Aula 08 Integral Denida Parte II

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 08: Integral De�nida – Parte II
Apresentação
Nesta oitava aula, continuaremos o estudo das integrais e voltaremos à ideia de determinar a área de uma região. Porém, o
objetivo aqui será introduzir o conceito de integral de�nida e as consequências disso.
Além disso, vamos nos deparar com algumas técnicas que tornarão a resolução de integrais uma tarefa menos árdua.
Objetivos
Descrever o teorema fundamental do cálculo;
Aplicar a integração por partes na resolução de problemas;
Aplicar a integração por substituição simples na resolução de problemas.
A integral de�nida
Aluno, esta aula contém um documento <galeria/aula8/pdf/aula8.pdf> com todos os exemplos da aula sintetizados. Durante a
leitura, os exemplos serão referenciados para que os consulte.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0023/galeria/aula8/pdf/aula8.pdf
Na aula anterior, a medida da área de uma região foi de�nida como sendo o seguinte limite:
Você deve se recordar que chegamos a essa de�nição dividindo o intervalo fechado em subintervalos de igual
comprimento. Além disso, tomamos como sendo o ponto do i-ésimo subintervalo no qual tem um valor mínimo absoluto.
Também restringimos os valores funcionais a serem não negativos em e exigimos que fosse contínua em .
O limite (1) é um caso particular de um novo tipo de processo de limite, que levará à de�nição de integral de�nida.
Seja a função de�nida no intervalo fechado , vamos dividir esse intervalo em subintervalos, escolhendo qualquer dos 
 pontos intermediários entre e .
Sejam e e os pontos intermediários, de tal forma que:
Os pontos não são necessariamente equidistantes. Seja o comprimento do primeiro subintervalo,
de tal forma que ; seja o comprimento do segundo subintervalo tal que ; e, assim por
diante, de tal forma que o comprimento do i-ésimo subintervalo seja e .
Um conjunto de todos esses subintervalos do intervalo é chamado uma partição do intervalo . Seja tal partição.
 (1)f( ) ∆ xlim
n→+∞
∑ni=1 ci
[a, b]
ci  f 
[a, b]  f  [a, b]
f [a, b] n
(n − 1) a b
= axo = bxn , , … ,x1 x2 xn−1
< < < ⋯ < <xo x1 x2 xn−1 xn
, , , … , ,xo x1 x2 xn−1 xn x∆1
x = −∆1 x1 xo x∆2 x = −∆2 x2 x1
x∆i x = −∆i xi xi−1
[a, b] [a, b] ∆
 Figura 1: Partição ∆ do intervalo [a,b]. Fonte: Google Imagens.
A partição contém subintervalos. Um deles é o maior; pode existir mais de um desses subintervalos. O comprimento do maior
subintervalo da partição , chamada norma da partição, é denotado por ǁ∆ǁ.
Vamos escolher um ponto de cada subintervalo da partição : seja o ponto escolhido em de tal forma que 
.
Tomemos como o ponto escolhido em de tal forma que ; e, assim por diante, de forma que seja o
ponto escolhido em e .
Temos, então, a soma:
Tal soma é denominada soma de Riemann.
∆ n
∆
∆ ξ1 [ ,   ]xo x1
≤ ≤xo ξ1 x1
ξ2 [ , ]x1 x2 ≤ ≤x1 ξ2 x2 ξ1
[ , ]xi−1 xi ≤ ≤xi−1 ξi xi
ou
f ( ) x + f ( ) x + … + f ( ) x + … + f ( )ξ1 ∆1 ξ2 ∆2 ξi ∆i ξn ∆
f ( ) x∑
n
i = 1 ξ i ∆i
De�nições
Assim, temos as seguintes de�nições:
Seja uma função cujo domínio inclui o intervalo fechado [a,b]. Então, será integrável em [a,b] se existir um número 
satisfazendo a seguinte condição: para todo ε>0, existe δ>0 tal que toda partição ∆ para a qual ǁ∆ǁ<δ, com no intervalo fechado 
, , temos:
Nessas condições, escrevemos:
Se for uma função de�nida no intervalo fechado , então, a integral de�nida de de até , denotada por
será dada por
se o limite existir.
