Determine a convergência ou divergência da integral ∫[1,∞] 1/x^p dx para diferentes valores de p.

Para determinar a convergência ou divergência da integral \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\), vamos analisar os diferentes valores de \(p\): 1. Cálculo da integral: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^p} \, dx \] A integral \(\int \frac{1}{x^p} \, dx\) é: - Para \(p \neq 1\): \[ \int \frac{1}{x^p} \, dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} + C \] - Para \(p = 1\): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \] 2. Analisando os casos: - Se \(p > 1\): \[ \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{b^{1-p}}{1-p} - \frac{1^{1-p}}{1-p} \right] \] Aqui, \(b^{1-p} \to 0\) quando \(b \to \infty\), então a integral converge. - Se \(p = 1\): \[ \lim_{b \to \infty} \left[ \ln|b| - \ln|1| \right] = \lim_{b \to \infty} \ln|b| \to \infty \] Portanto, a integral diverge. - Se \(p < 1\): \[ \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{b^{1-p}}{1-p} - \frac{1^{1-p}}{1-p} \right] \] Aqui, \(b^{1-p} \to \infty\) quando \(b \to \infty\), então a integral diverge. 3. Conclusão: - A integral \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\) converge se \(p > 1\) e diverge se \(p \leq 1\).