Questão resolvida - Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m_s Um farol giratório que está a 6 m da estrada focaliza o ... - cálculo I - Universidade Federal do Rio Grande do

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Q13. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de . Um farol 2 m / s
giratório que está a da estrada focaliza o homem. A que taxa o farol está girando, 6 m
quando o homem estiver a do ponto do caminho mais próximo do farol? 4 m
 
Resolução:
 
A situação é ilustrada na figura seguinte;
 
Perceba que a distância do farol ao homem, a distância do farol à estrada e a distância 
percorrida pelo homem sobre a estrada formam um triângulo retângulo, dessa forma, usando 
as relações trigonômetricas no triângulo retângulo, sabendo que a distância percorrida pelo 
homem na estrada e o ângulo dependem de um tempo qualquer , chegamos a seguinte 𝜃 t
relação;
 
tg 𝜃 t =( ( ))
x t
6
( )
 
Usamos a tangente, já que tivemos que relacionar o cateto oposto ( ) com o cateto x t( )
adjacente . 6 m
Agora, vamos derivar os 2 membros da equação 1;
 
 
 
6 m
𝜃
farol giratório
homem 
xestrada
(1)
tg 𝜃 t = sec 𝜃 t 𝜃' t =( ( ))
x t
6
( )
→
2( ( )) ( )
x' t
6
( )
 
Das relações trigonométricas temos que;
 
sec 𝜃 t = 1 + tg 𝜃 t2( ( )) 2( ( ))
 
Com isso, a expressão que derivamos fica;
 
sec 𝜃 t 𝜃' t = 1 + tg 𝜃 t 𝜃' t =2( ( )) ( )
x' t
6
( )
→
2( ( )) ( )
x' t
6
( )
 
Vamos substituir a equação 1 na equação 3;
 
1 + 𝜃' t =
x' t
6
( )
2
( )
x' t
6
( )
 
Queremos a que taxa o farol está girando ( ) quando é igual a , vamos, então, 𝜃' t( ) x 4 m
isolar na expressão 4;𝜃' t( )
 
1 + 𝜃' t = 1 + 𝜃' t = 1 + 𝜃' t =
x t
6
( )
2
( )
x' t
6
( )
→
x t
6
2( )
2
( )
x' t
6
( )
→
x t
36
2( )
( )
x' t
6
( )
𝜃' t =( )
6x' t
36 + x t
( )
2( )
 
 é a velocidade do homem, ; é sua posição , quando queremos saber a x' t( ) 2 m / s 4 m x t( )
taxa de variação do farol , substituindo essas informações em 5, temos;𝜃' t( )
 
𝜃' t =( )
6 ⋅ 2
36 + 4( )2
Resolvendo;
 
 
𝜃' t = = = ⋅( )
1 +
x' t
6
( )
x t
36
2
( )
x' t
6
( )
36+x t
36
2
( )
x' t
6
( ) 36
36 + x t2( )
6
(2)
(3)
(4)
(5)
 
𝜃' t = =( )
12
36 + 16
12
52
 
𝜃' t = rad / s( )
3
13
 
 
(Resposta )