Cálculo Numérico

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Universidade Federal do Rio Grande – FURG 
Instituto de Matemática, Estatística e Física – IMEF 
Disciplina: Cálculo Numérico Computacional - 01283 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução da primeira lista de Cálculo Numérico Computacional 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: Pierre Machado Minuto 
Matrícula: 89893 
 
 
 
 
 
 
 
Rio Grande, setembro de 2018 
 
Método da bissecção 
1. Utilize o método da bissecção para determinar uma raiz de f (x) = √x − cos(x) no 
intervalo [0,1]. 
 
2. Utilize o método da bissecção para determinar as soluções com precisão de 10−2 
para 𝑥4- 2 𝑥34𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0 em cada intervalo: 
 
a) [−2,−1]: 
 
b) [0,2]: 
 
 
c) [2,3]: 
 
 
d) [−1,0]: 
 
 
3. a) Esboce os gráficos de y = x e y = 2sen(x) 
 
 
 
 
 
b) Utilize o método da bissecção para determinar uma aproximação com precisão de 10−5 
do primeiro valor positivo de x com x = 2sen(x). 
 
 
 
4. Determine uma aproximação de √3 correta até 10−4, utilizando o método da 
bissecção. 
 
Método do ponto fixo 
 
a) g1 (x)=(3+x−2x 2 ) 1/ 4 
 Fazendo f(x) = 0 e evidenciando x4 
f(x) = 0 = x 4 + 2x 2 − x – 3 
x 4 = 3 + x − 2x 2 
 g1(x) =x = (3 + x − 2x 2 ) 1/4 
b) g2 (x)=(( x+3−x 4 )/2 )) 1/ 2 
Fazendo f(x) = 0 e evidenciando x2 
 (x) = 0 = x 4 + 2x 2 − x – 3 
 x 2 = (3 + x − x 4)/ 2 
g2(x)= x = ((3 + x − x 4)/ 2 )1/2 
c) g3 (x)=(( x+3 /x 2 +2)) 1/ 2 
Manipulando a igualdade f(x) = 0 
x 4 + 2x 2 − x − 3 = 0 
 x 4 + 2x 2 = x + 3 
 x 2 (x 2 + 2) = x + 3 
 Como (x 2 + 2) ≠0 para todo x ∈ R, 
dividimos a igualdade por (x 2 + 2) 
 x 2 = (x + 3)/( x 2 + 2) 
 g3(x)=x = ((x + 3)/( x 2 + 2))1/2 
d) g4 (x )= (3 x 4 +2x 2 +3)/ (4 x 3 +4 x−1) 
Manipulando a igualdade f(x) = 0 
 x 4 + 2x 2 − x – 3=0 
 x 4 + 2x 2 − x = 3 
 Soma (3x 4 + 2x 2 ) nos dois lados da igualdade e evidenciando x à esquerda: 
4x 4 + 4x 2 − x = x(4x 3 + 4x − 1) = 3x 4 + 2x 2 + 3. 
Testando h(x) = 4x 3 + 4x – 1: 
h(x) = 0 = 4x 3 + 4x – 1 
4x 3 + 4x = 1 ⇒ 4x(x 2 + 1) = 1 
• não existe um zero de h para x ≤ 0 
• h é crescente para x > 0 
• h(0) =−1, possui único zero para x >0 
• h(1) = 7, zero está contido em (0, 1). 
• o teorema do valor extremo nos garante que maxx∈(0,1) {f(x)} ocorre em x = 0, x 
= 1, ou nos pontos em que f ′ (x) = 0. 
• f ′ (x) = 4x 3 + 4x − 1 ≡ h(x) 
• x∈(0, 1) tal que f ′ (x) = 0. 
• f(0) =−3 e f ′ (0) =−1 
• o ponto x∈(0, 1) em que f ′ (x) = 0 deve satisfazer f(x)< f(0)1 
• f não possui nenhum zero em [0, 1]. Assim, excluindo-se esse intervalo do 
domínio de g4 
• x = (3x 4 + 2x 2 + 3) /(4x 3 + 4x – 1)= g4(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existência e unicidade ponto fixo de g em um intervalo [a, b] é garantida se g([a, b]) ⊂ [a, 
b] e existir um k < 1 positivo tal que |g ′ (x)| < k∀x∈(a, b). 
• Para qualquer x : −1 ≤ sen (x) ≤ 1 
• min {g(x)} = π – 0,5 > 0 e max {g(x)} = π + 0,5 < 2π, 
• g([0, 2π]) ⊂ [0, 2π] 
• há existência de um ponto fixo em [0, 2π] 
derivando g e usando 0,5=1/2 
g ′ (x) = (cos(x/2)) /4 
|g ′ (x)|≤1 /4 ∀x ∈ [0, 2π] 
Considerações: 
Sendo −1 ≤ cos (x) ≤ 1 para qualquer x,e existe o limitante k = ¼<1 
para g em [0, 2π], o ponto fixo nesse intervalo é único. Aplicando o método de ponto fixo 
com ε = 10−4 e p0 = π: 
 
 
Método de Newton 
 
 
 
 
 
Em cada um dos casos abaixo, utilizaremos p0= (a+b)/2 como o ponto inicial. 
Sendo a ≤ x ≤ b dado pelo enunciado, salientamos ainda que, utilizaremos como critério 
de parada |f(x)| < Ꜫ = 10−4. Adotamos também como número de repetições n0=30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Foram utilizados os códigos fornecidos pelo professor.