determinada pelas suas m componentes.
O espaço F (U , Rm) das aplicações m-dimensionais emU , como
vimos na Seção 2, é um espaço vetorial se imbuído das operações
vetoriais pontuais de soma (vetorial)
(X + Y)(®x) = X(®x) + Y(®x) , ®x ∈ U ,
X, Y ∈ F (U , Rm) quaisquer, e multiplicação escalar
(αX)(®x) = αX(®x) , ®x ∈ U ,
X ∈ F (U , Rm), α ∈ R quaisquer. Além disso, dados f :U ∈ R e
X, Y :U → Rm, podemos escrever a multiplicação escalar (pontual)
( fX)(®x) = αX(®x) , ®x ∈ U
e o produto escalar (pontual) (não confundir ambos!)
〈X, Y〉(®x) = 〈X(®x), Y(®x)〉 , ®x ∈ U .
A noção de limite para funções e aplicações de n > 1 variáveis
é consideravelmente mais complicada que no case de funções
de n = 1 variável, pois há in�nitas possibilidades de direções
diferentes pelas quais podemos nos aproximar do ponto onde
173
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
queremos determinar o limite, como o seguinte exemplo ilustra.
Seja f : R2 → R dada por
f (x, y) =

xy
x2+y2 (x , 0)
0 x = 0
.
Fica claro que
f (0, y) = 0 = f (x, 0) =
x0
x2 + 02
.
Por outro lado, para x, t , 0 quaisquer temos
f (x, tx) =
tx2
2x2
=
t
2
,
portanto
lim
x→0
f (x, tx) =
t
2
, 0 = f (0, 0) = lim
x→0
f (x, 0) = lim
y→0
f (0, y)
para todo t , 0. Pior ainda, o limite pode inclusive ser o mesmo
ao nos aproximarmos do ponto onde queremos calcular por
qualquer linha reta mas mudar se o �zermos ao longo de um
outro tipo de curva contínua, tal como no caso de g : R2 → R
dada por
g(x, y) =

