550 ∫ 0 −1 ∫ 1+√1−y2 y+2 2y dx dy.

A integral dupla dada é uma integral definida de uma função em uma região retangular no plano xy. Para resolver essa integral, primeiro vamos integrar em relação a x e depois em relação a y. A integral interna em relação a x é ∫(y+2)/(2y) dx. Integrando essa expressão em relação a x, obtemos: ∫(y+2)/(2y) dx = (1/2)ln|y+2| + C1, onde C1 é a constante de integração. Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y, no intervalo de -1 a 1+√(1-y^2): ∫[0, -1] ∫[1+√(1-y^2), y] (y+2)/(2y) dx dy. Substituindo os limites de integração e integrando em relação a y, temos: ∫[0, -1] [(1/2)ln|y+2| + C1] dy = (1/2)∫[0, -1] ln|y+2| dy + C1∫[0, -1] dy = (1/2)[(y+2)ln|y+2| - (y+2)]|0,-1 + C1(-1-0) = (1/2)[(-3ln3 + 2) - (2ln2 + 4)] + C1. Portanto, a resposta para a integral dupla dada é: (1/2)[(-3ln3 + 2) - (2ln2 + 4)] + C1.