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Para quaisquer x, y, z ∈ R, mostre que: a) ||x| − |y|| ≤ |x− y| b) |x− y|+ |y − z| ≥ |x− z|

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Se x ≥ 0, provar que (1 + x)n ≥ 1 + nx+ n(n−1)/2 x2 para todo n ∈ N.

Se a1, a2, . . . , an pertencem ao intervalo (a, b) e t1, t2, . . . , tn ∈ R+ satisfazem t1 + t2 + · · ·+ tn = 1, provar que a1t1 + a2t2 + · · ·+ antn pertence ao intervalo (a, b).

Sejam a1, a2, . . . , an números reais e b1, b2, . . . , bn reais positivos. Se ak/bk ∈ (α, β) para k = 1, 2, . . . , n, mostre que: a1 + a2 + · · ·+ an / b1 + b2 + · · ·+ bn ∈ (α, β).

Considere os números de Fibonacci {Fn} definidos por F1 = 1, F2 = 1, e Fn+2 = Fn+1 + Fn. Mostre que: Fn = ((1 + √5)^n - (1 - √5)^n) / (2^n√5), n = 1, 2, 3, . . .

Sejam x, y, a, b números reais positivos. Se x/y < a/b, mostre que: x/y < (x + a) / (y + b) < a/b.

Mostrar que: |x + y| / (1 + |x + y|) ≤ |x| / (1 + |x|) + |y| / (1 + |y|) para todos x, y ∈ R.

Sejam A, B subconjuntos não vazios de R tais que A ⊂ B. Provar que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

Seja ω um número irracional positivo. Se A = {m + nω > 0 | m, n ∈ Z}, prove que inf A = 0.

Seja f : R → R definida por f(x) = 1/√(1 + x^2) e A = {f(x) | x ∈ R}. Mostrar que A é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de A.

Seja X = {1− (−1)n/n | n ∈ N}. Mostrar que X é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de X.

Prove que: |√(a² + b²) − √(a² + c²)| ≤ |b− c| para todos a, b, c ∈ R.

Determine todos os números reais tais que: 4 < |x+ 2|+ |x− 1| < 5.

Seja a1 = a2 = 5 e an+1 = an + 6an−1, ∀n ≥ 2. Calcule os seis primeiros termos da sequência an e, em seguida, conjecture uma fórmula para an em função de n.