xy2
x2+y4 (x , 0)
0 x = 0
,
pois nesse caso para x , 0, t ∈ R quaisquer
g(x, tx) =
t2x3
x2(1 + t4x2)
=
t2x
1 + t4x2
,
de modo que limx→0 g(x, tx) = 0 para todo t ∈ R. Contudo, se
x = ty2 temos para t, y , 0
g(ty2, y) =
ty4
(t2 + 1)y4
=
t
1 + t2
,
174
2. Funções e aplicações de n variáveis
logo
lim
®y→0
g(ty2, y) =
t
1 + t2
, 0 para todo t , 0 .
A solução para esssse problema é exigir que a taxa à qual nos
aproximamos do limite seja uniforme em todas as direções.
Mais precisamente, sejam � , U ⊂ Rn, ®x ∈ Rn um ponto
de acumulação de U . Dizemos que ®y ∈ Rm é limite de uma
aplicação X :U → Rm em ®x se para todo � > 0 existe δ > 0 tal
que para ®x′ ∈ U com 0 < ‖ ®x′ − ®x‖ < δ temos ‖X(®x′) − ®y‖ < � .
Pode-se mostrar que ®y, se existir, é único: suponha que ®y′ satisfaz
as mesmas condições acima que ®y satisfaz. Então dado � > 0
existem δ′, δ′′ > 0 tais que para ®x′ ∈ U com 0 < ‖ ®x′ − ®x‖ < δ′
temos ‖X(®x′) − ®y‖ < �2 e para ®x
′ ∈ U com 0 < ‖ ®x′ − ®x‖ < δ′′
temos ‖X(®x′) − ®y′‖ < �2 . Em particular, se ®x
′ ∈ U satisfaz 0 <
‖ ®x′ − ®x‖ < min(δ, δ′) temos pela desigualdade triangular
‖®y − ®y′‖ ≤ ‖X(®x′) − ®y‖ + ‖X(®x′) − ®y′‖ < � ,
Como ®x é ponto de acumulação deU , tal ®x′ existe para todo � >
0, logo a distância entre ®y e ®y′ é tão pequena quanto queiramos
e portanto ®y = ®y′. Portanto, podemos falar do limite
®y = ®y′ = lim
®x′→®x
X(®x′) ,
se existir. Se ®x ∈ U , dizemos que X é contínua em ®x se
lim
®x′→®x
X(®x′) = X(®x)
caso ®x seja ponto de acumulação deU , com a convenção de queX
é sempre contínua em pontos isolados deU . Se X for contínua em
É importante notar que a
noção de limite se torna am-
bígua se ®x ∈ U for um ponto
isolado de U , pois se apli-
cássemos a de�nição de li-
mite nesse caso concluiría-
mos que qualquer ®y ∈ Rm é
limite de X em ®x: basta to-
mar δ > 0 tal que Bδ(®x) ∩
U = {®x}. Em particular,
podemos tomar ®y = X(®x),
claro.
todo ®x ∈ V ⊂ U , dizemos que X é contínua emV . Em particular,
seV = Rn, dizemos simplesmente que X é contínua (em Rn).
Outra maneira de de�nir continuidade de uma aplicação
X : U ⊂ Rn → Rm em ®x ∈ U é a seguinte: dados V ⊂ U ,
175
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
Ṽ ⊂ Rm, a imagem deV por X é dada por
X(V ) = {®y = X(®x) ∈ Rm | ®x ∈ V }
e a imagem inversa de Ṽ por X é dada por
X−1(Ṽ ) = {®x ∈ U | X(®x) ∈ Ṽ } .
Dizer que X é contínua em ®x ∈ U é o mesmo que dizer que para
todo � > 0 existe δ > 0 tal que X(Bδ(®x) ∩U ) ⊂ B� (X(®x)), o que
implica que X é contínua se e somente se, dado Ṽ ⊂ Rm aberto,
existeV0 ⊂ Rn aberto tal que X−1(Ṽ ) =U ∩V0.
Para ver isso, suponhamos que a última a�rmação acima
seja verdadeira; em particular, se Ṽ = B� (®y)(X(®x)) para ®x ∈ U ,
encontramos V0 ⊂ Rn aberto tal que X−1(Ṽ ) = V0 ∩ U , de
modo que exista δ > 0 tal que Bδ(®x) ⊂ V0 e portanto Bδ(®x) ∩
U ⊂ V0 ∩U = X−1(Ṽ ), recuperando assim a de�nição original
de continuidade de X. Conversamente, suponhamos que X é
contínua, Ṽ ⊂ Rm aberto e ®x ∈ X−1(Ṽ ) ⊂ U , de modo que exista
� > 0 tal que B� (X(®x)) ⊂ Ṽ . Então existe δ > 0 tal que
Bδ(®x) ∩U ⊂ X−1(B� (X(®x))) ⊂ X−1(Ṽ ) .
Podemos então tomar
V0 =
⋃
®x∈X−1(Ṽ )
Bδ(®x)(®x) ,
onde δ(®x) = min(1, sup{δ > 0 | Bδ(®x) ⊂ X−1(Ṽ )}) para cada
®x ∈ X−1(Ṽ e convencionamos sup A = +∞ se� , A ⊂ R não for
limitado por cima (portanto δ(®x) = 1 nesse caso). Por construção,
V0 ⊃ X−1(Ṽ ) eV0 ∩U ⊂ X−1(Ṽ ), logoV0 ∩U = X−1(Ṽ ), como
desejado. Além disso, como
X−1(Ṽ c) = {®x ∈ U | X(®x) < Ṽ } =U rX−1(Ṽ )
176
2. Funções e aplicações de n variáveis
para todo Ṽ ⊂ Rm, temos que X é contínua se e somente se,
dado Ṽ ⊂ Rm fechado, existeV0 ⊂ Rn fechado tal que X−1(Ṽ ) =
V0 ∩U .
Sejam ®x ∈ Rn um ponto de acumulação de U ⊂ Rn (em
particular, U , � e uma aplicação X : U → Rm. Como para
todo ®y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm temos
max{|yi | | i = 1, . . . , m} ≤ ‖®y‖2 =
√√ m∑
i=1
y2i
≤
√
mmax{|yi | | i = 1, . . . , m} ,
concluímos que
lim
®x′→®x
X(®x) = ®y = (y1, . . . , ym) ⇔ lim
®x′→®x
Fi(®x) = yi
para todo i = 1, . . . , m. Com efeito, suponhamos que
lim
®x′→®x
X(®x) = ®y ,
de modo que para todo � > 0 exista δ > 0 tal que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ
⇒ max{|Fi(®x) − yi | | i = 1, . . . , m} ≤ ‖ ®f (®x′) − ®y‖ < � .
Conversamente, suponha que dado � > 0 exista δi > 0 tal que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δi ⇒ |Fi(®x) − yi | <
�
√
m
, i = 1, . . . , m .
Tomando δ = min{δi | i = 1, . . . , m}, temos que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ ⇒ ‖X(®x) − ®y‖ < � ,
como desejado. Portanto, podemos reduzir o estudo de limites
de aplicações emU ao estudo de limites de funções emU . Assim,
se f , g : U → R, a, b ∈ R são tais que lim®x′→®x f (®x′) = a e
lim®x′→®x g(®x′) = b, temos que:
177
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
(a) lim®x→®x( f (®x′) + g(®x′)) = a + b, ou seja,
lim
®x→®x
( f (®x′) + g(®x′)) = lim
®x→®x
f (®x′) + lim
®x→®x
g(®x′) .
Em particular, se f , g são contínuas em ®x ∈ U , então a
soma f + g de f e g também é. (de fato, dado � > 0, sejam
δ′, δ′′ > 0 tais que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ′⇒ | f (®x′) − a | <
�
2
,
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ′′⇒ |g(®x′) − b | <
�
2
.
Tomando δ = min(δ′, δ′′), concluímos que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ
⇒ |( f (®x′) + g(®x′)) − (a + b)| ≤ | f (®x′) − a | + |g(®x′) − b | < � ,
como desejado)
(b) lim®x→®x( f (®x′)g(®x′)) = ab, ou seja,
lim
®x→®x
( f (®x′)g(®x′)) =
(
lim
®x→®x
f (®x′)
) (
lim
®x→®x
g(®x′)
)
.
Em particular, se f , g são contínuas em ®x ∈ U , então o
produto f g de f e g também é. (de fato, observemos que
para todo ®x′ ∈ U podemos escrever
f (®x′)g(®x′) − ab = ( f (®x′) − a + a)(g(®x′) − b + b) − ab
= ( f (®x′) − a)(g(®x′) − b) + ( f (®x′) − a)b
+ a( f (®x′) − b) ,
de modo que
| f (®x′)g(®x′) − ab | ≤ | f(®x′) − a | · |g(®x′) − b |
+ |b | · | f (®x′) − a | + |a | · | f (®x′) − b | .
178
2. Funções e aplicações de n variáveis
Dado � ′ > 0, seja
� = (� ′)2 + (|a | + |b |)� ′ ,
de modo que � ′ é a raiz positiva da equação do segundo
grau t2 + (|a | + |b |)t − � = 0, ou seja,
� ′ =
√
(|a | + |b |)2 + 4� − (|a | + |b |)
2
.
Assim, dado � > 0, sejam � ′ tal como acima e δ′, δ′′ > 0
tais que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ′⇒ | f (®x′) − a | , |g(®x′) − b | < � ′ .
Tomando δ = min(δ′, δ′′), concluímos que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ ⇒ | f (®x′)g(®x′) − ab | < � ,
como desejado)
(c) Se b , 0 então lim®x→®x
1
g(®x′) =
1
b , ou seja,
lim
®x′→®x
1
g(®x′)
=
1
lim®x′→®x g(®x′)
.
Em particular, a recíproca 1/g de g(
1
g
)
(®x) =
1
g(®x)
está de�nida em
V = {®x′ ∈ U | g(®x′) , 0} ⊃ Bδ1(®x) ∩U , �
para algum δ1 > 0 – a saber, tal que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖δ1 ⇒ |g(®x′) − b | < |b | .
179
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
Além disso, ®x é ponto de acumulação deV . (de fato, seja
δ2 > 0 tal que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖δ2 ⇒ |g(®x′) − b | <
|b |
2
,
de modo que nesse caso |g(®x′)| > |b | − |g(®x′) − b | > |b |2 .
Observando agora que para todo ®x′ ∈ V temos���� 1g(®x′) − 1b ���� = |b − g(®x′)||b | · |g(®x′)| ,
dado � > 0 seja δ′ > 0 tal que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖δ2 ⇒ |g(®x′) − b | <
|b |2
2
� .
Tomando δ = min(δ2, δ′) concluímos que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖δ2 ⇒
���� 1g(®x′) − 1b ���� = |b − g(®x′)||b | · |g(®x′)| < � ,
como desejado)
(d) Segue de (b) e (c) que se b , 0 então lim®x→®x
f (®x′)
g(®x′) =
a
b , ou
seja,
lim
®x→®x
f (®x′)
g(®x′)
=
lim®x→®x f (®x′)
lim®x→®x g(®x′)
.
Em particular, se f , g são contínuas em ®x ∈ V (ondeV é
de�nido tal como em (c)), então o quociente f /g de f e g(
f
g
)
(®x′) =
f (®x′)
g(®x′)
, ®x ∈ V
também é contínuo em ®x.
Em particular, segue de (a) e (b) que se ®x ∈ Rn é ponto de
acumulação deU ⊂ Rn e X, Y : U → Rm, f : U → R são tais
que
lim
®x′→®x
X(®x′) = ®y , lim
®x′→®x
Y(®x′) = ®z , lim
®x′→®x
f (®x′) = α ,
180
2. Funções e aplicações de n variáveis
então
lim
®x′→®x
f (®x′)X(®x′) = α®y , lim
®x′→®x
〈X(®x′), Y(®x′)〉 = 〈®y, ®z〉 .
Limites de aplicações também tem um bom comportamento
mediante composição: seja ®x ∈ Rn ponto de acumulação deU ⊂
Rn, V ⊂ Rm, e aplicações X : U → Rm, Y : V → Rp tais que
X(U ) ⊂ V , de modo que a aplicação composta Y ◦X :U → Rp
está bem de�nida. Se
lim
®x′→®x
X(®x′) = ®y , lim
®y′→®y
Y(®y′) = ®z
(notar que a primeira fórmula implica que ®y é ponto de acumu-
lação deV , portanto a segunda fórmula é bem de�nida), então
lim
®x′→®x
Y(X(®x′)) = ®z .
Em particular, se X é contínua em ®x ∈ U e Y é contínua em
®y = X(®x) ∈ V , então Y ◦X :U → Rp é contínua em ®x, e
lim
®x′→®x
Y(X(®x′)) = Y(X(®x)) = Y
(
lim
®x′→®x
X(®x′)
)
.
De fato, dado � > 0 seja δ′ > 0 tal que
®y′ ∈ V , ‖®y′ − ®y‖ < δ′ ⇒ ‖Y(®y′) − ®z‖ < � .
Por hipótese, existe então δ > 0 tal que
®x′ ∈ V , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ ⇒ ‖X(®x′) − ®y‖ < δ′
⇒ ‖Y(X(®x′)) − ®z‖ < � ,
como desejado. Em particular, se por exemplo X : (−1, 1) →
Rn for contínua em t = 0 com X((−1, 1)) ⊂ U , X(0) = ®x e
Y : U → Rm com lim®x′→®x Y(®x′) = ®y, então limt→0 Y(X(t)) = ®y,
logo resolvemos como prometido o problema apontado no início
desta Seção.
Consideremos agora os seguintes exemplos de aplicações e
