Vamos analisar a equação diferencial dada: \[ y'' + 4x^2 y' + 4y = \cos x \] Queremos determinar os intervalos nos quais podemos garantir solução única para um problema de valor inicial (PVI). Passo 1: Colocar a equação na forma padrão A equação é linear de segunda ordem e pode ser escrita como: \[ y'' = -4x^2 y' - 4y + \cos x \] Ou seja, \[ y'' = f(x, y, y') \] onde \[ f(x, y, y') = -4x^2 y' - 4y + \cos x \] Passo 2: Condições para existência e unicidade Pelo Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de segunda ordem, se \(f\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\), \(\frac{\partial f}{\partial y'}\) são contínuas em um retângulo contendo o ponto inicial \((x_0, y_0, y_0')\), então existe uma única solução para o PVI nesse intervalo. Passo 3: Verificar continuidade de \(f\) e suas derivadas parciais - \(f(x, y, y') = -4x^2 y' - 4y + \cos x\) é contínua para todo \(x \in \mathbb{R}\), \(y \in \mathbb{R}\), \(y' \in \mathbb{R}\). - \(\frac{\partial f}{\partial y} = -4\), contínua em todo \(\mathbb{R}^3\). - \(\frac{\partial f}{\partial y'} = -4x^2\), contínua para todo \(x \in \mathbb{R}\). Passo 4: Conclusão Como \(f\) e suas derivadas parciais são contínuas para todo \(x \in \mathbb{R}\), podemos garantir existência e unicidade da solução para qualquer problema de valor inicial em qualquer intervalo real. Resposta final: A solução única do problema de valor inicial para a equação diferencial dada é garantida em qualquer intervalo real, ou seja, para todo \(x \in \mathbb{R}\).