Sobre a função f(z) = z^4 + z^2 + 1, determine os zeros da função. A) As raízes da unidade. B) z = 0 C) Sem raízes D) Desconhecida

Para encontrar os zeros da função \( f(z) = z^4 + z^2 + 1 \), podemos fazer uma substituição. Vamos definir \( w = z^2 \). Assim, a função se torna: \[ f(w) = w^2 + w + 1 \] Agora, precisamos encontrar as raízes da equação quadrática \( w^2 + w + 1 = 0 \). Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ w = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = 1 \) e \( c = 1 \): \[ w = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \] \[ w = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} \] \[ w = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \] \[ w = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \] As raízes \( w \) são complexas. Agora, voltando para \( z \), temos: \[ z^2 = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \] Portanto, \( z \) terá duas raízes para cada valor de \( w \), resultando em quatro raízes no total. Assim, a função \( f(z) \) tem raízes, e a alternativa correta é: A) As raízes da unidade.