Para resolver a equação diferencial dada \( xe^{-y} \sin(x) \, dx - y \, dy = 0 \), vamos seguir os passos sugeridos, que incluem multiplicar todos os termos por \( e^y \). 1. Multiplicando a equação por \( e^y \): \[ x \sin(x) \, dx - y e^y \, dy = 0 \] 2. Agora, podemos separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y} = \frac{x \sin(x)}{e^y} \, dx \] 3. Integrando ambos os lados, obtemos: \[ \int \frac{1}{y} \, dy = \int x \sin(x) \, dx \] 4. A integral do lado esquerdo resulta em \( \ln|y| \), e a integral do lado direito pode ser resolvida por partes, resultando em uma função que envolve \( x \cos(x) \) e \( \sin(x) \). 5. Após a integração, teremos uma expressão que envolve \( y \) e \( x \), e ao rearranjar, podemos encontrar a forma que se encaixa nas alternativas. Analisando as alternativas: - A) \( x \cos(x) + \sin(x) = -e^y + c \) - B) \( x \cos(x) - \sin(x) = y e^y + c \) - C) \( -x \cos(x) + \sin(x) = y e^y - e^y + c \) - D) \( x \cos(x) + \sin(x) = e^y + c \) - E) \( y \cos(x) = y e^y - e^y + c \) Após a análise, a alternativa que melhor se encaixa na forma da solução encontrada é a D: \( x \cos(x) + \sin(x) = e^y + c \). Portanto, a resposta correta é: D.