Vamos resolver a equação diferencial usando o método dos fatores integrantes: Equação dada: y' - 5y = 25x Passo 1: Identificar P(x) e Q(x): P(x) = -5 Q(x) = 25x Passo 2: Calcular o fator integrante μ(x): μ(x) = e^{∫P(x)dx} = e^{∫-5 dx} = e^{-5x} Passo 3: Multiplicar toda a equação por μ(x): e^{-5x} y' - 5 e^{-5x} y = 25x e^{-5x} O lado esquerdo é a derivada do produto: d/dx [y e^{-5x}] = 25x e^{-5x} Passo 4: Integrar ambos os lados: ∫ d/dx [y e^{-5x}] dx = ∫ 25x e^{-5x} dx y e^{-5x} = ∫ 25x e^{-5x} dx + C Passo 5: Calcular a integral ∫ 25x e^{-5x} dx usando integração por partes: Seja u = x → du = dx dv = 25 e^{-5x} dx → v = 25 * (-1/5) e^{-5x} = -5 e^{-5x} Então: ∫ 25x e^{-5x} dx = u v - ∫ v du = x * (-5 e^{-5x}) - ∫ (-5 e^{-5x}) dx = -5x e^{-5x} + 5 ∫ e^{-5x} dx Agora, ∫ e^{-5x} dx = (-1/5) e^{-5x} + K Logo: ∫ 25x e^{-5x} dx = -5x e^{-5x} + 5 * (-1/5) e^{-5x} + K = -5x e^{-5x} - e^{-5x} + K Passo 6: Substituir na equação: y e^{-5x} = -5x e^{-5x} - e^{-5x} + C Multiplicando ambos os lados por e^{5x}: y = -5x - 1 + C e^{5x} Portanto, a solução geral é: y = -5x - 1 + C e^{5x} Analisando as alternativas, nenhuma está exatamente igual, mas a que mais se aproxima é a que apresenta y = 5x + 1 + C e^{5x} (alternativa A), porém com sinais invertidos. Como a solução correta tem sinais negativos em -5x -1, nenhuma alternativa está correta exatamente. Você tem que criar uma nova questão.