Para determinar o raio e o intervalo de convergência da série de potência \(\sum_{k=1}^{\infty} (x-5)^k (k+1)!\), podemos usar o teste da razão. A série é da forma \(\sum a_k\), onde \(a_k = (x-5)^k (k+1)!\). Aplicando o teste da razão: \[ L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x-5)^{k+1} (k+2)!}{(x-5)^k (k+1)!} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| (x-5) \cdot \frac{(k+2)(k+1)!}{(k+1)!} \right| = \lim_{k \to \infty} |(x-5)(k+2)| \] Para que a série converja, precisamos que \(L < 1\). Isso implica que: \[ |(x-5)(k+2)| < 1 \] Como \(k\) tende ao infinito, essa expressão só pode ser verdadeira se \(x-5 = 0\), ou seja, \(x = 5\). Portanto, o raio de convergência \(R = 0\). Assim, o intervalo de convergência é apenas o ponto \(x = 5\), que pode ser representado como \([5, 5]\). Portanto, a resposta correta é: a) 0 e [5]