PC_2021-1_AD1-Parte1_GABARITO

Prévia do material em texto

AD1-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 7 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2021-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
GABARITO da Parte 1 da Primeira Avaliação a Distância (AD1-Parte 1) 
Questão 1 [1,0 ponto] Considere 𝑥 ∈ ℝ e resolva a equação 2|2𝑥 − 7| + 3|10 − 𝑥| = 33. 
RESOLUÇÃO 
Aplicando a definição de módulo em |𝟐𝒙 − 𝟕| 
|2𝑥 − 7| = {
−(2𝑥 − 7) , 2𝑥 − 7 < 0
 2𝑥 − 7 , 2𝑥 − 7 ≥ 0
 ⟹ |2𝑥 − 7| = {
−2𝑥 + 7, 𝑥 <
7
2
2𝑥 − 7, 𝑥 ≥
7
2
 
Aplicando a definição de módulo em |𝟏𝟎 − 𝒙| = |−(𝟏𝟎 − 𝒙)| = | − 𝟏𝟎 + 𝒙| = |𝒙 − 𝟏𝟎|. 
|10 − 𝑥| = |𝑥 − 10| = {
−(𝑥 − 10) , 𝑥 − 10 < 0
 𝑥 − 10 , 𝑥 − 10 ≥ 0
 ⟹ |10 − 𝑥| = {
−𝑥 + 10, 𝑥 < 10
𝑥 − 10, 𝑥 ≥ 10
 
Vamos escrever 2|2𝑥 − 7| + 3|10 − 𝑥|, sem usar o símbolo de módulo. Para isso, vamos observar a 
visualização na reta numérica. 
Assim, 2|2𝑥 − 7| + 3|10 − 𝑥| = {
−7𝑥 + 44, 𝑥 <
7
2
𝑥 + 16, 
7
2
≤ 𝑥 < 10
7𝑥 − 44, 𝑥 ≥ 10
 
Resolvendo 2|2𝑥 − 7| + 3|10 − 𝑥| = 33 em cada intervalo: 
• Se 𝑥 <
7
2
 então temos que resolver a equação −7𝑥 + 44 = 33. 
 −7𝑥 + 44 = 33 ⟺ −7𝑥 = 33 − 44 ⟺ −7𝑥 = −11 ⟺ 𝑥 =
11
7
. 
 Verificando se a solução 𝑥 =
11
7
 satisfaz a restrição 𝑥 <
7
2
. 
 
11
7
<
7
2
 ⟺ 11 ∙ 2 < 7 ∙ 7 ⟺ 22 < 49 . Logo, 
11
7
<
7
2
. 
 Como 
11
7
<
7
2
 concluímos que 𝒙 =
𝟏𝟏
𝟕
 é uma solução da equação 2|2𝑥 − 7| + 3|10 − 𝑥| = 33. 
• Se 
7
2
≤ 𝑥 < 10 então temos que resolver a equação 𝑥 + 16 = 33. 
 𝑥 + 16 = 33 ⟺ 𝑥 = 33 − 16 ⟺ 𝑥 = 17. 
 Verificando se a solução 𝑥 = 17 satisfaz a restrição 
7
2
≤ 𝑥 < 10. 
 Como 17 > 10, a solução 𝑥 = 17 não satisfaz a restrição 
7
2
≤ 𝑥 < 10. 
AD1-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 7 
 Portanto 𝒙 = 𝟏𝟕 não é solução da equação 2|2𝑥 − 7| + 3|10 − 𝑥| = 33. 
• Se 𝑥 ≥ 10 então temos que resolver a equação 7𝑥 − 44 = 33. 
 7𝑥 − 44 = 33 ⟺ 7𝑥 = 33 + 44 ⟺ 7𝑥 = 77 ⟺ 𝑥 = 11. 
 Verificando se a solução 𝑥 = 11 satisfaz a restrição 𝑥 ≥ 10. 
 Como 11 > 10 concluímos que 𝒙 = 𝟏𝟏 é uma solução da equação 2|2𝑥 − 7| + 3|10 − 𝑥| = 33. 
Portanto a solução 𝑆 da equação 2|2𝑥 − 7| + 3|10 − 𝑥| = 33 é 𝑺 = {
𝟏𝟏
𝟕
, 𝟏𝟏}. 
 
