Utilize o método dos fatores integrantes para calcular z ′ + z = 0 no ponto inicial z ( 0 ) = 1 A z = − e t B z = e 2 t C z = e t 2 D z = e − t

Vamos resolver a equação diferencial usando o método dos fatores integrantes: Equação: z' + z = 0 Condição inicial: z(0) = 1 Passo 1: Identificar P(t) e Q(t) na forma padrão z' + P(t)z = Q(t) Aqui, P(t) = 1 e Q(t) = 0. Passo 2: Calcular o fator integrante μ(t) = e^{∫P(t) dt} = e^{∫1 dt} = e^{t}. Passo 3: Multiplicar toda a equação pelo fator integrante: e^{t} z' + e^{t} z = 0 Isso é equivalente a: (e^{t} z)' = 0. Passo 4: Integrar ambos os lados: ∫(e^{t} z)' dt = ∫0 dt e^{t} z = C, onde C é constante. Passo 5: Isolar z: z = C e^{-t}. Passo 6: Usar a condição inicial z(0) = 1: 1 = C e^{0} → C = 1. Resposta final: z = e^{-t}. Alternativa correta: D) z = e^{-t}.