Para o número complexo z = 1 + \sqrt{3}i, determine \cos(\theta). a) \frac{1}{2} b) \sqrt{3} c) \frac{1}{\sqrt{2}} d) \frac{1}{2\sqrt{3}}

Para determinar \(\cos(\theta)\) do número complexo \(z = 1 + \sqrt{3}i\), precisamos primeiro encontrar o módulo do número complexo e o argumento. 1. Módulo de \(z\): \[ |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Argumento \(\theta\): \[ \tan(\theta) = \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \] Isso implica que \(\theta = \frac{\pi}{3}\) (ou 60 graus), pois \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\). 3. Cálculo de \(\cos(\theta)\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2}\)