Questão 2 [1,7 pontos] Considere 𝑥 ∈ ℝ e os trinômios 
𝑇(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 19 e 𝑆(𝑥) = −𝑥2 − 8𝑥 − 15. 
(a) Para cada trinômio, faça o seguinte: 
Se possível, determine as raízes reais do trinômio. Determine o vértice da parábola que representa 
o gráfico do trinômio. Dê a concavidade da parábola. 
Para determinar o vértice da parábola que é o gráfico de 𝑇(𝑥) use o método de "completar o 
quadrado do trinômio" e encontre a forma canônica 𝑇(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘. O vértice só será 
considerado se for encontrado dessa forma. 
(b) Esboce o gráfico de cada trinômio em um mesmo sistema de coordenadas. Esses gráficos se 
intersectam em algum ponto? Justifique sua resposta. 
(c) Considere a reta 𝑟 de equação 𝑦 =
3
2
𝑥. 
 Determine os intervalos da variável 𝑥 em que a reta 𝑟 está situada abaixo do gráfico de 𝑦 = 𝑇(𝑥). 
 Determine os valores da variável 𝑥 em que a reta 𝑟 está situada abaixo do gráfico de 𝑦 = 𝑆(𝑥). 
 
RESOLUÇÃO 
(a) Raízes de 𝑻(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟗. 
2𝑥2 − 12𝑥 + 19 = 0 ⟺ 𝑥 =
12±√122−4∙2∙19
2∙2
=
12±√144−152 
4
=
12±√−8 
4
 . 
Como Δ = −8 < 0, o trinômio não possui ráizes reais. 
Vértice e concavidade de 𝑻(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟗. 
Um trinômio 𝐸(𝑥) escrito na forma canônica é 𝐸(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘. 
Completando o quadrado para encontrar a forma canônica de 𝑇(𝑥), 
2𝑥2 − 12𝑥 + 19 = 2(𝑥2 − 6𝑥) + 19 = 2(𝑥2 − 2 ∙ 3 𝑥 + 32 − 32) + 19 = 2(𝑥 − 3)2 − 2 ∙ 9 + 19 = 
2(𝑥 − 3)2 − 18 + 19 = 2(𝑥 − 3)2 + 1. 
Portanto, 𝑇(𝑥) na forma canônica é 𝑇(𝑥) = 2(𝑥 − 3)2 + 1, e concluímos: 
𝑎 = 2 > 0, a concavidade da parábola é para cima. 
e as coordenadas do vértice 𝑉 são 𝑥𝑉 = ℎ = 3 e 𝑦𝑉 = 𝑘 = 1. Logo o vértice 𝑽 = (𝟑, 𝟏). 
 
Raízes de 𝑺(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟓. 
AD1-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 7 
−𝑥2 − 8𝑥 − 15 = 0 ⟺ 𝑥 =
8±√82−4∙(−1)∙(−15)
2∙(−1)
=
8±√64−60 
−2
=
8±√4 
−2
=
8±2
−2
 
⟺ 𝑥 =
8−2
−2
=
 6 
−2
= −3 ou 𝑥 =
8+2
−2
=
 10 
−2
= −5. 
Portanto as raízes de 𝑆(𝑥) são: 𝑥1 = −5 e 𝑥2 = −3. 
Vértice e concavidade de 𝑺(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟓. 
Para determinar o vértice podemos usar o fato que a abscissa do vértice é o ponto médio das raízes, isto 
é, 𝑥𝑉 =
𝑥1+𝑥2
2
=
(−5)+(−3)
2
=
−8 
2
= −4. 
E 𝑦𝑉 = 𝑆(𝑥𝑉) = 𝑆(−4) = −(−4)
2 − 8(−4) − 15 = −16 + 32 − 15 = 1. 
Logo o vértice 𝑽 = (−𝟒, 𝟏). 
Como o coeficiente de 𝑥2 é −1 e −1 < 0, a concavidade da parábola é para baixo. 
 
