Leia o texto a seguir. No estudo das transformações lineares, os autovalores e autovetores se mostram conceitos altamente relevantes, com grandes p...

A alternativa correta é: I e II, apenas. Explicação: A matriz canônica da transformação linear T é a matriz que representa a transformação linear em relação às bases canônicas dos espaços vetoriais de partida e chegada. Para encontrar a matriz canônica de T, basta aplicar a transformação linear aos vetores da base canônica de R² e escrever os resultados como combinações lineares das colunas da matriz canônica. Assim, temos: T(1, 0) = (1, -1) = 1(1, 2) + (-1)(0, 1) T(0, 1) = (2, 4) = 2(1, 2) + 0(0, 1) Logo, a matriz canônica de T é: [T] = 1 2 -1 4 Para encontrar os autovalores e autovetores de T, precisamos resolver a equação característica det(T - λI) = 0, onde I é a matriz identidade e λ é o autovalor a ser encontrado. Assim, temos: det(T - λI) = |1-λ 2 | |-1 4-λ| (1-λ)(4-λ) + 2 = 0 λ² - 5λ + 6 = 0 (λ - 2)(λ - 3) = 0 Portanto, os autovalores de T são λ1 = 2 e λ2 = 3. Para encontrar os autovetores associados a cada autovalor, precisamos resolver o sistema de equações (T - λI)v = 0, onde v é o autovetor a ser encontrado. Assim, temos: Para λ1 = 2: (T - 2I)v = |-1 2 | |-1 2 | v1 - 2v2 = 0 -v1 + 2v2 = 0 v = t(2, 1), onde t é um escalar qualquer. Para λ2 = 3: (T - 3I)v = |-2 2 | |-1 1 | -v1 + 2v2 = 0 -v1 + v2 = 0 v = t(2, 1), onde t é um escalar qualquer. Portanto, o vetor (1, 1) não é um autovetor associado a λ1 = 2, pois não satisfaz o sistema de equações (T - 2I)v = 0. Além disso, a afirmação II é verdadeira, pois λ1 = 2 é um autovalor de T.