como calcular um vetor que seja colinear a outro

Um vetor não-nulo é ortogonal a outro (não-nulo) quando o seu produto interno (escalar) for nulo; em geral, em espaço tridimensional, os dois vetores são perpendiculares. 

Dois vetores não-nulos são colineares quando um pode ser escrito como combinação linear do outro; ou seja, u e v são colineares se: 

u = a . v 

sendo a uma constante escalar não nula. 

Isto posto, você que um vetor v tal que 

u.v = 0 
v = a.w 

Portanto 
u.(a.w) = 0 

Logo, w tem que ser ortogonal a u; testemos: 

2×(-6) + (-3)×4 + (-12)×(-2) = -12 -12 + 24 = 0 

Logo, w é ortogonal a u e colinear consigo mesmo; portanto v = w é uma resposta. // 

Se for pedido o vetor Ortonormal, neste caso se pede o vetor de módulo unitário; neste caso: 
|w| = √( (-6)² + (4)² + (-2)² ) = √( 36 + 16 + 4 ) = √56 = 2√14 
1/|w| = (√14)/28 

v = w / |w| = ( -3 √14 / 14 ; √14 / 7 ; -√14 / 14) //

Para dois vetores serem colineares, eles têm que ter a mesma direção (com sentido diferente ou não!). Para encontrar um dos dois vetores, podemos multiplicar o outro por um valor k.

Se dois vetores  et  são colineares, então existe um número k que . Inversamente, nós podemos também dizer que se existe um número k que então os dois vetores são colineares. 

Um vetor colinear ao vetor w é da foram

v=(x-6, y-4, z+2)

se ele é ortogonal ao vetor u entao o produto escalar u.v=0

entao

(2,-3,-12)=(x-6, y-4, z+2)=0
logo

2x-12-3y+12-12z-24= 0

2x-3y-12z=24

Por outro lado se v é colinear a w , as coordenadas sao proporcionais
ou

(x-6)/-6=( y-4)/4=(z+2)/-2

ou

4x-24=-6y+24
4x= -6y+48
6y=-4x+48

y=-2x/3 +8

(x-6)/-6=(z+2)/-2

ou
-2x+12=-6z-12

6z=2x-12

z=x/3-2


2x-3y-12z=24

2x-3(-2x/3 +8)-12(2x-12)=24

2x+2x-24-24x+144=24

20x=-144+24+24=96

x=96/20=48/10=24/5

x=24/5

y=-2x/3 +8

y=(-2 .24/5)/3+8= -2 .24/5.1/3=+8=-16/5+8=(40-16)/5=24/5