Determine todos os números reais tais que: 4 < |x+ 2|+ |x− 1| < 5.

Para resolver a desigualdade \( 4 < |x + 2| + |x - 1| < 5 \), vamos analisar as duas partes separadamente. ### 1. Resolvendo \( |x + 2| + |x - 1| > 4 \) Vamos considerar os pontos críticos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal: \( x = -2 \) e \( x = 1 \). Assim, dividimos a reta em três intervalos: - Intervalo 1: \( x < -2 \) - Intervalo 2: \( -2 \leq x < 1 \) - Intervalo 3: \( x \geq 1 \) Intervalo 1: \( x < -2 \) Aqui, \( |x + 2| = -(x + 2) \) e \( |x - 1| = -(x - 1) \). Portanto, \[ |x + 2| + |x - 1| = -x - 2 - x + 1 = -2x - 1 \] A desigualdade fica: \[ -2x - 1 > 4 \implies -2x > 5 \implies x < -\frac{5}{2} \] Intervalo 2: \( -2 \leq x < 1 \) Aqui, \( |x + 2| = x + 2 \) e \( |x - 1| = -(x - 1) \). Portanto, \[ |x + 2| + |x - 1| = x + 2 - x + 1 = 3 \] A desigualdade \( 3 > 4 \) não é verdadeira, então não há soluções nesse intervalo. Intervalo 3: \( x \geq 1 \) Aqui, \( |x + 2| = x + 2 \) e \( |x - 1| = x - 1 \). Portanto, \[ |x + 2| + |x - 1| = x + 2 + x - 1 = 2x + 1 \] A desigualdade fica: \[ 2x + 1 > 4 \implies 2x > 3 \implies x > \frac{3}{2} \] ### 2. Resolvendo \( |x + 2| + |x - 1| < 5 \) Intervalo 1: \( x < -2 \) \[ -2x - 1 < 5 \implies -2x < 6 \implies x > -3 \] Portanto, neste intervalo, temos \( -3 < x < -2 \). Intervalo 2: \( -2 \leq x < 1 \) \[ 3 < 5 \text{ (sempre verdadeiro)} \] Portanto, neste intervalo, temos \( -2 \leq x < 1 \). Intervalo 3: \( x \geq 1 \) \[ 2x + 1 < 5 \implies 2x < 4 \implies x < 2 \] Portanto, neste intervalo, temos \( 1 \leq x < 2 \). ### 3. Juntando as soluções Agora, juntamos as soluções das duas partes: - Para \( |x + 2| + |x - 1| > 4 \): \( x < -\frac{5}{2} \) ou \( x > \frac{3}{2} \). - Para \( |x + 2| + |x - 1| < 5 \): \( -3 < x < -2 \), \( -2 \leq x < 1 \), e \( 1 \leq x < 2 \). ### Solução Final A solução final é a união das soluções: - \( -3 < x < -2 \) - \( \frac{3}{2} < x < 2 \) Portanto, os números reais que satisfazem a desigualdade \( 4 < |x + 2| + |x - 1| < 5 \) são: \[ (-3, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, 2\right) \]