 f  f  L
ξi
[ , ]xi−1 xi i = 1 ,2, … , n
|  f ( ) x − L | < ε∑ni = 1 ξi ∆i
   f (ξ ) x = Llim
|∆| →0
∑ni = 1  i ∆i
 f  [a, b]  f   a   b 
f (x) dx∫ ba
f (x)dx =     f ( ) x∫ ba lim
|∆| →0
∑ni = 1 ξi ∆i
Dica
Você deve se familiarizar com as seguintes notações:
 é a notação de integral de�nida;
 é chamada de integrando;
 é o limite inferior e é o limite superior; e,
 é chamado de sinal de integração.
f (x) dx∫ ba
f(x)
a b
∫
Teoremas
Se uma função for contínua no intervalo fechado , então, ela será integrável em ;
Seja uma função contínua em e para todo em . Seja a região limitada pela curva 
, pelo eixo e pelas retas e . Então, a medida da área da região é dada por:
[a, b] [a, b]
 f  [a, b] f(x) ≥ 0  x  [a, b]  R 
y = f(x)  x  x = a x = b  A   R 
A =    f (ξ ) x = f (x)dxlim
||∆x|| →0
∑ni = 1  i ∆i ∫
b
a
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 1 e 2 no documento.
Os teoremas fundamentais do cálculo
Clique nos botões para ver as informações.
Seja uma função contínua no intervalo fechado e seja qualquer número em . Se for a função de�nida
por:
O primeiro teorema fundamental do cálculo 
 f  [a, b]  x  [a, b]  F  
Então,
F (x) = f (t)dt∫ x
a
(x) = f(x)F '
Seja uma função contínua no intervalo fechado e seja g uma função tal que para todo em 
. Então,
Se , a derivada pode ser uma derivada à direita, e se , a derivada pode ser uma derivada à esquerda.
O segundo teorema fundamental do cálculo 
 f  [a, b]  g’(x) = f(x)  x 
[a, b] 
f (t)dt = g (b) − g (a)∫ b
a
x = a x = b
Comentário
Devido à conexão entre integrais de�nidas e antiderivadas, usamos o sinal de integral ʃ para a notação de
antiderivada. Vamos dispensar agora a terminologia de antiderivadas e antidiferenciação e começaremos a chamar 
apenas de integral inde�nida.
∫ f (x)dx
∫ f (x)dx
O processo de cálculo de uma integral inde�nida ou de�nida é chamado de integração.
Deve ser enfatizada a diferença entre uma integral inde�nida e de�nida. A primeira, , foi estabelecida como sendo uma
função tal que sua derivada .
Por outro lado, a segunda , é um número cujo valor depende da função e dos números e e foi de�nida como
o limite de uma soma de Riemann. A de�nição de integral de�nida não faz nenhuma referência à diferenciação.
A integral inde�nida envolve uma constante arbitrária; por exemplo,
A constante arbitrária é chamada de constante de integração.
Ao aplicar o segundo teorema fundamental do Cálculo não é preciso incluir a constante arbitrária C na expressão de , pois o
teorema permite-nos escolher qualquer antiderivada, inclusive aquela para a qual .
∫ f (x)dx
g [g(x)] = f(x)Dx
f (x)dx∫ b
a
 f   a   b 
∫ dx = + Cx2 x
3
3
 C 
g(x)
C = 0
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 no documento.
Integração por partes
Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um método de integração muito útil chamado de integração por
partes.
Se e forem funções diferenciáveis, então:
Integrando ambos os lados, obteremos:
Chamaremos (1) de fórmula de integração por partes.
Para propósitos de cálculo, existe uma maneira mais conveniente de escrever essa fórmula, tomando:
Então:
Assim sendo, (1) torna-se:
f g
[f (x)g (x)] = f (x) (x) + g (x) (x)Dx g
' f '
f (x) (x) = [f (x)g (x)] − g (x) (x)g' Dx f
'
∫ f (x) (x)dx = ∫ [f (x)g (x)]dx − ∫ g (x) (x)dg' Dx f '
∫ f (x) (x)dx = f (x)g (x) − ∫ g (x) (x)dx          (g' f '
 e u = f (x) v = g(x)
 e du = (x) dxf ' dv = (x) dxg'
∫ u ⋅ dv = uv − ∫ v ⋅ du
Agora, observe o exemplo 9 no documento.
Outras substituições
Em determinadas situações, a resolução de integrais inde�nidas ou de�nidas requer que sejam feitas substituições mediante
alguns artifícios.
Embora somente a prática contínua de resolução de variados exercícios garanta a habilidade necessária, observaremos
alguns exemplos em que esses artifícios devem ser empregados.
Observe o exemplo 10 no documento.
