Calcule a integral por partes de ∫ x e^x dx.

Para calcular a integral \(\int x e^x \, dx\) usando a técnica de integração por partes, seguimos os seguintes passos: 1. Escolha \(u\) e \(dv\): - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 3. Substitua os valores: \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \] 4. Calcule a integral restante: \[ \int e^x \, dx = e^x \] 5. Substitua de volta: \[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C \] 6. Simplifique: \[ \int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \] Portanto, a integral \(\int x e^x \, dx\) é: \[ e^x (x - 1) + C \] onde \(C\) é a constante de integração.