Dada la función f(x, y) = cosx sen y, se pide: (a) Halla el polinomio de Taylor de grado dos en el punto (π/4, π/2). (b) Escribir la ecuación del...

(a) Para encontrar o polinômio de Taylor de grau dois no ponto (π/4, π/2), precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = cos(x)sen(y) em relação a x e y. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem: ∂f/∂x = -sen(x)sen(y) ∂f/∂y = cos(x)cos(y) Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem: ∂²f/∂x² = -cos(x)sen(y) ∂²f/∂y² = -cos(x)cos(y) A derivada parcial mista ∂²f/∂x∂y = -sen(x)cos(y) e ∂²f/∂y∂x = -sen(x)cos(y) são iguais. Agora, vamos calcular o valor das derivadas parciais no ponto (π/4, π/2): ∂f/∂x (π/4, π/2) = -sen(π/4)sen(π/2) = -1/√2 ∂f/∂y (π/4, π/2) = cos(π/4)cos(π/2) = 1/√2 ∂²f/∂x² (π/4, π/2) = -cos(π/4)sen(π/2) = -1/√2 ∂²f/∂y² (π/4, π/2) = -cos(π/4)cos(π/2) = -1/√2 ∂²f/∂x∂y (π/4, π/2) = -sen(π/4)cos(π/2) = -1/√2 Agora, podemos usar esses valores para encontrar o polinômio de Taylor de grau dois: P(x, y) = f(π/4, π/2) + ∂f/∂x (π/4, π/2)(x - π/4) + ∂f/∂y (π/4, π/2)(y - π/2) + (1/2)∂²f/∂x² (π/4, π/2)(x - π/4)² + (1/2)∂²f/∂y² (π/4, π/2)(y - π/2)² + ∂²f/∂x∂y (π/4, π/2)(x - π/4)(y - π/2) Substituindo os valores das derivadas parciais e do ponto (π/4, π/2), temos: P(x, y) = cos(π/4)sen(π/2) - (1/√2)(x - π/4) + (1/√2)(y - π/2) - (1/2)(-1/√2)(x - π/4)² - (1/2)(-1/√2)(y - π/2)² - (-1/√2)(x - π/4)(y - π/2) Simplificando a expressão, temos: P(x, y) = (1/2) - (1/√2)(x - π/4) + (1/√2)(y - π/2) - (1/2)(x - π/4)² - (1/2)(y - π/2)² + (1/√2)(x - π/4)(y - π/2) (b) Para escrever a equação do plano tangente ao gráfico de f no mesmo ponto, usamos a fórmula do plano tangente: z - f(π/4, π/2) = ∂f/∂x (π/4, π/2)(x - π/4) + ∂f/∂y (π/4, π/2)(y - π/2) Substituindo os valores das derivadas parciais e do ponto (π/4, π/2), temos: z - (1/2) = -(1/√2)(x - π/4) + (1/√2)(y - π/2) Simplificando a expressão, temos: z = -(1/√2)(x - π/4) + (1/√2)(y - π/2) + (1/2) Portanto, o polinômio de Taylor de grau dois no ponto (π/4, π/2) é P(x, y) = (1/2) - (1/√2)(x - π/4) + (1/√2)(y - π/2) - (1/2)(x - π/4)² - (1/2)(y - π/2)² + (1/√2)(x - π/4)(y - π/2), e a equação do plano tangente ao gráfico de f no mesmo ponto é z = -(1/√2)(x - π/4) + (1/√2)(y - π/2) + (1/2).