Saiba mais
Antes de ver o próximo exemplo, você precisa lembrar de como se dividem polinômios.
Para isso, consulte o material Teoria Polinômios <https://matika.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios---metodo-da-chave> .
Observe o exemplo 11 no documento.
Não há uma regra geral para determinar qual substituição resultará em um integrando
mais simples.
Dica
https://matika.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios---metodo-da-chave
Veja algumas identidades trigonométricas importantes para
serem aplicadas aos exercícios desta aula:
A identidade tangenteda soma só é aplicável quando: 
, e .
A identidade tangente da diferença só é aplicável quando: 
, e .
A identidade cotangente da soma só é aplicável quando: , 
 e .
A identidade cotangente da diferença só é aplicável quando: 
, e .
sin (a + b) = sina ⋅ cosb + cosa ⋅ sinb
sin (a − b) = sina ⋅ cosb − cosa ⋅ sinb
cos (a + b) = cosa ⋅ cosb − sina ⋅ sinb
cos (a − b) = cosa ⋅ cosb + sina ⋅ sinb
tg (a + b) =
tga+tgb
1−tga⋅tgb
tg (a − b) =
tga−tgb
1+tga⋅tgb
a ≠ + kππ 2/ b ≠ + kππ 2/ (a + b) ≠ + kππ 2/
a ≠ + kππ 2/ b ≠ + kππ 2/ (a − b) ≠ + kππ 2/
cotg (a + b) =
cotga⋅cotgb−1
cotga+cotgb
cotg (a − b) =
cotga⋅cotgb+1
cotgb−cotga
a ≠ kπ
b ≠ kπ (a + b) ≠ kπ
a ≠ kπ b ≠ kπ (a − b) ≠ kπ
Fórmulas de multiplicação e divisão
Clique nos botões para ver as informações.
Fórmulas para funções circulares de 2a 
cos (2a) = a − acos2 sin2
cos (2a) = 2 ⋅ a − 1cos2
cos (2a) = 1 − 2 ⋅ asin2
sin (2a) = 2 ⋅ sina ⋅ cosa
tg (2a) =
2⋅tg(a)
1− atg2
Fórmulas para funções circulares de x 2/ 
Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções
trigonométricas de , conhecida uma das funções circulares
de .
Sabemos que e 
, portanto, fazendo 
teremos:
Os sinais só têm sentido quando se conhece , sem se
conhecer . Assim, sabendo que , temos:
1. Solução 1: (I)
2. Solução 2: (II)
x
2/
x
cos (2a) = 2 ⋅ a − 1cos2
cos (2a) = 1 − 2 ⋅ asin2 2a = x
cosx = 2 ⋅ − 1   →    cos( ) = ±cos2 x
2
x
2
1+cosx
2
− −−−−
√
sin( ) = ±x
2
1−cosx
2
− −−−−
√
tg( ) = ±x
2
1−cosx
1+cosx
− −−−−
√
± cos x
x cos x = cos xo
x = + 2kπ     ⇔      = + kπxo
x
2
xo
2
x = − + 2kπ     ⇔      = − + kπxo
x
2
xo
2
As expressões (I) e (II) nos indicam que, dado , existem 4 possíveis arcos , pois pode assumir valores pares ou
ímpares, que dão origem a dois valores para , e .
cos x x 2/ k
cos ( )x 2/ sin ( )x 2/ tg ( )x 2/
Em Álgebra Elementar, os recursos para transformar um polinômio em produto de
outros polinômios (fatoração) têm grande importância prática. Muitas vezes, esses
recursos podem ser aplicados à Trigonometria.
