Resolva a integral definida ∫[0,2] (4x - x^2) dx e interprete geometricamente.

Para resolver a integral definida \(\int_{0}^{2} (4x - x^2) \, dx\), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada: A função \(4x - x^2\) pode ser integrada: \[ \int (4x - x^2) \, dx = 2x^2 - \frac{x^3}{3} + C \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, vamos calcular a integral de \(0\) a \(2\): \[ \int_{0}^{2} (4x - x^2) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] Avaliando nos limites: \[ = \left( 2(2)^2 - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right) \] \[ = \left( 2 \cdot 4 - \frac{8}{3} \right) - 0 \] \[ = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] 3. Interpretação geométrica: A integral \(\int_{0}^{2} (4x - x^2) \, dx\) representa a área sob a curva da função \(f(x) = 4x - x^2\) entre \(x = 0\) e \(x = 2\). Essa função é uma parábola que abre para baixo, e a área calculada, \(\frac{16}{3}\), é a área entre a curva e o eixo \(x\) nesse intervalo. Portanto, a resposta final é: \[ \int_{0}^{2} (4x - x^2) \, dx = \frac{16}{3} \]