(b) Para esboçar o gráfico de 𝑇(𝑥), já sabemos que a parábola que representa o gráfico tem vértice 𝑉 =
(3, 1) e concavidade para cima. 
Precisamos pelo menos mais um ponto. 
Ponto de interseção com eixo 𝑦, 𝑥 = 0, 𝑇(0) = 2 ∙ 02 − 12 ∙ 0 + 19 = 19. 
Como 𝑦 = 19 é um valor alto, vamos procurar outro ponto da parábola. 
𝑥 = 1, 𝑦 = 𝑇(1) = 2 ∙ 12 − 12 ∙ 1 + 19 = 2 − 12 + 19 = 9. Logo um ponto da parábola é (1, 9). 
Outro ponto da parábola é o ponto simétrico de (1, 9) em relação ao eixo da parábola, que é a reta de 
equação 𝑥 = 3, e é o ponto (3 + 2 , 9) = (5, 9). 
Para esboçar o gráfico de 𝑆(𝑥), já sabemos que a parábola que representa o gráfico tem vértice 𝑉 =
(−4, 1), concavidade para baixo e as suas interseções com o eixo 𝑥 são em 𝑥1 = −5 e 𝑥2 = −3, que são 
as raízes de 𝑆(𝑥). Isso é o suficiente para esboçar a parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interseção dos gráficos? 
Resposta: os gráficos não se intersectam em nenhum ponto. 
Uma justificativa. Observando os gráficos e os vértices, vemos que: 
Se 𝑥 ≠ 3, 𝑇(𝑥) = 2𝑥2 − 12𝑥 + 19 > 1, isto é, o gráfico de 𝑇(𝑥) está acima da reta de equação 𝑦 = 1 
Se 𝑥 ≠ −4, 𝑆(𝑥) = −𝑥2 − 8𝑥 − 15 < 1, isto é, o gráfico de S(𝑥) está abaixo da reta de equação 𝑦 = 1. 
Se 𝑥 = 3, 𝑇(3) = 1, se 𝑥 = −4, 𝑆(−4) = 1, isto é, os gráficos cortam a reta de equação 𝑦 = 1, nos 
pontos distintos (−4, 1) e (3, 1). 
AD1-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 4 de 7 
Logo os gráficos não se intersectam. 
Outra justificativa. 
Os gráficos intersectam-se se em algum valor de 𝑥 as ordenadas 𝑦 = 𝑆(𝑥) e 𝑦 = 𝑇(𝑥) são iguais. Assim é 
preciso resolver a equação 𝑆(𝑥) = 𝑇(𝑥). 
2𝑥2 − 12𝑥 + 19 = −𝑥2 − 8𝑥 − 15 ⇔ 2𝑥2 + 𝑥2 − 12𝑥 + 8𝑥 + 19 + 15 = 0 ⟺ 
3𝑥2 − 4𝑥 + 34 = 0 ⟺ 𝑥 =
4±√16−4 ∙3∙34
2∙3
=
4±√16−408 
6
=
4±√−392
6
 
Assim o discriminante Δ = − 392 < 0. Logo a equação 𝑆(𝑥) = 𝑇(𝑥) não tem solução e os gráficos não se 
intersectam. 
 
