Calcula los puntos cŕıticos de f(x, y) = x4 + x2 + 24y2 + 12xy.

Para calcular os pontos críticos da função f(x, y) = x^4 + x^2 + 24y^2 + 12xy, precisamos encontrar os valores de x e y onde as derivadas parciais em relação a x e y são iguais a zero. Vamos começar encontrando as derivadas parciais: ∂f/∂x = 4x^3 + 2x + 12y ∂f/∂y = 48y + 12x Agora, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações: 4x^3 + 2x + 12y = 0 48y + 12x = 0 Podemos simplificar a segunda equação dividindo ambos os lados por 12: 4y + x = 0 Agora, podemos substituir x = -4y na primeira equação: 4(-4y)^3 + 2(-4y) + 12y = 0 -64y^3 - 8y + 12y = 0 -64y^3 + 4y = 0 4y(-16y^2 + 1) = 0 Agora, temos duas possibilidades: 1) 4y = 0, o que implica em y = 0. Substituindo na equação x = -4y, temos x = 0. 2) -16y^2 + 1 = 0, o que implica em y^2 = 1/16. Portanto, temos duas soluções: y = 1/4 e y = -1/4. Substituindo na equação x = -4y, temos x = -1 e x = 1, respectivamente. Portanto, os pontos críticos da função f(x, y) = x^4 + x^2 + 24y^2 + 12xy são: (0, 0), (-1, 1/4) e (1, -1/4).