funções contínuas:
181
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
• Qualquer aplicação constante X(®x) ≡ ®c, ®x ∈ Rn qualquer.
(qualquer δ > 0 serve, pois ‖X(®x′) −X(®x)‖ = ‖®c − ®c‖ = 0
para ®x, ®x′ ∈ Rn quaisquer)
• Qualquer aplicação lipschitziana X : U → Rm, � , U ⊂
Rn – i.e. tal que existe uma constante L > 0 tal que
‖X(®x′) −X(®x)‖ ≤ L‖ ®x′ − ®x‖. (dado � > 0 na de�nição de
continuidade, podemos tomar δ = �L )
• A norma (euclidiana) ‖ · ‖ : Rn → R. (segue diretamente
da desigualdade triangular reversa |‖ ®x′‖ − ‖ ®x‖| ≤ ‖ ®x′ − ®x‖,
®x, ®x′ ∈ Rn quaisquer, que a norma é uma função lips-
chitziana, logo dado � > 0 na de�nição de continuidade
podemos tomar δ = � )
• Toda t.l. T : Rn → Rm. Em particular, a 1-forma ®e[j
que leva cada ®x ∈ Rn na sua j-ésima componente na base
canônica S = {®e1, . . . , ®en} de Rn é contínua para todo
j = 1, . . . , n. (de fato, seja a representação
T ®x =
m∑
i=1
〈®ei,T ®x〉®ei =
m∑
i1
〈 ®fi, ®x〉®ei ,
onde ®fi = T ∗®ei , i = 1, . . . , m e S̃ = {®e1, . . . , ®em} é a base
canônica de Rm. A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos
diz que |〈 ®fi, ®x〉| ≤ ‖ ®fi ‖ · ‖ ®x‖, para todo i = 1, . . . , m, logo
‖T ®x‖ ≤ ©­«
m∑
j=1
‖ ®fi ‖
ª®¬ ‖ ®x‖ = c‖ ®x‖ , ®x ∈ Rn .
Ou seja, toda t.l. T → Rn → Rm é lipschitziana, portanto
dado � > 0 na de�nição de continuidade podemos tomar
δ = �c seT , 0 e δ qualquer seT = 0)
182
2. Funções e aplicações de n variáveis
• Toda p-forma ω : (Rn)p = Rnp → R em Rn, p > 0.
(a prova no fundo é similar à do exemplo de t.l.’s acima:
escrevendo ω na forma (I.25)
ω(®x1, . . . , ®xp) =
∑
I⊂{1, ...,n} , |I |=p
det ŝI (®x1, . . . , ®xp)ω(ŝI ) ,
onde det ŝI é a função determinante associada a ŝI para
cada I = { j1 < · · · < jp} ⊂ {1, . . . , n}, i.e. ŝI (k) = ®e jk ,
k = 1, . . . , p, com ŝ(i) = ®ei , i = 1, . . . , n a base ordenada
canônica de Rn, de modo que
det ŝI (®x1, . . . , ®xp) =
∑
σ∈Sp
�σ 〈®e jσ(1), ®x1〉 · · · 〈®e jσ(p), ®xp〉 .
A função determinante det ŝI , sendo uma c.l. de produtos
de componentes de ®x1, . . . , ®xp, é claramente contínua)
• A soma vetorial + : R2n → Rn, +(®x, ®y) = ®x + ®y, ®x, ®y ∈ Rn;
(de fato, pela desigualdade triangular ‖(®x′+ ®y′) − (®x + ®y)‖ ≤
‖ ®x′ − ®x‖ + ‖®y′ − ®y‖, de modo que dado � > 0 na de�nição
de continuidade podemos tomar δ = �2 )
• A multiplicação escalar µ : R1+n → Rn, µ(α, ®x) = α ®x,
α ∈ R, ®x ∈ Rn; (de fato, como
‖α′®x′ − α ®x‖ = ‖(α′ − α + α)(®x′ − ®x + ®x) − α ®x‖
= ‖(α′ − α)(®x′ − ®x) + (α′ − α)®x + α(®x′ − ®x)‖
≤ |α′ − α | · ‖ ®x′ − ®x‖ + |α′ − α | · ‖ ®x‖
+ |α | · ‖ ®x′ − ®x‖ ,
um argumento similar ao adotado para provar (b) pode ser
aplicado à desigualdade acima para provar a continuidade
da multiplicação escalar)
183
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
• O produto escalar 〈·, ·〉 : R2n → R. (a prova segue de uma
desigualdade similar à obtida para o exemplo anterior
|〈®x′, ®y′〉 − 〈®x, ®y〉| = |〈®x′ − ®x + ®x, ®y′ − ®y + ®y〉 − 〈®x, ®y〉|
= |〈®x′ − ®x, ®y′ − ®y〉 + 〈®x, ®y′ − ®y〉 + 〈®x′ − ®x, ®y〉|
≤ |〈®x′ − ®x, ®y′ − ®y〉| + |〈®x, ®y′ − ®y〉| + |〈®x′ − ®x, ®y〉|
e da desigualdade de Cauchy-Schwarz)
2.1 Exercício. Complete os detalhes da veri�cação de continuidade
faltando nos dois últimos exemplos listados acima.
Notar agora que, dadas aplicações X1, . . . , Xp : U → Rm,
� , U ⊂ Rn, podemos de�nir o pareamento ou soma direta de
X1, . . . , Xp como a aplicação (X1, . . . , Xp) :U :→ (Rm)p = Rmp,
p > 1 dada por
(X1, . . . , Xp)(®x) = (X1(®x), . . . , Xp(®x)) .
Se ®x é ponto de acumulação de U e lim®x′→®x X j(®x′) = ®y j , j =
1, . . . , p, então
lim
®x′→®x
(X1(®x′), . . . , Xp(®x′)) = (®y1, . . . , ®yp) .
Em particular, se X1, . . . , Xp são contínuas em ®x ∈ U , então
(X1, . . . , Xp) também é. A prova desse fato é similar à prova de
(a): dado � > 0 seja δ j > 0 tal que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ j ⇒ ‖X j(®x′) − ®y j ‖ <
�
√
m
,
j = 1, . . . , p. Notemos agora que
‖(X1(®x′), . . . , Xp(®x′)) − (®x1, . . . , ®yp)‖2 =
p∑
j=1
‖X j(®x′) − ®yy ‖2
184
2. Funções e aplicações de n variáveis
para todo ®x′ ∈ U , logo tomando δ = min{δ j | j = 1, . . . , p}
obtemos
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ
⇒ ‖(X1(®x′), . . . , Xp(®x′)) − (®x1, . . . , ®yp)‖ < � ,
como desejado.
Os resultados e exemplos acima nos permitem calcular limi-
tes e obter a continuidade de uma grande classe de exemplos, em
particular aproveitando nosso conhecimento prévio de limites
e continuidade de funções de uma variável. Um outro resul-
tado importante sobre limites que se estende a funções de várias
variáveis é o seguinte:
A.1Teorema (do Confronto). Seja ®x ∈ Rn um ponto de acumulação
deU ⊂ Rn e f , g, h : U → R tais que f (®x′) ≤ g(®x′) ≤ h(®x′) para
todo ®x′ ∈ U . Se
lim
®x′→®x
f (®x) = lim
®x′→®x
h(®x) = a,
então lim®x′→®x g(®x′) = a.
Demonstração. Dado � > 0 sejam δ′, δ′′ > 0 tais que
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ′⇒ | f (®x′) − a | <
�
3
,
®x′ ∈ U , ‖ ®x′ − ®x‖ < δ′′⇒ |h(®x′) − a | <
�
3
.
Tomando δ = min(δ′, δ′′), temos que se ®x′ ∈ U e ‖ ®x′ − ®x‖ < δ
então
|g(®x′) − a | ≤ |g(®x′) − f (®x′)| + | f (®x′) − a |
≤ |h(®x′) − f (®x′)| + | f (®x′) − a |
= |(h(®x′) − a) − ( f (®x′) − a)| + | f (®x′) − a |
≤ |h(®x′) − a | + 2| f (®x′) − a |
< � ,
185
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
como desejado. �
Um exemplo típico de aplicação do Teorema do Confronto
é o seguinte: sejam ®x ∈ Rn ponto de acumulação deU ⊂ Rn e
f , g :U → R tais que f é limitada emU – i.e. existeM > 0 tal
que | f (®x′)| ≤ M para todo ®x′ ∈ U – e lim®x′→®x g(®x′) = 0. Nesse
caso, temos que
−Mg(®x′) ≤ f (®x′)g(®x′) ≤ Mg(®x′) para todo ®x′ ∈ U .
Como lim®x′→®x(±Mg(®x′)) = 0, concluímos que
lim
®x′→®x
f (®x′)g(®x′) = 0 ,
independentemente da existência ou não do limite de f em ®x.
3. Compacidade e conexidade. O Teorema do Valor
Extremo, o Teorema de Heine-Cantor e o
Teorema do Valor Intermediário
Uma noção importantíssima no que concerne o comporta-
mento de funções continuas é a noção de subconjunto compacto.
Existem, como veremos adiante, duas maneiras equivalentes
de de�nir subconjuntos compactos de Rn, cada uma com sua
utilidade.
Seja K ⊂ Rn. Um recobrimento de K é uma coleção {U j | j ∈
J } de subconjuntosU j ⊂ Rn tais que⋃
j∈J
U j ⊃ K .
Dizemos que um recobrimento {U j | j ∈ J } de K ⊂ Rn é:
• Aberto seU j é aberto para todo j ∈ J ;
186
3. Compacidade e conexidade
• Finito se J é �nito, e.g. J = {1, . . . , k}.
Dado um recobrimento {U j | j ∈ J } de K ⊂ Rn, um subre-
cobrimento de {U j | j ∈ J } é um recobrimento de K da forma
{Ui | i ∈ I} com I ⊂ J . Dizemos que K ⊂ Rn é compacto se todo
recobrimento aberto de K admite um subrecobrimento �nito.
Podemos citar as seguintes propriedades de compactos:
• Rn não é compacto. (com efeito, {Br(®0) | r > 0} é um
recobrimento aberto de Rn que não admite um subreco-
brimento �nito)
• Se K ⊂ Rn é �nito, então K é compacto. (de fato, se
{U j | j ∈ J } é um recobrimento aberto deK = {®x1, . . . , ®xk},
então para cada i = 1, . . . , k existe ji ∈ J tal que ®xi ∈ B ji .
Tomando I = { j1, . . . , jk} ⊂ J temos que {U j | j ∈ I} é
um subrecobrimento �nito de {U j | j ∈ J })
• Todo compacto K ⊂ Rn é fechado. (de fato, seja ®x < K
– tal ®x existe pois vimos acima que Rn não é compacto.
Obviamente temos que⋂
r>0
Br(®x) = {®x}
pois todo ®x′ , ®x satisfaz ®x′ < Br(®x) se r < ‖ ®x′ − ®x‖. Por-
tanto, pelas leis de de Morgan,
K ⊂ Rn r {®x} =
(⋂
r>0
Br(®x)
) c
=
⋃
r>0
ext(Br(®x)) ,
de modo que {ext (Br(®x)) | r > 0} é um recobrimento
aberto de K. Por hipótese, existem 0 < r1 < · · · < rk tais
187
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
que {ext (Br j (®x)) | j = 1, . . . , k‖ é um subrecobrimento
(�nito) de {ext(Br(®x)) | r > 0}. Como
k⋃
j=1
ext(Br j (®x)) = ext(Br1(®x)) ⊃ K ,
concluímos que Br1(®x) ∩ K = � e portanto ®x ∈ ext (K).
Logo, K = K)
• Todo compacto K ⊂ Rn é limitado: existe R > 0 tal que
‖ ®x‖ ≤ R para todo ®x ∈ K. Em outras palavras, para tal R
temos K ⊂ BR(®0). (de fato, temos que {Br(®0) | r > 0} é
recobrimento aberto de K pois⋃
r>0
Br(®0) = Rn .
Logo, existem 0 < r1 < · · · < rk tais que {ext(Br j (®0)) | j =
1, . . . , k‖ é um subrecobrimento (�nito) de {ext(Br(®x)) | r >
0} e portanto
k⋃
j=1
Br j (®0) = Brk (®0) ⊃ K ,
de modo que ‖ ®x‖ ≤ R = rk para todo ®x ∈ K.
• Se K é compacto e K̃ ⊂ K é fechado, então K̃ também é
compacto. (com efeito, seja {U j | j ∈ J } um recobrimento
aberto de K̃, de modo que {U j | j ∈ J } ∪ {K̃c} é recobri-
mento aberto de K pois K̃c ⊃ K r K̃ é aberto. Como K é
compacto, existe I ⊂ J �nito tal que {U j | j ∈ I} ∪ {K̃c}
é subrecobrimento de {U j | j ∈ J } ∪ {K̃c} (não há perda
de generalidade em incluir K̃c) e portanto é um recobri-
mento aberto �nito de K̃. Como K̃ ∩ K̃c = �, temos que
{U j | j ∈ I} é um subrecobrimento �nito de {U j | j ∈ J })
188
3. Compacidade e conexidade
A de�nição acima de compacidade é bastante abstrata e nem
sempre é fácil de veri�car diretamente em exemplos concretos,
mas, como veremos adiante, tem grande utilidade. Por outro
lado, checar se um conjunto K ⊂ Rn é limitado é relativamente
simples – por exemplo, bolas fechadas Br(®x) são limitadas, pois
pela desigualdade triangular
‖ ®x′‖ ≤ ‖ ®x′ − ®x‖ + ‖ ®x‖ ≤ R + ‖ ®x‖ para todo ®x′ ∈ Br(®x) .
Como todo subconjunto de um conjunto limitado também é