(c) Reta 𝒓 de equação 𝒚 =
𝟑
𝟐
𝒙 situada abaixo do gráfico de 𝒚 = 𝑻(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟗. 
Uma resolução: determinar as interseções e esboçar a reta junto com a parábola. 
2𝑥2 − 12𝑥 + 19 =
3
2
𝑥 ⟺ 4𝑥2 − 24𝑥 + 38 = 3𝑥 ⟺ 4𝑥2 − 24𝑥 − 3𝑥 + 38 = 0 
⟺ 4𝑥2 − 27𝑥 + 38 = 0 ⟺ 𝑥 =
27±√272−4∙(4)∙(38)
2 ∙ 4
=
27±√729−608
8
=
27±√121
8
= 
=
27±11
8
 ⟺ 𝑥 =
27−11
8
=
16
8
= 2 ou 𝑥 =
27+11
8
=
38
8
=
19
4
. 
Observando a parábola e a reta desenhadas no mesmo sistema de coordenadas, vemos que a reta 𝑟 está 
situada abaixo do gráfico de 𝑦 = 𝑇(𝑥) se 𝑥 < 2 ou 𝑥 >
19
4
. 
Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞, 2) ∪ (
19
4
, ∞). 
Outra resolução: resolver a inequação: 
3
2
𝑥 < 2𝑥2 − 12𝑥 + 19. 
3
2
𝑥 < 2𝑥2 − 12𝑥 + 19 ⟺ 3𝑥 < 4𝑥2 − 24𝑥 + 38 ⟺ 4𝑥2 − 24𝑥 − 3𝑥 + 38 > 0 
⟺ 4𝑥2 − 27𝑥 + 38 > 0. 
Pelas contas anteriores, 4𝑥2 − 27𝑥 + 38 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 ou 𝑥 =
19
4
 e como o coeficiente de 𝑥2 é 
igual a 4 e 4 > 0, pelo estudo do sinal de 4𝑥2 − 27𝑥 + 38, podemos concluir que 
4𝑥2 − 27𝑥 + 38 > 0 ⟺ 𝑥 < 2 ou 𝑥 >
19
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reta 𝒓 de equação 𝒚 =
𝟑
𝟐
𝒙 situada abaixo do gráfico de 𝒚 = 𝑺(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟓. 
Uma resolução: determinar as interseções e esboçar a reta junto com a parábola. 
−𝑥2 − 8𝑥 − 15 =
3
2
𝑥 ⟺ −2𝑥2 − 16𝑥 − 30 = 3𝑥 ⟺ −2𝑥2 − 16𝑥 − 3𝑥 − 30 = 0 
AD1-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 7 
⟺ −2𝑥2 − 19𝑥 − 30 = 0 ⟺ 2𝑥2 + 19𝑥 + 30 = 0 ⟺ 𝑥 =
−19±√192−4∙(2)∙(30)
2 ∙ 2
=
−19±√361−240
4
=
−19±√121
4
=
−19±11
4
 ⟺ 𝑥 =
−19−11
4
=
−30 
4
=
−15
2
 ou 𝑥 =
−19+11
4
=
−8 
4
= −2. 
Observando a parábola e a reta desenhadas no mesmo sistema de coordenadas, vemos que a reta 𝑟 está 
situada abaixo do gráfico de 𝑦 = 𝑆(𝑥) se −
15
2
< 𝑥 < −2. 
Em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−
15
2
, −2). 
Outra resolução: resolver a inequação: 
3
2
𝑥 < −𝑥2 − 8𝑥 − 15. 
3
2
𝑥 < −𝑥2 − 8𝑥 − 15 ⟺ 3𝑥 < −2𝑥2 − 16𝑥 − 30 ⟺ −2𝑥2 − 16𝑥 − 3𝑥 − 30 > 0 
⟺ −2𝑥2 − 19𝑥 − 30 > 0 ⟺ 2𝑥2 + 19𝑥 + 30 < 0 . 
Pelas contas anteriores, 2𝑥2 + 19𝑥 + 30 = 0 ⟺ 𝑥 = −
15
2
 ou 𝑥 = −2 e como o coeficiente de 
𝑥2 é igual a 2 e 2 > 0, pelo estudo do sinal de 2𝑥2 + 19𝑥 + 30, podemos concluir que 
 2𝑥2 + 19𝑥 + 30 < 0 ⟺ −
15
2
< 𝑥 < −2. 
 
