Sejam A, B subconjuntos não vazios de R tais que A ⊂ B. Provar que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

Para provar a afirmação "inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B" considerando que \( A \subset B \), vamos analisar cada parte: 1. \( \text{inf} B \leq \text{inf} A \): - Como \( A \subset B \), todo elemento de \( A \) também está em \( B \). Portanto, o menor elemento de \( B \) (inf B) é menor ou igual ao menor elemento de \( A \) (inf A). 2. \( \text{inf} A \leq \text{sup} A \): - Por definição, o ínfimo (inf A) é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de \( A \), enquanto o supremo (sup A) é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de \( A \). Assim, inf A sempre será menor ou igual a sup A. 3. \( \text{sup} A \leq \text{sup} B \): - Similar ao primeiro ponto, como \( A \subset B \), o maior elemento de \( A \) (sup A) não pode ser maior que o maior elemento de \( B \) (sup B). Portanto, a relação \( \text{inf} B \leq \text{inf} A \leq \text{sup} A \leq \text{sup} B \) é verdadeira. Assim, a afirmação está provada.