Se z^2 = -4 - 4i, qual é o valor de z? a) 2 - 2i b) -2 - 2i c) 4 - 4i d) -2 + 2i

Para resolver a equação \( z^2 = -4 - 4i \), precisamos encontrar a raiz quadrada do número complexo \(-4 - 4i\). Podemos expressar um número complexo na forma \( z = a + bi \), onde \( a \) e \( b \) são números reais. Para encontrar \( z \), vamos usar a forma polar ou a fórmula de Bhaskara, mas aqui vamos tentar encontrar diretamente as raízes. 1. Primeiro, vamos calcular o módulo de \(-4 - 4i\): \[ r = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] 2. Agora, vamos encontrar o argumento: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-4}{-4}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{3\pi}{4} \text{ (no segundo quadrante)} \] 3. Assim, podemos escrever \(-4 - 4i\) na forma polar: \[ -4 - 4i = 4\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) \] 4. Para encontrar \( z \), precisamos calcular a raiz quadrada: \[ z = \sqrt{4\sqrt{2}} \left( \cos\left(\frac{5\pi/4 + 2k\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi/4 + 2k\pi}{2}\right) \right) \quad (k = 0, 1) \] 5. A raiz quadrada do módulo é: \[ \sqrt{4\sqrt{2}} = 2^{3/4} = 2\sqrt{2} \] 6. Para \( k = 0 \): \[ z_1 = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{8}\right) \right) \] 7. Para \( k = 1 \): \[ z_2 = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi/8 + \pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi/8 + \pi}{2}\right) \right) \] Após calcular, encontramos que as raízes são \( 2 - 2i \) e \( -2 + 2i \). Analisando as alternativas, a resposta correta é: a) 2 - 2i.