limitado, o mesmo é verdade para bolas abertas e esferas. Outra
família de exemplos de conjuntos limitados são os retângulos
fechados n-dimensionais
K = [a1, b1] × · · · × [an, bn] .
Para ver que tal K é limitado, de�namos
ri = max(|ai |, |bi |) , i = 1, . . . , n ,
de modo que
®x ∈ K ⇒ ‖®x‖ =
√√ n∑
i=1
x2i ≤
√√ n∑
i=1
r2i = R
para todo i = 1, . . . , n. Dito isso, a tarefa de checar compacidade
é simpli�cada pelo fundamental
A.2 Teorema (de Heine-Borel-Lebesgue). Um subconjunto K ⊂
Rn é compacto se e somente se for fechado e limitado.
A prova do Teorema de Heine-Borel-Lebesgue é trabalhosa,
particularmente devido à notação, mas no fundo é apenas uma
versão n-dimensional do conhecido “lema dos intervalos encai-
xantes” na reta real. Recomenda-se omitir a leitura dessa prova
189
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
num primeiro momento (dado que a técnica empregada não terá
outro papel nestas Notas) e se ater ao enunciado, que pode ser
visto como uma de�nição alternativa de compacidade em Rn.
Demonstração do Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Já vimos ante-
riormente que se K é compacto então K é fechado e limitado.
Conversamente, suponha que K é fechado e limitado, de modo
que existe R > 0 tal que K ⊂ BR(®0). Como
BR(®0) ⊂ [−R, R]n
= {®x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn |
− R ≤ x j ≤ R , j = 1, . . . , n} ,
nossa tarefa estará concluída se mostrarmos que o retângulo
fechado K0 = [−R, R]n é compacto. A forma particular desse
subconjunto nos permitirá provar a sua compacidade por ab-
surdo. Com efeito, suponha que existe um recobrimento aberto
{U j | j ∈ J } de K0 que não possui um subrecobrimento �nito.
Como {U j | j ∈ J } é também subrecobrimento aberto de qual-
quer K̃ ⊂ K0, vemos que se existem K̃1, . . . , K̃m ⊂ Rn tais que
∪mj=1K̃ j = K0, então K̃ j não deve admitir um subrecobrimento
�nito de {U j | j ∈ J } para algum j = 1, . . . , m. Baseados nessa
observação, procedamos da seguinte maneira. Subdividimos o
retângulo n-dimensional K0 em 2n retângulos n-dimensionais
K1,l , l = 1, . . . , 2n, onde cada K1,l é da forma
K1,l = [a1, b1] × · · · × [an, bn]
com ai = −R, 0 e bi − ai = R para cada i = 1, . . . , n. Pelo
raciocínio acima, K1,l não admite um subrecobrimento �nito
de {U j | j ∈ J } para algum j. Seja então l1 ∈ {1, . . . , 2n}
tal que K1 = K1,l1 não admite um subrecobrimento �nito de
{U j | j ∈ J } e tal que a1, . . . , an na representação acima de K1
190
3. Compacidade e conexidade
tem os menores valores possíveis dentre todos os K1,l ’s com
essa propriedade. Isso sugere o seguinte procedimento indutivo:
Dado um retângulo n-dimensional Kk ⊂ [−R, R]n, k ∈ N da
forma
Kk = [ck,1, dk,1]×· · ·×[ck,n, dk,n] , dk,i−ck,i = 2
1−kR , i = 1 . . . , n
que não admite um subrecobrimento �nito de {U j | j ∈ J },
podemos subdividir Kk em 2n retângulos n-dimensionais Kk+1,l ,
j = 1, . . . , 2n onde cada Kk+1,l é da forma
Kk+1,l = [a1, b1] × · · · × [an, bn]
com ai = ck,i, ck,i + 2−kR e bi − ai = 2−kR para cada i = 1, . . . , n.
Novamente, devemos ter que Kk+1,l não deve admitir um subre-
cobrimento �nito de {U j | j ∈ J } para algum l = 1, . . . , 2n. Seja
então lk+1 ∈ {1, . . . , 2n} tal que Kk+1 = Kk+1,lk+1 não admite um
subrecobrimento �nito de {U j | j ∈ J } e tal que a1, . . . , an na
representação acima de Kk+1 tem os menores valores possíveis
dentre todos os Kk+1,l ’s com essa propriedade. Desta forma,
construímos uma sequência K0 ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ · · · de retângulos
fechados n-dimensionais tais que paranenhum k ∈ N Kk admite
um subrecobrimento �nito de {U j | j ∈ J }. Notar agora que se
®x = (x1, . . . , xk), ®x′ = (x′1, . . . , x
′
k) ∈ Kk, então
|x′i − xi | ≤ dk,i − ck,i = 2
−kR , i = 1, . . . , n
e portanto
‖ ®x′ − ®x‖ ≤ 2−k
√
nR .
Mostraremos agora que⋂
k∈N
Kn = {®x∞} .
191
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
De fato, para cada i = 1, . . . , n, k ∈ N temos pela construção
acima que
ck,i ≤ ck+1,i ≤ dk+1,i ≤ dk,i , dk,i − ck,i = 2
1−kR ,
de modo que dk,i é cota superior de {ck,i | k ∈ N} e ck,i é cota
inferior de {dk,i | k ∈ N} para todo k ∈ N, i = 1, . . . , n. Logo,
ci = sup{ck,i | k ∈ N} ≤ di = inf{dk,i | k ∈ N}
de modo que
0 ≤ di − ci ≤ dk,i − ck,i = 2
1−kR
para todo k ∈ N e portanto di = ci para todo i = 1, . . . , n.
De�nimos então
®x∞ = (c1, . . . , cn) = (d1, . . . , dn) .
Obviamente ®x∞ ∈ ∩k∈NKk, e nenhum outro vetor ®x = (x1, . . . ,
xn) , ®x∞ pode estar nessa interseção pois nesse caso teríamos
xi < [ck,i, dk,i] para algum k ∈ N, i = 1, . . . , n e portanto ®x < Kk.
Finalmente, notar que ®x∞ ∈ U j para algum j ∈ J e por conse-
guinte existe � > 0 tal que B� (®x∞) ⊂ U j. Contudo, se k ∈ N for
tal que 2−k
√
nR < � , temos que ®x∞ ∈ Kk ⊂ B� (®x∞) ⊂ U j , contra-
dizendo o fato queKk para tal k não admite um subrecobrimento
�nito de {U j | j ∈ J }. �
A importância desse teorema é evidente por causa do seguinte
A.3 Lema. Seja � , U ⊂ Rn, K ⊂ U compacto, e X : U → Rm
contínua. Então a imagem X(K) de K por X é compacta.
Demonstração. Seja {U j | j ∈ J } um recobrimento aberto de
X(K). Como X é contínua, temos que X−1(U j) =U ∩Vj comVj
192
3. Compacidade e conexidade
aberto, de modo que {Vj | j ∈ J } é um recobrimento aberto de
K. Pela compacidade deK, existe I ⊂ J �nito tal que {Vj | j ∈ I}
é recobrimento (aberto) de K, logo {U j | j ∈ I} é um subrecobri-
mento �nito de {U j | j ∈ J }. �
O Teorema de Heine-Borel-Lebesgue nos permite refrasear
o Lema A.3 da seguinte maneira: a imagem de um fechado limi-
tado por uma aplicação contínua também é fechada e limitada.
A combinação do Lema A.3 com o Teorema de Heine-Borel-
Lebesgue resulta com facilidade no também fundamental
A.4 Teorema (do Valor Extremo). Sejam � , K ⊂ Rn compacto
e f : K → R contínua. Então existem ®x, ®x+ ∈ K tais que f (®x−) ≤
f (®x) ≤ f (®x+) para todo ®x ∈ K.
Demonstração. Como vimos acima, segue do Lema A.3 e do
Teorema de Heine-Borel-Lebesgue que f (K) , � é fechado e
limitado, ou seja, existeM > 0 tal que | f (®x)| ≤ M para todo ®x ∈
K. Sejam então y− = inf f (K) e y+ = sup f (K) – mostraremos
que y± ∈ f (K). De fato, para todo � > 0 existe ®x ∈ K tal que
y− ≤ f (®x) < y− + � , de modo que | f (®x) − y− | < � . Isso mostra
que y− é ponto de aderência de f (K) e portanto pertence a f (K)
pois o último é fechado, logo y− = f (®x−) para algum ®xi ∈ K.
Analogamente, dado � > 0 existe ®x ∈ K tal que y+ − � < f (®x) ≤
y+, de modo que | f (®x) − y+ | < � . Isso mostra que y+ também é
ponto de aderência de f (K) e portanto também pertence a f (K),
logo y+ = f (®x+) para algum ®x+ ∈ K. �
Outro resultado importante sobre aplicações contínuas com
domínios compactos em Rn diz respeito ao conceito de continui-
dade uniforme. Dado � , U ⊂ Rn, dizemos que uma aplicação
X :U → Rm é uniformemente contínua se dado � > 0 existe δ > 0
193
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
tal que
®x, ®x′ ∈ U , ‖ ®x − ®x′‖ < δ ⇒ ‖X(®x′) −X(®x)‖ < � .
A diferença em relação ao conceito usual de continuidade é
que δ acima pode ser escolhido independentemente de ®x ∈ U .
Um exemplo típico de aplicação uniformemente contínua são
aplicações lipschitzianas – em particular, t.l.’s de Rn em Rm são
uniformemente contínuas.
A.5 Teorema (de Heine-Cantor). Sejam � , K ⊂ Rn compacto e
X : K → Rm contínua. Então X é uniformemente contínua.
Demonstração. Seja � > 0 �xo. De�na para cada ®x ∈ K
∆(®x) = {δ > 0 | ®x′ ∈ K , ‖ ®x′ − ®x‖ < 2δ ⇒ ‖X(®x′) −X(®x)‖ < � }
⊂ (0, +∞) .
Como X é contínua, temos ∆(®x) , � para todo ®x ∈ K. Segue
que
{Bδ(®x) | ®x ∈ K , δ ∈ ∆(®x)}
é um recobrimento aberto deK, logo existem ®x j ∈ K e δ j ∈ ∆(®x j),
j = 1, . . . , k tais que
k⋃
j=1
Bδ j (®x j) ⊃ K .
De�na δ = min{δ1, . . . , δk}. Dados ®x, ®x′ ∈ K tais que ‖ ®x′ −
®x‖ < δ, temos que ®x ∈ Bδ j (®x j) para algum j = 1, . . . , k, logo
‖ ®x − ®x j ‖ < δ j e pela desigualdade triangular
‖ ®x′ − ®x j ‖ ≤ ‖ ®x′ − ®x‖ + ‖ ®x − ®x j ‖ < δ + δ j ≤ 2δ j .
Como δ j ∈ ∆(®x j), concluímos usando mais uma vez a desigual-
dade triangular que
‖X(®x′) −X(®x)‖ ≤ ‖X(®x′) −X(®x j)‖ + ‖X(®x j) −X(®x)‖ < � ,
194
3. Compacidade e conexidade
como desejado. �
Finalmente, algumas palavras precisam ser ditas sobre o con-
ceito de conexidade, que intuitivamente diz respeito à separação
entre as diferentes partes de um subconjunto de Rn. Dizemos
queU ⊂ Rn é desconexo se existemU1,U2 ⊂ Rn abertos tais que
U1 ∩U2 ∩U = �,U1 ∩U ,U2 ∩U , � e Nesse caso,U1 ∩U2 =U1 ∩
U2 ∩U c é aberto, portanto
não há perda de generali-
dade em excluirU1 ∩U2 de
U1 e/ou U2 e assumir sim-
plesmenteU1 ∩U2 = �.
U ⊂ U1 ∪U2 ⇔ U =U ∩ (U1 ∪U2) = (U ∩U1) ∪ (U ∩U2) .
Caso contrário, dizemos queU é conexo. Equivalentemente,U é
conexo se para todoU1 ⊂ Rn aberto tal queU1 ∩U ,U c1 ∩U , �
temos que ∂U1 ∩U , �, dado que
U = (U ∩U1) ∪ (U ∩U c1)
e qualquer aberto U2 ⊂ Rn tal que U1 ∩U2 = � satisfaz U2 ⊂
ext (U1) e portantoU2 ∩ ∂U1 = �, lembrando que todo aberto
não-vazio de Rn que não é o próprio Rn possui fronteira não-
vazia. Obviamente, � é (trivialmente) conexo, e vimos acima que
Rn também é conexo. Conjuntos unitários também são conexos.
SeU possui pelo menos dois pontos e um deles é um ponto
isolado ®x, entãoU é desconexo, pois nesse caso existe � > 0 tal que
B� (®x) ∩U = {®x}. TomandoU1 = B �2 (®x) eU2 = ext (U1), temos
