Seja f : R → R definida por f(x) = 1/√(1 + x^2) e A = {f(x) | x ∈ R}. Mostrar que A é limitado. Em seguida, calcule o supremo e o ínfimo de A.

Para mostrar que o conjunto \( A = \{ f(x) | x \in \mathbb{R} \} \) é limitado, vamos analisar a função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \). 1. Limitação Superior: - Para todo \( x \in \mathbb{R} \), temos \( 1 + x^2 \geq 1 \). - Portanto, \( \sqrt{1 + x^2} \geq 1 \). - Isso implica que \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \leq 1 \). - Assim, \( A \) é limitado superiormente por 1. 2. Limitação Inferior: - Como \( x^2 \geq 0 \), temos \( 1 + x^2 \geq 1 \), então \( \sqrt{1 + x^2} \geq 1 \). - Portanto, \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \geq 0 \). - Assim, \( A \) é limitado inferiormente por 0. Agora, vamos calcular o supremo e o ínfimo de \( A \): - Supremo: - O valor máximo de \( f(x) \) ocorre quando \( x = 0 \): \[ f(0) = \frac{1}{\sqrt{1 + 0^2}} = 1. \] - Portanto, o supremo de \( A \) é \( \sup A = 1 \). - Ínfimo: - À medida que \( |x| \) tende a \( \infty \), \( f(x) \) tende a 0: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0. \] - Portanto, o ínfimo de \( A \) é \( \inf A = 0 \). Resumindo: - \( A \) é limitado. - \( \sup A = 1 \) e \( \inf A = 0 \).