Transformações para produto
Vamos, então, às transformações para produto:
cosp + cosq = 2 ⋅ cos ( ) ⋅ cos ( )p+q2
p−q
2
cosp − cosq = −2 ⋅ sin ( ) ⋅ sin ( )p+q2
p−q
2
sinp + sinq = 2 ⋅ sin ( ) ⋅ cos ( )p+q2
p−q
2
sinp − sinq = 2 ⋅ sin ( ) ⋅ cos ( )p−q2
p+q
2
tgp + tgq =
sin(p+q)
cosp⋅cosq
tgp − tgq =
sin(p−q)
cosp⋅cosq
Dica
Veja algumas integrais inde�nidas importantes para você lembrar e aplicar nos exercícios desta aula:
 se for um número positivo diferente de
1 
 onde 
 onde 
 onde 
∫ du = {un + C    se  n ≠ −1
un+1
n+1
ln |u| + C    se  n =   − 1
∫ du = + Ceu eu
∫ du = + C   au a
u
lna a
∫ =  u + Cdu
1−u2√
sin−1
∫ =  u + Cdu
1+u2
tg−1
∫ =  u + Cdu
u −1u2√
sec−1
∫ =   ( ) + Cdu
−a2 u2√
sin−1 ua a > 0
∫ =   ( ) + Cdu
+a2 u2
1
a tg
−1 u
a a ≠ 0
∫ =   ( ) + Cdu
u −u2 a2√
1
a sec
−1 u
a a > 0
Atividades
1. A integral inde�nida pode ser corretamente descrita por:∫ dxx
2
+1x3
a) ln   + C∣∣x2 ∣∣
b) ⋅ ln   |x| + C1
3
c) ln   |x| + C
d) ⋅ ln   + 1 + C1
3
∣∣x3 ∣∣
e) ln   + 1 + C∣∣x3 ∣∣
2. A integral de�nida por representa gra�camente uma região cuja área em unidades quadradas é de:dx∫ 32
ln  x
x
a) −(ln  3)
2
2
(ln  2)
2
2
b) −(ln  3)
3
2
(ln  2)
3
2
c) −ln  3
2
ln  2
2
d) ln  3 − ln  2
e) −e3 e2
3. A integral inde�nida dada por pode ser representada corretamente por:∫ dx
3−2x
a) − ⋅ ln   |−3 + 2x| + C1
2
b) ln   |−2x| + C
c) − ⋅ ln   |3 − 2x| + C1
2
d) ln   |3 − 2x| + C
e) − ⋅ ln   |2x| + C1
2
4. O valor da integral de�nida é corretamente dado por: (Sugestão: divida o numerador pelo denominador).dx∫ 41
−xx5
3x3
a) 3 4/
b) 10 3/
c) 15 7/
d) 13 9/
e) 27 4/
5. Em um circuito elétrico, a força eletromotriz varia com relação ao tempo segundo a equação .
Assim sendo, ache o valor médio de no intervalo de tempo de a t=π3 s.
(E) (t) E = 2 ⋅ sin  3t
E t = 0 s
6. A integral definida corresponde à uma região cuja área em unidades quadradas é:dy∫ 10
( +2y)y2
+3 +4y3 y2√3
a) 1 3/
b) 2 − 2√3
c) 2
d) 2√
e) 2 − 2√
7. A integral indefinida é corretamente expressa por:∫ dx
1−4x2√
a)   (2x) + Csin−1
b)   (x) + Csin−1
c) ⋅   (x) + C12 sin
−1
d) ⋅   (2x) + C12 sin
−1
e)   ( ) + Csin−1 x2
8. A área da região S pode ser calculada pela integral definida . Qual o valor em unidades quadradas para a área
S?
(cos  2x − sin  2x)dx∫ ππ
2/
a) 1
b) 1 2/
c) 3 4/
d) 2
e) 1 3/
9. Calcule o valor da integral de�nida dada por cos  2x ⋅ cos  4x ⋅ dx∫ π0
10. Resolva a integral inde�nida dada por ∫ ⋅  1+ln  x
x
dx 
Notas
Teorema do Valor Médio 1
Seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Então, existe pelo menos um ponto em 
, tal que:
f [a, b] (a, b) c
(a, b)
(c) =f ′
f(b)−f(a)
b−a
 Interpretação geométrica para o Teorema do Valor Médio. Fonte: ANTON et al. (2007).
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
A integração por substituição trigonométrica;
A integração de funções racionais;
Integrais impróprias.
Explore mais
Revise os tópicos estudados nesta aula assistindo aos seguintes vídeos:
“Cálculo integral: Integração por partes” <https://youtu.be/O2q45TzlsSM> ;
“Integração por substituição – exercícios resolvidos 1” <https://youtu.be/93_bEw4ZxWQ> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 39 - Teorema Fundamental do Cálculo” <https://youtu.be/NaIgyOeN8KM> ;
https://youtu.be/O2q45TzlsSM
https://youtu.be/93_bEw4ZxWQ
https://youtu.be/NaIgyOeN8KM
p p y gy ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 40 - Teorema Fundamental do Cálculo - parte 2” <https://youtu.be/pi8et8w6epw> ;
https://youtu.be/NaIgyOeN8KM
https://youtu.be/pi8et8w6epw