Lista_11_solns

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Cálculo 1: Exerćıcios 11, umas soluções
1. Encontre o volume dos sólidos de revolução obtidos pela rotação da região
limitada pelas curvas dadas em torno da reta dada em parênteses. Em
cada exerćıcio, esboce a região, o sólido obtido e um disco ou arruela t́ıpico.
(a) y = 2− 12x , y = 0 , x = 1 , x = 2 , (eixo x)
(b) y = ex , y = 0, , x = 0 , x = 1 , (eixo x)
(c) x = 2
√
y , x = 0 , y = 9 , (eixo y)
(d) y = ln(x) , y = 1 , y = 2 , x = 0 , (eixo y)
(e) y2 = x , x = 2y , (eixo y)
(f) y = e−x , y = 1 , x = 2 , (y = 2)
(g) y = x2 , x = y2 , (x = −1)
R: Não vou esboçar o sólido.
(a) Região:
x
y
2− 12x
1 2
Quando virar a região, a seção transversal em cada ponto x será um
disco de raio r = 2− 12x:
2− 12x
A área deste disco é
A(x) = πr2 = π
(
2− 1
2
x
)2
1
Logo o volume do sólido obtido será
V =
∫ 2
1
A(x) dx
= π
∫ 2
1
4− 2x+ 1
4
x2 dx
= · · ·
=
19π
12
.
(b) Região:
x
y e
x
1
Quando virar a região, a seção transversal em cada ponto x será um
disco de raio r = ex:
ex
A área deste disco é
A(x) = πr2 = πe2x
Logo o volume do sólido obtido será
V =
∫ 2
1
A(x) dx
= π
∫ 1
0
e2x dx
= · · · (faça substituição u = 2x)
=
π
2
(e− 1).
2
(c) Região:
x
y
x = 2
√
y
9
Quando virar a região, a seção transversal em cada ponto y será um
disco de raio r = 2
√
y:
2
√
y
A área deste disco é
A(y) = πr2 = 4πy
Logo o volume do sólido obtido será
V =
∫ 9
0
A(y) dy
= 4π
∫ 9
0
y dy
= · · ·
= 162π.
(d) Região:
x
y
y = ln(x) =⇒ x = ey
1
2
3
Quando virar a região, a seção transversal em cada ponto y será um
disco de raio r = ey:
ey
A área deste disco é
A(y) = πr2 = e2y
Logo o volume do sólido obtido será
V =
∫ 2
1
A(y) dy
= π
∫ 2
1
ey dy
= · · ·
=
π
2
(e4 − e).
(e) Região:
x
y
2
Quando virar a região, a seção transversal em cada ponto y será a
seguinte arruela:
y2
2y
A área dela é
A(y) = (área do disco maior)−(área do disco menor) = 4πy2 − πy4.
4
Logo o volume do sólido obtido será
V =
∫ 2
0
A(y) dy
= π
∫ 2
0
4y2 − y4 dy
= · · ·
=
64π
15
.
(f) Região:
x
y
e−x
2
1
2
1 2− e−x
Quando virar a região, a seção transversal em cada ponto x será a
seguinte arruela:
1
2− e−x
A área dela é
A(x) = π(3− 4e−x + e−2x)
Logo o volume do sólido obtido será
V =
∫ 2
0
A(x) dx
= π
∫ 2
0
3− 4e−x + e−2x dx
= · · · (faça as substituições u = −x, u = −2x)
= π
(
5
2
− 1
e4
+
4
e2
)
.
5
(g) Região:
x
y
1
1−1
Quando virar a região, a seção transversal em cada ponto y será a
seguinte arruela:
1 + y2
1 +
√
y
A área dela é
A(y) = (área do disco maior)−(área do disco menor) = π(2√y + y − 2y2 − y4).
Logo o volume do sólido obtido será
V =
∫ 1
0
A(y) dy
= π
∫ 1
0
2
√
y + y − 2y2 − y4 dy
= · · ·
=
29π
30
.
2. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x cos(5x) dx,
(b)
∫
xex/2 dx,
(c)
∫
x2 cos(3x) dx,
(d)
∫ π
0
t sen(3t) dt,
(e)
∫
y
e2y dy,
(f)
∫ 2
1
x4 ln(x)2 dx.
R: Partes.
6
(a)
f(x) = x g′(x) = cos(5x)
f ′(x) = 1 g(x) = 15 sen(5x)
∫
x cos(5x) dx =
x
5
sen(5x)− 1
5
∫
sen(5x) dx
=
x
5
sen(5x) +
1
25
cos(5x) + C.
(b)
f(x) = x g′(x) = ex/2
f ′(x) = 1 g(x) = 2ex/2
∫
x ex/2 dx = 2x ex/2 − 2
∫
ex/2 dx
= 2(x− 2)ex/2 + C.
(c)
f(x) = x2 g′(x) = cos(3x)
f ′(x) = 2x g(x) = 13 sen(3x)
∫
x2cos(3x) dx =
x2
3
sen(3x)− 2
3
∫
x sen(3x) dx
Partes de novo:
h(x) = x k′(x) = sen(3x)
h′(x) = 1 k(x) = − 13cos(3x)
∫
x2cos(3x) dx =
x2
3
sen(3x)− 2
3
∫
x sen(3x) dx
=
x2
3
sen(3x)− 2
3
(
−x
3
cos(3x) +
1
3
∫
cos(3x) dx
)
=
1
27
(9x2 − 2)sen(3x) + 2x
9
cos(3x) + C.
