i) Interna. Multipliquemos dos matrices genéricas de G:[ a b 0 1 ] [ a′ b′ 0 1 ] = [ aa′ ab′ + b 0 1 ]. Por hipótesis a y a′ son no nulos, por ta...

i) Interna. Multipliquemos dos matrices genéricas de G:[
a b
0 1
] [
a′ b′
0 1
] = [
aa′ ab′ + b
0 1
].
Por hipótesis a y a′ son no nulos, por tanto aa′ es no nulo lo cual implica que el producto de dos matrices de G pertenece a G. Asociativa. Se cumple en general para matrices cuadradas del mismo orden, en particular para las matrices de G. Elemento neutro. Para a = 1, b = 0 obtenemos la matriz identidad I de orden 2, que satisface AI = IA = A para toda matriz de G. Es decir existe elemento neutro siendo éste la matriz identidad I. Elemento inverso. Sea A = [
a b
0 1
]. Su inversa es la matriz A−1 = [
1/a −b/a
0 1
], que claramente pertenece a G y satisface AA−1 = A−1A = I. Es decir, todo elemento de G posee inverso en G. Concluimos que (G, ·) es un grupo.

Álgebra Vetorial e Geometria Analítica

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Colégio Objetivo

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Estudando com Questões

30/06/2023

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Álgebra Vetorial e Geometria Analítica • Universidad Nacional de Mar del PlataUniversidad Nacional de Mar del Plata

Nelida Ruiz

💡 1 Resposta

Ed

05.09.2023

A matriz G é um grupo com a operação de multiplicação. Isso é demonstrado pelas seguintes propriedades: i) Interna: Ao multiplicar duas matrizes genéricas de G, obtemos uma matriz que também pertence a G. ii) Associativa: A multiplicação de matrizes é associativa, o que significa que essa propriedade é válida para as matrizes de G. iii) Elemento neutro: A matriz identidade I de ordem 2 é o elemento neutro para as matrizes de G. Multiplicar qualquer matriz de G pela matriz identidade resulta na própria matriz. iv) Elemento inverso: Para cada matriz A em G, existe uma matriz inversa A⁻¹ em G tal que A * A⁻¹ = A⁻¹ * A = I. Portanto, concluímos que (G, *) é um grupo.

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