Uma função tem derivada de segunda ordem f ′′(x) = 6x− 6. Encontre a expressão da f , sabendo que seu gráfico contém o ponto (2, 1) e que em t...

Para encontrar a expressão da função f, podemos integrar a derivada de segunda ordem f''(x) = 6x - 6 duas vezes. f'(x) = ∫(6x - 6)dx = 3x² - 6x + C1 f(x) = ∫(3x² - 6x + C1)dx = x³ - 3x² + C1x + C2 Sabemos que o gráfico da função contém o ponto (2, 1), então podemos usar essa informação para encontrar os valores de C1 e C2. f(2) = 1 1 = 2³ - 3(2)² + C1(2) + C2 1 = 8 - 12 + 2C1 + C2 C1 + C2 = 5 Também sabemos que a reta tangente ao gráfico da função no ponto (2, 1) tem equação 3x - y - 5 = 0. Podemos usar essa informação para encontrar o valor de C1. f'(2) = 3(2)² - 6(2) + C1 = 6 + C1 A reta tangente tem equação 3x - y - 5 = 0, então podemos substituir x = 2 e y = 1 para encontrar o valor de C1. 3(2) - 1 - 5 = 0 C1 = -2 Agora podemos substituir C1 = -2 e C1 + C2 = 5 na expressão da função f. C1 + C2 = 5 -2 + C2 = 5 C2 = 7 f(x) = x³ - 3x² - 2x + 7 Portanto, a expressão da função f é f(x) = x³ - 3x² - 2x + 7.