Determine a área entre as curvas y = x^2 e y = 2x, indicando os pontos de interseção.

Para determinar a área entre as curvas \(y = x^2\) e \(y = 2x\), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções: \[ x^2 = 2x \] Rearranjando, temos: \[ x^2 - 2x = 0 \] Fatorando: \[ x(x - 2) = 0 \] Portanto, os pontos de interseção são \(x = 0\) e \(x = 2\). 2. Determinar a área entre as curvas: A área \(A\) entre as curvas de \(x = 0\) a \(x = 2\) é dada por: \[ A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx \] Aqui, \(2x\) é a função superior e \(x^2\) é a função inferior. 3. Calcular a integral: \[ A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] Avaliando nos limites: \[ A = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0 - 0\right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] 4. Resultado: A área entre as curvas \(y = x^2\) e \(y = 2x\) é \(\frac{4}{3}\) unidades quadradas.