Como aplicación, encontrar los valores máximo y mı́nimo de F : Rn → R dada por F (x) = XtAX, con la condición XtBX = 1.

Para encontrar os valores máximo e mínimo da função F(x) = XtAX, sujeita à condição XtBX = 1, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, vamos definir a função Lagrangiana L(x, λ) = F(x) - λ(XtBX - 1), onde λ é o multiplicador de Lagrange. Para encontrar os pontos críticos, devemos igualar a zero o gradiente de L em relação a x e λ: ∇F(x) - λ∇(XtBX - 1) = 0 O gradiente de F(x) é dado por ∇F(x) = 2AX, e o gradiente de (XtBX - 1) é dado por ∇(XtBX - 1) = 2BX. Substituindo esses valores na equação acima, temos: 2AX - 2λBX = 0 Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 2: AX - λBX = 0 Multiplicando ambos os lados por B^-1 (a inversa de B), obtemos: AXB^-1 - λX = 0 Isso implica que AX = λBX. Agora, temos um sistema de equações lineares a ser resolvido. Para encontrar os valores de λ, X e os correspondentes valores de F(x), é necessário resolver esse sistema de equações. A solução desse sistema fornecerá os pontos críticos da função F(x). Uma vez que os pontos críticos são encontrados, podemos calcular o valor de F(x) em cada ponto e determinar o máximo e o mínimo. Lembrando que essa é uma abordagem geral para encontrar os valores máximo e mínimo de uma função sujeita a uma condição. Os cálculos específicos dependerão das matrizes A e B fornecidas no problema.