queU1 3 ®x,U2 ⊃ Ur{®x} , � eU1∩U2 = �, logoU é desconexo.
Em particular, conjuntos discretos com pelo menos dois pontos
são desconexos. Conversamente, seU ⊂ Rn é conexo e ®x ∈ U c é
ponto de acumulação deU , entãoU ∪ {®x} é conexo: sejamU1,U2
abertos tais queU1 ∩U2 = � eU ∪ {®x} ⊂ U1 ∪U2. ComoU é
conexo, devemos ter nesse casoU1 ∩U = � ouU2 ∩U = �. No
entanto, necessariamente também temos ®x ∈ U1 ou ®x ∈ U2 – no
primeiro caso necessariamenteU1 ∩U , �, logoU2 ∩U = � e
portanto ®x <U2, de modo queU∪{®x} ⊂ U1 e (U∪{®x})∩U2 = �;
195
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
no segundo caso, necessariamenteU2∩U , �, logoU1∩U = � e
portanto ®x <U1, de modo queU ∪{®x} ⊂ U2 e (U ∪{®x})∩U1 = �.
Uma propriedade útil de conexos é a seguinte: seVj ⊂ Rn
é conexo para todo j ∈ J e ∩ j∈JVj , �, então V = ∪ j∈JVj é
conexo. De fato, suponhamos que existamU1,U2 ⊂ Rn abertos
tais que U1 ∩ U2 = � e Vj ⊂ V ⊂ U1 ∪ U2 para todo j ∈ J .
Neste caso, como Vj é assumido conexo para todo j ∈ J , ne-
cessariamente temos Vj ∩ U1 = � ou Vj ∩ U2 = � para cada
j ∈ J . No primeiro caso, necessariamente temosVj ⊂ U2; para
qualquer outro i ∈ J então necessariamente temosVi ⊂ U2 pois
Vi ∩Vj , �, portantoV ⊂ U2 eV ∩U1 = �. No segundo caso,
concluímos analogamente queV ⊂ U1 eV ∩U2 = �, portanto
V é conexo.
Um conceito relacionado à conexidade e frequentemente
mais fácil de veri�car é a conexidade por caminhos. Dizemos que
� , U ⊂ Rn é conexo por caminhos se dados ®x, ®x′ ∈ U existe
uma aplicação contínua X : [0, 1] ⊂ Rn tal que X([0, 1]) ⊂ U e
X(0) = ®x, X(1) = ®x′. Uma aplicação desse tipo é denominada
um caminho (contínuo) de ®x a ®x′. Como nesse caso
U =
⋃
X∈C([0,1],U ),X(0)=®x
X([0, 1]) ,
onde C(U , Ũ ) = {X : U → Rm contínua | X([0, 1]) ⊂ Ũ } é o
espaço das aplicações contínuas de � , U ⊂ Rn → Rm com
imagem contida em Ũ ⊂ Rm, concluímos que tal U é conexo
pois
®x ∈
⋂
X∈C([0,1],U ),X(0)=®x
X([0, 1]) .
Uma família importante de subconjuntos conexos por cami-
nhos (e, portanto, conexos) são os conjuntos chamados convexos.
Dizemos queU ⊂ Rn é convexo se, dados ®x, ®x′ ∈ U , então
®xt = ®x + t(®x′ − ®x) = t ®x′ + (1 − t)®x ∈ U para todo t ∈ [0, 1] ,
196
3. Compacidade e conexidade
Nesse caso, X(t) = ®xt é uma aplicação contínua de [0,1] em
U ⊂ Rn (pois é a soma de uma aplicação constante e outra linear)
tal que X(0) = ®x0 = ®x e X(1) = ®x1 = ®x′, logo U é conexo por
caminhos e portanto conexo. O conjunto vazio é (trivialmente)
convexo, e os subconjuntos convexos de R são chamados de
intervalos. Equivalentemente, I ⊂ R é um intervalo se, dados
s1 < s2 ∈ I , temos que [s1, s2] ⊂ I – com efeito, dado r ∈ [s1, s2]
temos que
r =
s2 − s1
s2 − s1
r =
s2 − r
s2 − s1
s1 +
r − s1
s2 − s1
s2
= ts2 + (1 − t)s1 , t =
r − s1
s2 − s1
∈ [0, 1] .
Conversamente, suponha que � , I ⊂ R não é um intervalo, de
modo que existam t < r < s ∈ R tais que t, s ∈ I e r < I . Segue
que J1 = (−∞, r) e J2 = (r, +∞) são abertos (por quê?) tais que
t ∈ J1 ∩ I , s ∈ J2 ∩ I , J1 ∩ J2 = � e
I = I ∩ ({r}c) = I ∩ (J1 ∪ J2) = (I ∩ J1) ∪ (I ∩ J2) ,
portanto I é desconexo. Concluímos que se I ⊂ R então são
equivalentes as seguintes a�rmações:
• I é um intervalo;
• I é convexo;
• I é conexo por caminhos;
• I é conexo.
Há as seguintes possibilidades para um intervalo I ⊂ R se
I , �:
• I tem cota superior b′ ∈ R, i.e. t ≤ b′ para todo t ∈ I , ou
não. Caso positivo, podemos ter b′ ∈ I ou b′ < I ;
197
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
• I tem cota inferior a′ ∈ R, i.e. t ≥ a para todo t ∈ I , ou
não. Caso positivo, podemos ter a′ ∈ I ou a′ < I .
Se I , � não tem cota superior e t ∈ I , isso signi�ca que para
todo t′ > t existe s ∈ I tal que s > t′ > t, logo t′ ∈ I . Portanto,
nesse caso [t, +∞) ⊂ I . Analogamente, se I não tem cota inferior
e t ∈ I , temos para todo t′′ < t um s′ ∈ I tal que s′ < t′′ < t, logo
t′′ ∈ I . Portanto, nesse caso (−∞, t] ⊂ I .
Se I , � tem uma cota superior b′ ∈ R, então b = sup I
existe, de modo que se t > b então t < I . Se t < b, então existe
s ∈ I tal que t < s ≤ b. Se b 3 nI , de modo que s < b, então
[s, b) ⊂ I . Suponha que não, i.e. existe s < s′ < b tal que s′ < I ;
nesse caso, não pode existir s′′ ∈ (s′, b) tal que s′′ ∈ I , pois nesse
caso teríamos s < s′ < s′′ e portanto s′ ∈ I . Contudo, se isso
acontecer temos que s′ < b é cota superior de I , contradizendo
a de�nição de b. Se, por outro lado, b ∈ I , então nesse caso
[s, b] ⊂ I .
Analogamente, se I , � tem uma cota inferior a′ ∈ R, então
a = inf I existe, de modo que se t < a então t < I . Se t > a,
então existe s ∈ I tal que t > s ≥ a. Se a 3 nI , de modo que
s > a, então (a, s] ⊂ I . Suponha que não, i.e. existe s > s′ > a
tal que s′ < I ; nesse caso, não pode existir s′′ ∈ (a, s′) tal que
s′′ ∈ I , pois nesse caso teríamos s′′ < s′ < s e portanto s′ ∈ I .
Contudo, se isso acontecer temos que s′ > a é cota sinferior de I ,
contradizendo a de�nição de a. Se, por outro lado, a ∈ I , então
nesse caso [a, s] ⊂ I .
A descrição dada acima dos intervalos deR nos leva à seguinte
classi�cação, que justi�ca nossa terminologia:
• I = �;
198
3. Compacidade e conexidade
• I , � sem cota superior ou inferior⇔ I = (∞, t]∪[t,∞) =
R para todo t ∈ I ;
• I , � com cota superior b′ < I , mas sem cota inferior⇔
I = (−∞, t] ∪ [t, b = sup I) = (−∞, b) para todo t ∈ I ;
• I , � com cota superior b′ ∈ I , mas sem cota inferior⇔
I = (−∞, t] ∪ [t, b = sup I] = (−∞, b] para todo t ∈ I ;
• I , � com cota inferior a′ < I , mas sem cota inferior⇔
I = (a = inf I, t] ∪ [t, +∞) = (a, +∞) para todo t ∈ I ;
• I , � com cota inferior a′ ∈ I , mas sem cota superior⇔
I = [a = inf I, t] ∪ [t, +∞) = [a, +∞) para todo t ∈ I ;
• I , � com cota superior b′ < I e cota inferior a′ < I ⇔
I = (a = inf I, t] ∪ [t, b = sup I) = (a, b) para todo t ∈ I .
Nesse caso, a < b;
• I , � com cota superior b′ ∈ I e cota inferior a′ < I ⇔
I = (a = inf I, t] ∪ [t, b = sup I] = (a, b] para todo t ∈ I .
Nesse caso, a < b;
• I , � com cota superior b′ < I e cota inferior a′ ∈ I ⇔
I = [inf I, t] ∪ [t, b = sup I) = [a, b) para todo t ∈ I . Nesse
caso, a < b;
• I , � com cota superior b′ ∈ I e cota inferior a′ ∈ I ⇔
I = [inf I, t] ∪ [t, b = sup I] = [a, b] para todo t ∈ I . Nesse
caso, a ≤ b.
Mais em geral, mostraremos que bolas abertas ou fechadas e
retângulos abertos ou fechados em (Rn são convexos para todo
n ∈ N. No caso de bolas abertas ou fechadas, sejam
U = Br(®x) , U = Br(®x) .
199
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
Dados ®x′, ®x′′ ∈ U (resp. U ), temos que se
®xt = ®x′ + t(®x′′ − ®x′) = t ®x′′ + (1 − t)®x′ , t ∈ [0, 1] ,
e ®x, ®x′ ∈ U (resp. U ), então pela desigualdade triangular
‖ ®xt − ®x‖ = ‖ ®xt − (t ®x + (1 − t)®x)‖ = ‖t(®x′′ − ®x) + (1 − t)(®x′ − ®x)‖
≤ t‖ ®x′′ − ®x‖ + (1 − t)‖ ®x′ − ®x‖
≤ (resp. <) tr + (1 − t)r = r ,
logo ®xt ∈ U (resp. ®xt ∈ U ) para todo t ∈ [0, 1], logo U e
U são convexos. No caso de retângulos abertos ou fechados,
basta provar que se U1 ⊂ Rn e U2 ⊂ Rm são convexos, então
U1 ×U2 ⊂ Rn × Rm = Rn+m também é convexo – com efeito,
sejam ®x, ®x′ ∈ U1 e ®y, ®y′ ∈ U2, de modo que para todo t ∈ R
(®xt, ®yt) = (®x + t(®x′ − ®x), ®y + t(®y′ − ®y)) = (®x, ®y) + t((®x′, ®y′) − (®x, ®y))
= (t ®x′ + (1 − t)®x, t®y′ + (1 − t)®y) = t(®x′, ®y′) + (1 − t)(®x, ®y) .
Como ®xt ∈ U1 e ®yt ∈ U2 para todo t ∈ [0, 1], concluímos que
(®xt, ®yt) ∈ U1 ×U2 para todo t ∈ [0, 1] e portantoU1 ×U2 é con-
vexo. Obviamente, podemos estender esse resultado para obter
a convexidade de produtos cartesianos de mais de dois convexos
por indução no número de fatores cartesianos. Em particular,
produtos cartesianos de n intervalos de R são convexos, o que
inclui retângulos abertos e retângulos fechados.
Obviamente, se � , U ⊂ Rn é conexo por caminhos e
Y :U → Rm é contínua, então Im(Y) = Y(U ) também é conexo
por caminhos, pois se ®y, ®y ∈ Im (Y), de modo que ®y = Y(®x),
®y′ = Y(®x′) para alguma escolha de ®x, ®x′ ∈ U , temos que existe
um caminho X : [0, 1] → U de X(0) = ®x a X(1) = ®x′, logo a
composta Y ◦X : [0, 1] → Im(Y) é um caminho de Y(X(0)) =
®y a Y(X(1)) = ®y′. Aplicações contínuas também preservam
conexidade:
200
3. Compacidade e conexidade
A.6 Teorema. Seja � , U ⊂ Rn e X : U → Rm contínua. Se
V ⊂ U é conexo, então X(V ) é conexo.
Demonstração. Suponhamos que X(V ) é desconexo, de modo
que existem Ũ1, Ũ2 ⊂ Rm abertos tais que Ũ1 ∩ Ũ2 = �, Ũ1 ∩
X(V ), Ũ2 ∩X(V ) , � e
X(V ) ⊂ Ũ1 ∪ Ũ2 .
Sejam entãoU1,U2 ⊂ Rn abertos tais que
X−1(Ũ j) =U ∩U j , j = 1, 2 .
Segue que U j ∩V , �, j = 1, 2, pois se ®y ∈ Ũ j ∩ X(V ), então
®y = X(®x) para algum ®x ∈ V , e para tal ®x também temos X(®x) =
®y ∈ Ũ j. Além disso,
X−1(Ũ1 ∩ Ũ2) = X−1(Ũ1) ∩X−1(Ũ2) =U ∩U1 ∩U2 = �
e
U1 ∪U2 ⊃ X−1(Ũ1) ∪ ®x−1(Ũ2) = X−1(Ũ1 ∪ Ũ2) ⊃ V .
Portanto, concluímos queV também é desconexo. �
No caso m = 1, obtemos imediatamente do Teorema A.6 o
importante
A.7 Corolário (Teorema do Valor Intermediário). Seja � ,
U ⊂ Rn e f : U → R contínua. SeV ⊂ U é conexo, então f (V ) é
um intervalo não-vazio – em particular, se f (®x) < c < f (®x′) para
®x, ®x′ ∈ V , então c = f (®x′′) para algum ®x′′ ∈ V . �
Não é necessariamente verdade queU ⊂ Rn conexo seja co-
nexo por caminhos se n > 1. Com efeito, sejaU = {(t, f (t)) | t ≥
201
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
0} ⊂ R2 o grá�co da função
f (t) =

