Para resolver a equação diferencial dada \(2xy \, dx + (x^2 - 1) \, dy = 0\), precisamos verificar se ela é exata. Para isso, identificamos \(M(x, y) = 2xy\) e \(N(x, y) = x^2 - 1\). Agora, calculamos as derivadas parciais: - \(\frac{\partial M}{\partial y} = 2x\) - \(\frac{\partial N}{\partial x} = 2x\) Como \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\), a equação é exata. Para encontrar a relação entre \(x\) e \(y\), integramos \(M\) em relação a \(x\) e \(N\) em relação a \(y\): 1. Integração de \(M\): \[ \int 2xy \, dx = x^2y + h(y) \] onde \(h(y)\) é uma função de \(y\). 2. Agora, derivamos \(x^2y + h(y)\) em relação a \(y\) e igualamos a \(N\): \[ \frac{\partial}{\partial y}(x^2y + h(y)) = x^2 + h'(y) = x^2 - 1 \] Portanto, \(h'(y) = -1\), o que implica que \(h(y) = -y + C\). Assim, a função potencial é: \[ F(x, y) = x^2y - y = C \] Portanto, a relação entre \(x\) e \(y\) é: \[ x^2y - y = c \] A alternativa correta é: C) A relação entre x e y é \(x^2y - y = c\).