Questão 3 [1,3 pontos] Considere 𝑥 ∈ ℝ e a expressão 𝐸(𝑥) =
−2𝑥3−𝑥2−5𝑥+3
𝐹(𝑥)
. 
Considere a seguinte tabela de sinais de 𝐹(𝑥): 
(a) Fatore o polinômio do numerador de 𝐸(𝑥) e analise o sinal do numerador de 𝐸(𝑥). 
(b) Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥). 
Atenção: dê a resposta em forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos. 
RESOLUÇÃO 
(a) Fatoração do numerador de 𝑬(𝒙) 
Chamando o numerador de 𝑝(𝑥), temos que fatorar 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 + 3. 
Para fatorar 𝑝(𝑥) precisamos determinar as raízes de 𝑝(𝑥). 
Vamos começar pesquisando possíveis raízes inteiras, que são os divisores do termo independente, que 
é igual a 3. Os divisores de 3 são 1; −1; 3; −3. 
Verificando se são raízes, 
𝑝(1) = −2(1)3 − (1)2 − 5(1) + 3 = −2 − 1 − 5 + 3 = −5 ≠ 0. Logo 𝑥 = 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(−1) = −2(−1)3 − (−1)2 − 5(−1) + 3 = 2 − 1 + 5 + 3 = 9 ≠ 0. Logo 𝑥 = −1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(3) = −2(3)3 − (3)2 − 5(3) + 3 = −54 − 9 − 15 + 3 ≠ 0. Logo 𝑥 = 3 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(−3) = −2(−3)3 − (−3)2 − 5(−3) + 3 = 54 − 9 + 15 + 3 ≠ 0. Logo 𝑥 = −1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
Portanto, nenhuma das possíveis raízes inteiras é de fato raiz de 𝑝(𝑥). 
Sendo assim, vamos pesquisar possíveis raízes racionais não inteiras, que são os resultados da divisão dos 
divisores do termo independente, que é igual a 3 pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, 
que é igual a -2. Logo as possíveis raízes são racionais não inteiras 
1
2
; −
1
2
; 
3
2
; −
3
2
. 
𝑝 (
1
2
) = −2 (
1
2
)
3
− (
1
2
)
2
− 5 (
1
2
) + 3 = −
2
8
−
1
4
−
5
2
+ 3 =
−2−2−20+24
8
= 0. Logo 𝑥 =
1
2
 é raiz de 𝑝(𝑥). 
 (−∞, −1) −1 (−1, 3) 3 (3, ∞) 
𝐹(𝑥) − 0 − 𝑛𝑑 + 
AD1-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 6 de 7 
Agora não vamos testar as outras possíveis raízes, é mais simples dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 −
1
2
). 
 
Para dividir vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini. 
 
Logo o resultado da divisão é 𝑞(𝑥) = −2𝑥2 − 2𝑥 − 6 e podemos escrever. 
𝑝(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) 𝑞(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) (−2𝑥2 − 2𝑥 − 6) . 
Observe que as outras possíveis raízes de 𝑝(𝑥) são as raízes de 𝑞(𝑥) = −2𝑥2 − 2𝑥 − 6. 
−2𝑥2 − 2𝑥 − 6 = 0 ⟺ 𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 =
−1±√12−4∙1∙3
2∙1
=
−1±√1−12
2
=
−1±√−11
2
 
Como Δ = −11 < 0, 𝑞(𝑥) não possui raízes reais, ou seja, 𝑞(𝑥) é irredutível em ℝ. 
Assim, a fatoração do numerador 𝒑(𝒙) de 𝑬(𝒙) é: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) (−2𝑥2 − 2𝑥 − 6), que simplificando, temos outras fatorações equivalentes: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) (−2𝑥2 − 2𝑥 − 6) = 2 (𝑥 −
1
2
) (−𝑥2 − 𝑥 − 3) = (2𝑥 − 1)(−𝑥2 − 𝑥 − 3). 
Análise de sinal do numerador 𝒑(𝒙) de 𝑬(𝒙) 
Temos que analisar o sinal de 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 + 3 = (2𝑥 − 1)(−𝑥2 − 𝑥 − 3). 
Vamos usar tabela de sinais para analisar o sinal do produto (2𝑥 − 1)(−𝑥2 − 𝑥 − 3). 
Para isso precisamos primeiro analisar o sinal de cada fator. 
• 2𝑥 − 1 = 0 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
 2𝑥 − 1 > 0 ⟺ 2𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 >
1
2
 
 2𝑥 − 1 < 0 ⟺ 2𝑥 < 1 ⟺ 𝑥 <
1
2
 
• −𝑥2 − 𝑥 − 3 não possui raízes reais e como o coeficiente de maior grau é igual a −1, o 
gráfico do trinômio é uma parábola com concavidade para baixo, e sabemos que 
 −𝑥2 − 𝑥 − 3 < 0 para ∀𝑥 ∈ ℝ. 
 (−∞,
1
2
) 
1
2
 (
1
2
, ∞) 
2𝑥 − 1 − 0 + 
−𝑥2 − 𝑥 − 3 − − − 
𝑝(𝑥) = (2𝑥 − 1)(−𝑥2 − 𝑥 − 3) + 0 − 
Portanto, a análise do sinal do numerador 𝒑(𝒙) de 𝑬(𝒙) é: 
𝑝(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
𝑝(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 <
1
2
 
