Para resolver essa questão, precisamos primeiro determinar a constante \( k \) da função densidade de probabilidade \( f(x) = k x^2 \) no intervalo \( 1 \leq x \leq 4 \). 1. Encontrar \( k \): A integral da função densidade de probabilidade deve ser igual a 1: \[ \int_{1}^{4} k x^2 \, dx = 1 \] Calculando a integral: \[ \int k x^2 \, dx = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} = k \left( \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = k \left( \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \right) = k \left( \frac{63}{3} \right) = 21k \] Portanto, temos: \[ 21k = 1 \implies k = \frac{1}{21} \] 2. Cálculo da probabilidade de \( X < 2 \): \[ P(X < 2) = \int_{1}^{2} k x^2 \, dx = \frac{1}{21} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{21} \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = \frac{1}{21} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{21} \left( \frac{7}{3} \right) = \frac{7}{63} = \frac{1}{9} \] 3. Cálculo do custo médio \( E(X) \): \[ E(X) = \int_{1}^{4} x f(x) \, dx = \int_{1}^{4} x \left( \frac{1}{21} x^2 \right) \, dx = \frac{1}{21} \int_{1}^{4} x^3 \, dx = \frac{1}{21} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{21} \left( \frac{256}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{21} \left( 64 - 0.25 \right) = \frac{63.75}{21} \approx 3.21 \] 4. Cálculo da variância \( Var(X) \): Primeiro, precisamos de \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \int_{1}^{4} x^2 f(x) \, dx = \int_{1}^{4} x^2 \left( \frac{1}{21} x^2 \right) \, dx = \frac{1}{21} \int_{1}^{4} x^4 \, dx = \frac{1}{21} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{21} \left( \frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{21} \left( \frac{1023}{5} \right) = \frac{1023}{105} \] Agora, a variância: \[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Com isso, podemos analisar as alternativas: - O custo é menor que 2 com probabilidade \( \frac{1}{9} \) - Correta. - O custo médio do produto é aproximadamente igual a 1,04 - Incorreta. - \( k \) é igual a 63 - Incorreta. - O custo é maior do que 3 com probabilidade \( \frac{8}{9} \) - Incorreta. - A variância do custo do produto é aproximadamente igual a 3,04 - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é que o custo é menor que 2 com probabilidade \( \frac{1}{9} \).