Mostrar que: |x + y| / (1 + |x + y|) ≤ |x| / (1 + |x|) + |y| / (1 + |y|) para todos x, y ∈ R.

Para mostrar que \[ \frac{|x + y|}{1 + |x + y|} \leq \frac{|x|}{1 + |x|} + \frac{|y|}{1 + |y|} \] para todos \( x, y \in \mathbb{R} \), podemos usar a desigualdade triangular e algumas propriedades das funções envolvidas. 1. Desigualdade triangular: Sabemos que \( |x + y| \leq |x| + |y| \). 2. Analisando a função: A função \( f(t) = \frac{t}{1 + t} \) é crescente para \( t \geq 0 \). Portanto, se \( a \leq b \), então \( f(a) \leq f(b) \). 3. Aplicando a função: Como \( |x + y| \leq |x| + |y| \), temos: \[ \frac{|x + y|}{1 + |x + y|} \leq \frac{|x| + |y|}{1 + |x| + |y|} \] 4. Comparando com a soma: Agora, podemos usar a propriedade de que \( \frac{a + b}{c} \leq \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \): \[ \frac{|x| + |y|}{1 + |x| + |y|} \leq \frac{|x|}{1 + |x|} + \frac{|y|}{1 + |y|} \] 5. Concluindo: Assim, juntando tudo, temos: \[ \frac{|x + y|}{1 + |x + y|} \leq \frac{|x| + |y|}{1 + |x| + |y|} \leq \frac{|x|}{1 + |x|} + \frac{|y|}{1 + |y|} \] Portanto, a desigualdade está provada.