𝑝(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 >
1
2
 
 
(b) Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) =
−2𝑥3−𝑥2−5𝑥+3
𝐹(𝑥)
. 
Como já temos o sinal do numerador 𝑝(𝑥) e do denominador 𝐹(𝑥) de 𝐸(𝑥), podemos construir a tabela 
de sinais de 𝐸(𝑥). 
 −2 −1 −5 3 
1
2
 −2 −2 −6 0 
AD1-Parte 1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 7 de 7 
 
 
 
 
Portanto, a análise do sinal de 𝑬(𝒙) é: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 
1
2
< 𝑥 < 3 , em notação de intervalo, 𝑥 ∈ (
1
2
, 3). 
𝑝(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −1 ou −1 < 𝑥 <
1
2
 ou 𝑥 > 3 em notação de intervalo, 
 𝑥 ∈ (−∞ , −1) ∪ (−1 ,
1
2
) ∪ (3 , ∞).. 
 
Questão 4 [1,0 ponto] Considere 𝑥 ∈ ℝ e determine o domínio da expressão: 
𝐴(𝑥) = √(5 − 2𝑥)(|𝑥| − 4) 
Atenção: dê a resposta em forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos. 
RESOLUÇÃO 
A única restrição do domínio é que o radicando deve ser positivo ou nulo. 
Logo, a única restrição é (5 − 2𝑥)(|𝑥| − 4) ≥ 0. 
Para resolver a restrição vamos usar tabela de sinais para analisar o sinal do produto (5 − 2𝑥)(|𝑥| − 4). 
Para isso precisamos analisar o sinal de cada fator do produto. 
• 5 − 2𝑥 = 0 ⟺ 5 = 2𝑥 ⟺ 2𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 =
5
2
 
5 − 2𝑥 > 0 ⟺ 5 > 2𝑥 ⟺ 2𝑥 < 5 ⟺ 𝑥 <
5
2
 
5 − 2𝑥 < 0 ⟺ 5 < 2𝑥 ⟺ 2𝑥 > 5 ⟺ 𝑥 >
5
2
 
• |𝑥| − 4 = 0 ⟺ |𝑥| = 4 ⟺ 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 4 
|𝑥| − 4 > 0 ⟺ |𝑥| > 4 ⟺ 𝑥 < −4 ou 𝑥 > 4 
|𝑥| − 4 < 0 ⟺ |𝑥| < 4 ⟺ −4 < 𝑥 < 4 
Construindo a tabela de sinais de (5 − 2𝑥)(|𝑥| − 4). 
 (−∞, −4) −4 (−4,
5
2
 ) 
5
2
 (
5
2
, 4) 4 (4, ∞) 
5 − 2𝑥 + + + 0 − − − 
|𝑥| − 4 + 0 − − − 0 + 
(5 − 2𝑥)(|𝑥| − 4) + 0 − 0 + 0 − 
 
Observando a tabela, concluímos que (5 − 2𝑥)(|𝑥| − 4) ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −4 ou 
5
2
≤ 𝑥 ≤ 4. 
Denominando por 𝐷 o domínio da expressão, concluímos que: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ −4 𝑜𝑢 
5
2
≤ 𝑥 ≤ 4} = (−∞, −4] ∪ [
5
2
, 4] 
 
 (−∞, −1) −1 (−1,
1
2
) 
1
2
 (
1
2
, 3) 3 (3, ∞) 
𝑝(𝑥) + + + 0 − − − 
𝐹(𝑥) − 0 − − − 𝑛𝑑 + 
𝐸(𝑥) =
−2𝑥3−𝑥2−5𝑥+3
𝐹(𝑥)
 − 𝑛𝑑 − 0 + 𝑛𝑑 − 
marle
Nota
Foi atualizado onde está marcado em verde, antes estava escrito 2/5.