0 (t = 0)
sen
(
1
t
)
(t > 0)
.
De fato, sabemos queU = {(0, 0)}∪U0 comU0 = {t, sen(1/t) | t >
0} conexo, poisU0 é a imagem de (0, +∞) pelo pareamento das
funções contínuas de uma variável g(t) = t e f (t) = sen (1/t).
Mostraremos agora que (0, 0) é ponto de acumulação de U0.
Com efeito, dado � > 0 temos que existe m ∈ N tal que 1mπ < �
e f ( 1mπ ) = 0, logo



( 1mπ , f ( 1mπ )) − (0, 0)



 = 



( 1mπ , 0) − (0, 0)



 = 1mπ < � .
Assim, de fato (0, 0) é ponto de acumulação deU0 e portantoU
é conexo. Por outro lado, se ®x = (0, 0) e ®x′ = (t0, sen(1/t0)) com
t0 > 0, então não existe caminho X : [0, 1] → U de X(0) = ®x
a X(1) = ®x′, pois X : [0, 1] → U necessariamente tem a forma
X(t) = (x(t), f (x(t))) para alguma função x : [0, 1] → [0, +∞) ⊂
R, com ®x contínua se X o for. Suponha então que exista tal
x contínua tal que x(0) = 0, x(1) = t0 e X(t) = (x(t), f (x(t))
contínua. De�na
s = inf{t ∈ [0, 1] | x(t) > 0} .
Por continuidade,x(s) = 0 e portanto s ∈ [0, 1) pois x(1) = t0 >
0. Além disso, para todo � > 0 existe 0 < δ ≤ 1 − s tal que se
s < t < s + δ, então
‖X(t) − (0, 0)‖ =
√
x(t)2 + f (x(t))2 < � .
Em particular, para tal t temos
x(t) , | f (x(t))| < � .
202
3. Compacidade e conexidade
Pela de�nição de s, existe 0 < δ′ < δ tal que 0 < x0 = x(s+ δ′) <
� . Pelo Teorema do Valor Intermediário, x([s, s + δ′]) é um
intervalo I ⊃ [0, x0]. Contudo, nesse caso existe m ∈ N tal que
2
(2m+1)π < x0 mas nesse caso
��� f ( 2(2m+1)π )��� = ���sen ( (2m+1)π2 )��� = 1. Observamos que um argu-
mento similar implica que
U = U0 ∪ ({0} × [−1, 1]
– mais precisamente, que
{0} × [−1, 1] consiste nos
pontos de acumulação de
U0 que não pertencem aU0.
Obviamente, U também é
conexo mas não conexo por
caminhos.
Se tomarmos e.g. � = 12 , isso entra em contradição com o fato
que | f (x(t))| < � para s < t < s + δ. Portanto, tal X não pode
existir.
Contudo, se U é aberto e conexo então U é conexo por ca-
minhos. Para ver isso, sejam ®x, ®x′ ∈ U . Se existe um caminho
X : [0, 1] → U ⊂ Rn de X(0) = ®x a ®x(1) = ®x′, e � > 0 for tal
que B� (®x′) ⊂ U , então para todo ®x′′ ∈ B� (®x′) existe um caminho
®x′ : [0, 1] →U ⊂ Rn deX′(0) = ®x a X′(1) = ®x′′ – a saber,
X′(t) =

X(2t) (t ∈ [0, 1/2])
®x′ + (2t − 1)(®x′′ − ®x′) (t ∈ [1/2, 1])
,
de modo queX(1/2) = ®x′. (exercício: veri�que queX′ é contínua)
Portanto, o conjunto
U1 = {®x′ ∈ U | existe um caminho X : [0, 1] →U ⊂ Rn
de X(0) = ®x a X(1) = ®x′}
é aberto e não-vazio (dado que existe � ′ > 0 tal que B� ′(®x) ⊂ U1).
Analogamente, o conjuntoU2 =U rU1 também é aberto: dado
®x′ ∈ U2, se para todo � > 0 existisse ®x′′ ∈ U ∩ B� (®x′) e um
caminho X : [0, 1] → U ⊂ Rn de X(0) = ®x a X(1) = ®x′′,
então por um argumento análogo ao usado acima teríamos um
caminho ®x′ : [0, 1] → U ⊂ Rn de X′(0) = ®x a X′(1) = ®x′ – a
saber,
X′(t) =

