Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encontrar la solución particular determinada por las condiciones iniciales que se dan. a) ...

Para a equação diferencial a) dy/dx = 8x^3 + 5x - 2, quando x = 0, podemos encontrar a solução particular determinada aplicando o método da separação de variáveis. Integrando ambos os lados da equação, temos: ∫dy = ∫(8x^3 + 5x - 2)dx Integrando cada termo separadamente, obtemos: y = 2x^4 + (5/2)x^2 - 2x + C Agora, podemos usar a condição inicial dada para encontrar o valor de C. Quando x = 0, temos: y(0) = 2(0)^4 + (5/2)(0)^2 - 2(0) + C y(0) = C Portanto, a solução particular determinada para a equação a) é: y = 2x^4 + (5/2)x^2 - 2x + y(0) Para a equação diferencial b) d^2y/dx^2 = sin(x), com y' = 1 e y = 6 para x = 0, podemos encontrar a solução particular determinada aplicando o método da integração duas vezes. Integrando a equação duas vezes, obtemos: y = -cos(x) + Ax + B Agora, podemos usar as condições iniciais dadas para encontrar os valores de A e B. Quando x = 0, temos: y(0) = -cos(0) + A(0) + B y(0) = -1 + B E quando x = 0, temos: y'(0) = -sin(0) + A y'(0) = A Portanto, a solução particular determinada para a equação b) é: y = -cos(x) + y'(0)x + y(0)