3. Considere as T.L.: T : IR3 → IR2 e S : IR2 → IR3 dadas por: T (x, y, z) = (x − y + z, x − y + z) e S(x, y) = (2x−y, x+y, 3x). Marque: dim(Im(T )...

Para resolver essa questão, precisamos calcular as dimensões dos espaços vetoriais Im(T), Nu(T ◦ S), Nu(S) e Im(S ◦ T). Começando por Im(T), temos que: Im(T) = {(x - y + z, x - y + z) | x, y, z ∈ IR} Podemos reescrever a imagem de T como: Im(T) = {(x, y) ∈ IR² | y = -x} Ou seja, a imagem de T é a reta que passa pela origem e tem inclinação -1. Portanto, a dimensão de Im(T) é 1. Agora, vamos calcular Nu(T ◦ S). Temos que: T ◦ S(x, y) = T(2x - y, x + y, 3x) = (2x - y - x - y + 3x, 2x - y - x - y + 3x) = (4x - 2y, 4x - 2y) Logo, Nu(T ◦ S) é o conjunto de soluções da equação: 4x - 2y = 0 Que pode ser reescrita como: 2x - y = 0 Ou seja, Nu(T ◦ S) é a reta que passa pela origem e tem inclinação 2. Portanto, a dimensão de Nu(T ◦ S) é 1. Agora, vamos calcular Nu(S). Temos que: Nu(S) = {(x, y) ∈ IR² | 2x - y = 0, x + y = 0, 3x = 0} Resolvendo o sistema, obtemos: x = 0 e y = 0 Portanto, Nu(S) é o conjunto {0}, e sua dimensão é 0. Por fim, vamos calcular Im(S ◦ T). Temos que: S ◦ T(x, y, z) = S(x - y + z, x - y + z) = (2x - y + z - 2y + 2z, x + y - y + z, 3x - 3y + 3z) = (3x - 3y + 3z, x + z, 3x - 3y + 3z) Logo, Im(S ◦ T) é o conjunto de soluções da equação: x + z = 0 Que pode ser reescrita como: x = -z Ou seja, Im(S ◦ T) é o conjunto de vetores da forma (-z, a, -z), onde a é um número real. Portanto, a dimensão de Im(S ◦ T) é 2. Agora, basta somar as dimensões de Im(T), Nu(T ◦ S), Nu(S) e Im(S ◦ T): dim(Im(T)) + dim(Nu(T ◦ S)) + dim(Nu(S)) + dim(Im(S ◦ T)) = 1 + 1 + 0 + 2 = 4 Portanto, a resposta correta é a alternativa D) 4.