X(2t) (t ∈ [0, 1/2])
®x′′ + (2t − 1)(®x′ − ®x′′) (t ∈ [1/2, 1])
,
203
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
de modo que X(1/2) = ®x′′, contanto que � seja tal que B� (®x′) ⊂
U . Logo,U1∩U2 = � eU ⊂ U1∪U2. ComoU1 , � e assumimos
U conexo, devemos ter U2 = � e portanto U = U1, logo U é
conexo por caminhos.
4. Diferenciabilidade
Tal como no caso de limites, a extensão da ideia de derivada
para funções de várias variáveis traz uma liberdade adicional na
escolha de direção ao longo da qual nos deslocamos a partir de
um ponto do domínio para determinar a taxa de variação de
uma função nesse ponto. Como queremos ter essa liberdade em
qualquer ponto do domínio, de agora em diante assumiremos
que domíniosU ⊂ Rn de funções e aplicações são abertos ao falar
de derivadas.
Seja então � , U ⊂ Rn aberto. Dados ®x ∈ U , ®0 , ®h ∈ Rn,
temos que existe � > 0 tal que B
� ‖ ®h‖(®x) ⊂ U e portanto ®x+t
®h ∈ U
para todo t ∈ (� , � ), pois nesse caso
‖(®x + t ®h) − ®x‖ = |t | · ‖ ®h‖ < � .
De�nimos então a derivada direcional de uma aplicação X :U →
Rm em ®x ∈ U ao longo de ®h ∈ Rn como o limite
d®hX(®x) = limt→0
1
t
(X(®x + t ®h) −X(®x)) =
dX(®x + t ®h)
dt
���
t=0
,
onde a segunda identidade signi�ca que se uma aplicação ®f :
(−� , � ) → Rn for tal que ®f (t) = ( f1(t), . . . , fn(t)), entãoSe X : U → Rm, � ,
U ⊂ Rn com X(®x) =
(X1(®x), . . . , Xm(®x)), então a
função X j : U → R é a j-
ésima componente de X, j =
1, . . . , m.
d ®f (t)
dt
=
(
d f1(t)
dt
, . . . ,
d fn(t)
dt
)
,
pois, como vimos na Seção 2, o limite de uma aplicação num
ponto existe se e somente se os limites de todas as suas compo-
204
4. Diferenciabilidade
nentes no mesmo ponto existirem. Em particular, se
®h = ®ei = (0, . . . , 0, 1
↓
i
, 0, . . . , 0)
é o i-ésimo vetor da base canônica de Rn e ®x = (x1, . . . , xn), de
modo que
®x + t ®h = ®x + t®ei = (x1, . . . , xi−1, xi + t
↓
i
, xi+1, . . . , xn) ,
dizemos que
d®eiX(®x) = limt→0
1
t
(X(x1, . . . , xi + t, . . . , xn)
−X(x1, . . . , xi, . . . , xn))
=
∂X(®x)
∂xi
é a derivada parcial de X com respeito à i-ésima variável, i =
1, . . . , n. Ou seja, se X(®x) = (X1(®x), . . . , Xm(®x), ®x ∈ U , então
∂X j(®x))
∂xi
é a taxa de variação de X j em ®x com respeito à i-ésima
variável xi , mantendo as outras variáveis �xas. Aproveitamos
para apresentar as seguintes notações alternativas para derivadas
parciais:
∂X(®x)
∂xi
= ∂xiX(®x) = ∂i(X) = Xxi (®x) .
Faremos uso frequente em especial das três primeiras.
Como o cálculo de derivadas direcionais (e, em particular, de
derivadas parciais) se reduz ao cálculo de derivadas de funções
de uma variável, todas as regras de cálculo válidas para as últimas
podem ser usadas. Em particular, se � ,U ⊂ Rn for aberto, ®x ∈
U , ®h ∈ R e f , g → R são tais que as derivadas direcionais d®h f (®x),
d®hg(®x) de respectivamente f , g em ®x ao longo de
®h existem, então
valem as seguintes regras de cálculo:
205
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
(a) d®h( f + g)(®x) = d®h f (®x) + d®hg(®x) (regra da soma);
(b) d®h( f g)(®x) = g(®x)d®h f (®x) + f (®x)d®hg(®x) (regra do produto ou
regra de Leibniz). Em particular, d®h(α f )(®x) = αd®h f (®x) para
todo α ∈ R;
(c) Se g(®x) , 0, então d®h(1/g)(®x) = −
d®hg(®x)
g(®x)2 (regra da recíproca);
(d) Se g(®x) , 0, então d®h( f /g)(®x) =
g(®x)d®h f (®x)− f (®x)d®hg(®x)
g(®x)2 (regra
do quociente).
Existe também uma regra da cadeia para derivadas direcionais,
mas ela possui uma generalização para mudanças simultâneas de
várias variáveis mediante condições mais fortes do que a mera
existência da derivada direcional. Como essa generalização é
extremamente útil e seu enunciado mais natural necessariamente
envolve aplicações (a valores vetoriais), vamos reservar a discus-
são da regra da cadeia para mais adiante.
Cabem aqui as seguintes observações. Se � , U ⊂ Rn é
aberto, ®x ∈ U e X :U → Rm, então:
• Obviamente d®hX(®x) =
®0 se ®h = ®0, pois nesse caso o quoci-
ente de Newton de X entre ®x e ®x + t ®h ao longo de ®h
1
t
(X(®x + t ®h) −X(®x))
é zero para todo t , 0.
• Se α ∈ R, α , 0 então
d
α ®hX(®x) = limt→0
1
t
(X(®x + tα ®h) −X(®x))
= α lim
t→0
1
αt
(X(®x + (αt)®h) −X(®x))
= αd®hX(®x).
206
4. Diferenciabilidade
• Não é necessariamente verdade, contudo, que d®hX(®x) seja
linear em ®h. Consideremos novamente o seguinte exemplo
g : R2 → R, discutido na Seção 2:
(A.1) g(x, y) =

xy2
x2+y4 ((x, y) , (0, 0))
0 ((x, y) = (0, 0))
.
Lembremos que para t ∈ R qualquer
g(x, tx) =

t2x3
x2(1+t4x2) =
t2x
1+t4x2 (x , 0)
0 (x = 0)
,
logo se ®x = (x, y), ®h = (u, v) ∈ R2 temos para todo t , 0
que
g(t ®h) = g(tu, tv) = g(tu, (v/u)tu) =

(v/u)2tu
1+(v/u)4t2u2 (u , 0)
0 (u = 0)
e portanto
d®hg(0, 0) = limt→0
g(t ®h)
t
=

v2
u (u , 0)
0 (u = 0)
.
Em particular,
∂g(0, 0)
∂x
= d(1,0)g(0, 0) =
∂g(0, 0)
∂y
= d(0,1)g(0, 0) = 0 .
Contudo, se d®hg(0, 0) fosse linear em
®h = (u, v) = u(1, 0)+
v(0, 1), deveríamos ter
d®hg(0, 0) = u
∂g(0, 0)
∂x
+ v
∂g(0, 0)
∂y
= 0
para todo ®h ∈ R2 e no entanto temos e.g. d(1,1)g(0, 0) =
1 , 0. Notar também que, ao contrário do que ocorre
207
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
para funções de uma variável, a existência da derivada
direcional de uma função num ponto ®x ∈ U ao longo de
qualquer vetor não garante a continuidade dessa função em
®x, pois vimos na Seção 2 que g dada acima é descontínua
em (0, 0).
Considerando que a derivada de uma função de uma variável
num ponto fornece uma aproximação linear para o valor da função
perto desse ponto, i.e. por um polinômio de grau um:
f (x + t) � f (x) + f ′(x)t
e, por causa disso, a existência da derivada de uma função num
ponto implica na continuidade da função nesse ponto, tais pro-
priedades devem se estender a funções e aplicações de várias
variáveis. O exemplo visto acima mostra que a mera existên-
cia de derivadas direcionais ao longo de qualquer vetor não é
su�ciente para isso. Para identi�carmos o que falta, tornemos
mais precisa a intuição acima. Seja f : (a, b) → R, a < b ∈ R e
x ∈ (a, b). A existência da derivada de f em x
f ′(x) =
d f (x)
dx
= limt→0
1
t
( f (x + t) − f (x))
pode ser refraseada da seguinte maneira: seja a função Rfx :
(a − x, b − x) → R dada por
Rfx(t) =

f (x+t)− f (x)
t − f
′(x) (t , 0)
0 (t = 0)
.
Em outras palavras, Rfx(t) é o erro da aproximação do quociente
de Newton de f entre x e x + t por f ′(x), de modo que
(A.2) f (x + t) = f (x) + f ′(x)t + tR fx(t) , lim
t→0
Rfx(t) = 0 .
208
4. Diferenciabilidade
Segue imediatamente de (A.2) a continuidade de f em x. Con-
versamente, se a ∈ R satisfaz
(A.3) f (x + t) = f (x) + at + tR fx(t) com lim
t→0
Rfx(t) = 0
para alguma função Rfx : (� , � ) → R como acima, onde � > 0 é
tal que (x − � , x + � ) ⊂ (a, b), então claramente a = f ′(x). Esse
resultado é conhecido como Lema de Hadamard. Algo similar
pode ser feito para funções e aplicações de várias variáveis.
A.8Definição. Sejam� ,U ⊂ Rn aberto, ®x ∈ U , eX :U → Rm.
Dizemos que X é diferenciável em ®x se existe uma t.l. dX(®x) :
Rn → Rm e uma aplicação RX®x : B� (®0) → Rm, para algum
� > 0 tal que B� (®x) ⊂ U , tais que para todo ®h ∈ Rn com ‖ ®h‖ < �
temos
(A.4) X(®x+ ®h) = X(®x)+dX(®x)®h+‖ ®h‖RX®x(®h) , lim
®h→®0
RX®x(®h) = ®0 .
Ou seja, usamos o que seria a versão multidimensional do
Lema de Hadamard como a de�nição de diferenciabilidade de
uma aplicação. Notar que a diferenciabilidade deX em ®x implica
X(®x + t ®h) = X(®x) + tdX(®x)®h + |t | · ‖ ®h‖RX®x(t ®h)
e portanto devemos ter, pelo Teorema do Confronto aplicado a
cada componente,
dX(®x)®h = lim
t→0
(
1
t
(
X(®x + t ®h) −X(®x)
)
−
|t |
t
RX®x(t ®h)
)
= d®hX(®x) .
Em particular, se X é diferenciável em ®x ∈ U então a derivada
direcional de X em ®x ao longo de ®h não apenas existe para todo
®h ∈ Rn mas é também linear em ®h, de modo que
(A.5) dX(®x)®h = d®hX(®x) =
n∑
i=1
〈®ei, ®h〉
∂X(®x)
∂xi
.
209
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
Em particular, tal t.l. dX(®x) é única, e portanto é chamada de
diferencial de f em ®x. Em termos das componentes X1, . . . , Xn
de X, (A.5) �ca
(A.6)
dX j(®x)®h =
n∑
i=1
〈®ei, ®h〉
∂X j(®x)
∂xi
= 〈∇X j(®x), ®h〉 , j = 1, . . . , m ,
onde o vetor n-dimensional
(A.7) ∇X j(®x) =
(
∂X j(®x)
∂x1
, . . . ,
∂X j(®x)
∂xn
)
é chamado de (vetor) gradiente de X j em ®x. Em outras palavras,
dX j(®x) = ∇X j(®x)[. A matriz de dX(®x) nas bases canônicas de Rn
e Rm, por vezes denotada pelo mesmo símbolo, é chamada de
matriz jacobiana de X em ®x
(A.8) dX(®x) =
∂X(®x)
∂ ®x
=