(d)
f(t) = t g′(t) = sen(3t)
f ′(t) = 1 g(x) = − 13cos(3t)
∫ π
0
t sen(3t) dt =
[
− t
3
cos(3t)
]π
0
− 1
3
∫ π
0
cos(3t) dt
=
π
3
+
1
9
[sen(3t)]
π
0 (cos(3π) = −1)
=
π
3
. (sen(0) = sen(3π) = 0)
7
(e)
f(y) = y g′(x) = e−2y
f ′(y) = 1 g(x) = − 12e
−2y
∫
y
e2y
dy = −y
2
e−2y +
1
2
∫
e−2y dy
= − 1
4e2y
(2y + 1) + C.
(f) Vamos derivar o “ln”:
f(x) = ln(x)2 g′(x) = x4
f ′(x) = 2 ln(x)x g(x) =
x5
5
∫ 2
1
x4 ln2(x) dx =
[
x5 ln2(x)
5
]2
1
− 2
∫ 2
1
x3 ln(x) dx
=
32 ln2(2)
5
− 0− 2
∫ 2
1
x3 ln(x) dx
Partes de novo:
h(x) = ln(x) k′(x) = x3
h′(x) = 1x k(x) =
x4
4
∫ 2
1
x4 ln2(x) dx =
32 ln2(2)
5
− 2
∫ 2
1
x3 ln(x) dx
= . . .
=
2
125
(31− 160 ln(2) + 400 ln2(2)).
3. Calcule as seguintes integrais por primeiro fazer uma substituição e depois
usar integração por partes.
(a)
∫
cos(
√
x) dx,
(b)
∫
t3e−t
2
dt,
(c)
∫
sen(ln(x)) dx.
R:
(a)
u =
√
x , dx = 2
√
x du = 2u du
Logo ∫
cos(
√
x) dx = 2
∫
u cos(u) du.
f(u) = u g′(u) = cos(u)
f ′(u) = 1 g(u) = sen(u)
8
2
∫
u cos(u) du = 2
(
u sen(u)−
∫
sen(u) du
)
= 2u sen(u) + 2cos(u) + C
= 2
√
x sen(
√
x) + 2cos(
√
x) + C.
(b)
u = −t2 , dx = −1
2
du = t dt
Logo ∫
t3e−t
2
dt = −1
2
∫
t2eu du =
1
2
∫
ueu du.
f(u) = u g′(u) = eu
f ′(u) = 1 g(u) = eu
No fim das contas:∫
t3e−t
2
dt = −1
2
e−t
2
(1 + t2) + C.
(c)
u = ln(x) (logo x = eu) , x du = dx
Logo ∫
sen(ln(x)) dx =
∫
sen(u)x du =
∫
sen(u)eu du.
Resolvemos essa integral nas aulas (só com x em vez de u):∫
sen(ln(x)) dx =
∫
sen(u)eu du
=
eu(sen(u)− cos(u))
2
+ C
=
eln(x)(sen(ln(x))− cos(ln(x)))
2
+ C
=
x(sen(ln(x))− cos(ln(x)))
2
+ C.
4. (a) Use a fórmula de redução das aulas para mostrar que∫
sen2(x) dx =
x
2
− sen(2x)
4
+ C.
(b) Use Parte (a) e a fórmula de redução para calcular∫
sen4(x) dx.
R:
9
(a) Pela fórmula de redução,∫
sen2(x) dx = −1
2
cos(x)sen(x) +
1
2
∫
sen0(x) dx
= −1
2
cos(x)sen(x) +
1
2
∫
1 dx
=
x
2
− 1
2
cos(x)sen(x) + C
=
x
2
− 1
4
sen(2x) + C (sen(x+ x) = 2sen(x)cos(x))
(b) ∫
sen4(x) = −1
4
cos(x)sen3(x) +
3
4
∫
sen2(x) dx (fórmula de redução)
= −1
4
cos(x)sen3(x) +
3
4
(
x
2
− 1
4
sen(2x)
)
+ C
=
1
32
(12x− 8sen(2x) + sen(4x)) + C.
5. (a) Mostre que temos a seguinte fórmula de redução:∫
xnex dx = xnex − n
∫
xn−1ex dx.
(b) Use Parte (a) para calcular ∫
x4ex dx.
R:
(a) Usando
f(x) = xn g′(x) = ex
f ′(x) = nxn−1 g(x) = ex
obtemos ∫
xnex dx = xnex − n
∫
xn−1ex dx.
(b) Usando a fórmula acima,∫
x4ex dx = x4ex − 4
∫
x3ex dx
= x4ex − 4x3ex + 12
∫
x2ex dx
= x4ex − 4x3ex + 12x2ex − 24
∫
xex dx
= x4ex − 4x3ex + 12x2ex − 24xex + 24
∫
ex dx
= x4ex − 4x3ex + 12x2ex − 24xex + 24ex + C
= (x4 − 4x3 + 12x2 − 24x+ 24)ex + C.
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