Sea A =
[
x y
z t
] ortogonal. Entonces,
A+ I es ortogonal⇔ (A+ I)T (A+ I) = I ⇔
(
AT + I
)
(A+ I) = I
⇔ ATA+A+AT + I = I ⇔ I +A+AT + I = I ⇔ A+AT ...

Question

Sea A =[x yz t] ortogonal. Entonces,A+ I es ortogonal⇔ (A+ I)T (A+ I) = I ⇔(AT + I)(A+ I) = I⇔ ATA+A+AT + I = I ⇔ I +A+AT + I = I ⇔ A+AT = −I⇔[x zy t]+[x yz t]=[−1 00 −1]⇔2x = −1y + z = 02t = −1.Resolviendo, obtenemos las matrices A de orden dos tales que S = A+ I esortogonalA =[−1/2 −αα −1/2](α ∈ R).Como A es ortogonal, sus vectores columna han de formar un sistema or-tonomal con el producto escalar usual. Claramente, forman un sistema or-togonal. Obligando a que sea unitario obtenemos α2 + 1/4 = 1, es decirα = ±√3/2. La matrices A pedidas son por tantoA1 =[−1/2 −√3/2√3/2 −1/2], A2 =[−1/2√3/2−√3/2 −1/2].

Ed · Answer

A matriz A é ortogonal se e somente se A + I for ortogonal. Para verificar isso, podemos usar a seguinte igualdade: (A + I)T (A + I) = I.

Vamos calcular essa igualdade:

(A + I)T (A + I) = (AT + I)(A + I) = ATA + AT + IA + I = ATA + A + AT + I = I

Portanto, temos que ATA + A + AT + I = I. Simplificando essa expressão, obtemos A + AT = -I.

Dado que A é uma matriz de ordem 2, podemos escrevê-la como:

A = [x z]
    [y t]

Substituindo na equação A + AT = -I, temos:

[x z] + [y t] = [-1 0]
[y t] + [x z] = [0 -1]

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos as matrizes A de ordem 2 que satisfazem a condição A + I é ortogonal:

A1 = [-1/2 -√3/2]
     [√3/2 -1/2]

A2 = [-1/2 √3/2]
     [-√3/2 -1/2]

Portanto, as matrizes A1 e A2 são as soluções para o problema proposto.

Sea A = [ x y z t ] ortogonal. Entonces, A+ I es ortogonal⇔ (A+ I)T (A+ I) = I ⇔ ( AT + I ) (A+ I) = I ⇔ ATA+A+AT + I = I ⇔ I +A+AT + I = I ⇔ A+AT ...

Álgebra Linear Computacional

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