Se x ≥ 0, provar que (1 + x)n ≥ 1 + nx+ n(n−1)/2 x2 para todo n ∈ N.

Para provar que \( (1 + x)^n \geq 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 \) para \( x \geq 0 \) e \( n \in \mathbb{N} \), podemos usar o Teorema do Binômio e a indução matemática. 1. Base da indução: Para \( n = 1 \): \[ (1 + x)^1 = 1 + x \quad \text{e} \quad 1 + 1x + \frac{1(1-1)}{2} x^2 = 1 + x. \] A afirmação é verdadeira. 2. Passo da indução: Suponha que a afirmação é verdadeira para \( n = k \): \[ (1 + x)^k \geq 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2} x^2. \] Agora, para \( n = k + 1 \): \[ (1 + x)^{k+1} = (1 + x)(1 + x)^k. \] Usando a hipótese de indução: \[ (1 + x)^{k+1} \geq (1 + x)\left(1 + kx + \frac{k(k-1)}{2} x^2\right). \] Expandindo: \[ (1 + x)^{k+1} \geq 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2} x^2 + x + kx^2 + \frac{k(k-1)}{2} x^3. \] Agrupando os termos: \[ \geq 1 + (k + 1)x + \left(\frac{k(k-1)}{2} + k\right)x^2. \] Simplificando: \[ \frac{k(k-1)}{2} + k = \frac{k^2 - k + 2k}{2} = \frac{k^2 + k}{2} = \frac{k(k + 1)}{2}. \] Portanto: \[ (1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k + 1)x + \frac{(k + 1)k}{2} x^2. \] Assim, a afirmação é verdadeira para \( n = k + 1 \). Por indução, a afirmação é verdadeira para todo \( n \in \mathbb{N} \). Portanto, provamos que \( (1 + x)^n \geq 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 \) para \( x \geq 0 \) e \( n \in \mathbb{N} \).