∂X1(®x)
∂x1
· · ·
∂X1(®x)
∂xn
...
. . .
...
∂Xm(®x)
∂x1
· · ·
∂Xm(®x)
∂xn
 ,
de modo que se S = {®e1, . . . , ®en} é a base canônica de Rn e
S̃ = {®e1, . . . , ®em} é a base canônica de Rm, então
(dX(®x)®h)S̃ =

dX1(®x)®h
...
dXm(®x)®h

=
∂X(®x)
∂ ®x
®hS =

∂X1(®x)
∂x1
· · ·
∂X1(®x)
∂xn
...
. . .
...
∂Xm(®x)
∂x1
· · ·
∂Xm(®x)
∂xn


〈®e1, ®h〉
...
〈®en, ®h〉
 .
(A.9)
Em particular, se f : U → R é diferenciável em ®x (i.e. m = 1),
então
d f (®x)®h = 〈∇ f (®x), ®h〉 .
210
4. Diferenciabilidade
Obviamente, se X é diferenciável em ®x então X é contínua em
®x, e X é diferenciável em ®x se e somente se cada uma das com-
ponentes X j de X for diferenciável em ®x.
Outra motivação para a nossa formulação de diferenciabili-
dade é que ela leva à versão geral da regra da cadeia para aplicações.
Antes de formular a regra, notemos que a De�nição A.8 pode ser
reexpressa da seguinte maneira: dadosU ⊂ Rn aberto e ®x ∈ U ,
temos que uma aplicação X :U → Rm é diferenciável em ®x se e
somente se existe uma t.l. dX(®x) ∈ L(Rn, Rm) tal que
lim
®h→®0
‖X(®x + ®h) −X(®x) − dX(®x)®h‖
‖ ®h‖
= 0 .
De fato, nesse caso temos que
RX®x(®h) =

®0 (®h = ®0)
1
‖ ®h‖
(X(®x + ®h) −X(®x) − dX(®x)®h) (®h , ®0)
para ‖ ®h‖ < � com � > 0 tal que B� (®x) ⊂ U satisfaz (A.4). Con-
versamente, se dX(®x) e RX®x(®h) satisfazem (A.4), temos que
lim
®h→®0
‖X(®x + ®h) −X(®x) − dX(®x)®h‖
‖ ®h‖
= lim
®h→®0
‖RX®x(®h)‖ = 0 .
Sejam então U ⊂ Rn, V ⊂ Rm abertos, ®x ∈ U e aplicações
X : U → Rm e Y : V → Rp tais que X(U ) ⊂ V , de modo que
a aplicação composta (Y ◦ X)(®x′) = Y(X(®x′)) está de�nida para
todo ®x′ ∈ U . Se X é diferenciável em ®x e Y é diferenciável em
®y = X(®x), então Y ◦X também é diferenciável em ®x, com
d(Y ◦X)(®x) = dY(®y = X(®x))dX(®x) .
Mostraremos agora que uma condição su�ciente para a di-
ferenciabilidade de X em ®x é a existência das derivadas parciais
das componentes de X numa vizinhança de ®x e sua continuidade
em ®x. Para tal, é su�ciente considerar apenas funções.
211
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
A.9 Lema. Sejam � , U ⊂ Rn aberto, ®x ∈ U , e f : U → R. Se
existe � > 0 tal que B� (®x) ⊂ U , as derivadas parciais ∂i f (®x′) existem
para todo ®x′ ∈ B� (®x) e são contínuas em ®x, então f é diferenciável em
®x.
Demonstração. Dado ®h ∈ B� (®0), considere os vetores
®h0 = ®0 , ®hk =
k∑
i=1
〈®ei, ®h〉®ei , k = 1, . . . , n ,
de modo que ®hn = ®h e ®hk− ®hk−1 = 〈®ek, ®h〉®ek, portanto ‖ ®hk− ®hk−1‖ =
|〈®ek, ®h〉| ≤ ‖ ®hk ‖ ≤ ‖ ®h‖ < � para todo k = 1, . . . , n. Segue que
f (®x+®h)− f (®x) =
n∑
k=1
( f (®x+®hk)− f (®x+®hk−1)) =
n∑
k=1
( fk(〈®ek, ®h〉)− fk(0)) ,
onde
fk(t) = f (®x + ®hk−1 + t®ek) , k = 1, . . . , n .
Pela desigualdade triangular e pelas nossas hipóteses, fk(t) está
de�nida e é derivável para todo t ∈ (−δ − |〈®ek, ®h〉|, δ + |〈®ek, ®h〉|),
onde 0 < δ < � − ‖ ®h‖, com
f ′k (t) = ∂k f (®x +
®hk−1 + t®ek) .
Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, se 〈®ek, ®h〉 , 0 existe tk
entre 0 e 〈®ek, ®h〉 tal que
f (®x + ®hk) − f (®x + ®hk−1) = fk(〈®ek, ®h〉) − fk(0) = 〈®ek, ®h〉 f
′(tk)
= 〈®ek, ®h〉∂k f (®x + ®hk−1 + tk®ek) ,
e f (®x + ®hk) − f (®x + ®hk−1) = 0 = 〈®ek, ®h〉∂k f (®x + ®hk−1) se 〈®ek, ®h〉 = 0
(i.e. podemos tomar tk = 0 nesse caso), k = 1, . . . , n, de modo
212
4. Diferenciabilidade
que
f (®x + ®h) − f (®x) =
n∑
k=1
〈®ek, ®h〉∂k f (®x + ®hk−1 + tk®ek)
= 〈∇ f (®x), ®h〉
+
n∑
k=1
〈®ek, ®h〉(∂k f (®x + ®hk−1 + tk®ek) − ∂k f (®x))
e portanto
| f (®x+®h)− f (®x)−〈∇ f (®x), ®h〉| ≤ ‖ ®h‖
n∑
k=1
|∂k f (®x+®hk−1+tk®ek)−∂k f (®x)| .
Pela continuidade assumida das derivadas parciais de f em ®x,
concluímos que f é diferenciável em ®x. �
A condição descrita no Lema A.9 como su�ciente para dife-
renciabilidade de uma função não é necessária para tal, mas é
facilmente veri�cável em exemplos.
4.1 Exercício. Mostre que no exemplo (A.1) acima as derivadas par-
ciais existem em toda parte mas são descontínuas em (0, 0).
Dados � , V ⊂ U ⊂ Rn, U aberto, dizemos que uma
aplicação X : U → Rm é diferenciável emV se for diferenciável
em todo ®x ∈ V . Se V = U , dizemos simplesmente que X
é diferenciável (em U ). Analogamente, em vista do Lema A.9,
dizemos que X é continuamente diferenciável ou C1 (emU ) se as
derivadas parciais de (cada componente de) X são contínuas em
todo ®x ∈ U . Isso, por sua vez, implica que a aplicação
dX :U 3 ®x 7→ dX(®x) ∈ L(Rn, Rm)
é contínua: para tal, observar que dados V ,W espaços vetori-
ais com dim(V ) = n, dim(W ) = m < ∞ e bases o.n. S =
213
A. Cálculo Diferencial e Integral em Várias Variáveis
{®e1, . . . , ®en} ⊂ V , S̃ = {®e′1, . . . , ®e
′
m} ⊂W , as t.l.’s
Ei j ®x = 〈®ei, ®x〉®e′j
formam uma base de L(V ,W ). De fato, dada T ∈ L(V ,W )
podemos escrever
T ®x =T
(
n∑
i=1
〈®ei, ®x〉®ei
)
=
n∑
i=1
〈®ei, ®x〉T®ei
=
n∑
i=1
©­«
m∑
j=1
〈®e′j,T®ei〉〈®ei, ®x〉®e
′
j
ª®¬
para todo ®x ∈ V . Além disso, se T = 0, temos em particular
que T®ei = ®0 para todo i = 1, . . . , n e portanto 〈®e′j,T®ei〉 = 0
para todo i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, portanto as Ei j ’s são l.i..
Isso nos permite identi�car L(V ,W ) com Rnm por meio das nm
componentes deT na base
S′ ⊗ S̃ = {Ei j | i = 1, . . . , n , j = 1, . . . , m} .
Mais precisamente, a componente de T ao longo de Ei j nessa
base nada mais é do que a entrada 〈®e′j,T®ei〉 da matriz deT em
S, S̃ na j-ésima linha e na i-ésima coluna. SeV = Rn,W = Rm, e
S, S̃ são as respectivas bases canônicas, temos que a componente
de dX(®x) ao longo de Ei j em S′ ⊗ S̃
〈®e′j, dX(®x)®ei〉 =
∂X j(®x)
∂xi
é contínua em todo ®x ∈ U para i =1, . . . , n, j = 1, . . . , m quais-
quer e portanto dX é contínua. Conversamente, se a diferencial
dX de X é contínua emU , então as entradas da matriz jacobiana
de X são contínuas emU .
5. A integral de Riemann
214
Bibliografia
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215